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2025-2026学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.6的相反数是（　　）
A. 6 B. -6 C. D. -
2.下列运算中，正确的是（　　）
A. m3+m3=2m3 B. m3+m3=m6 C. m3 m3=m9 D. （m3）3=m6
3.2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（　　）
A. 9.611×103 B. 96.11×103 C. 9.611×104 D. 0.9611×105
4.若一元二次方程x2-2x+c=0有两个相等的实根，则c的值为（　　）
A. -1 B. 0 C. D. 1
5.如图，AB∥CD，EA=EC，∠BAE=66°，则∠C的度数为（　　）

A. 42°
B. 48°
C. 57°
D. 66°
6.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱.今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱.问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
7.如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°，则∠BAC=（　　）
A. 23°
B. 24°
C. 25°
D. 26°
8.如图，CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是（　　）
A. ∠ABN=∠A
B. BN⊥AC
C. CM=AD
D. BM=BD
9.如图，矩形ABCD中，AB=5cm,BC=4cm,动点M从点A出发以1cm/s的速度沿折线AB-BC运动到点C停止.连接AM，作MN⊥AM交CD于点N.设点M运动t s时，CN长为y cm,则y关于t的函数图象大致为（　　）

A.
B.
C.
D.
10.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”、如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE.设∠BAF=α，∠BEF=β，若正方形EFGH与正方形ABCD的边长之比为1：n,tanα=tan2β，则n=（　　）
A. B. 1.5 C. D. 2
二、填空题：本题共6小题，共22分。
11.计算：（-2）0-3= .
12.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
13.如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 .
14.A，B两地相距100km,甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s（km）与骑车时间t（h）的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 km.
15.如图，⊙O的直径AB=4，C为弧AB中点，点D在弧BC上，，点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是 .
16.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC=2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y=（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为______，点C'的坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
（1）解不等式组：；
（2）先化简，再求值：，其中x=-2.
18.(本小题10分)
判断下列命题是真命题还是假命题，如果是真命题，给出证明，如果是假命题，举出反例.
（1）对角线相等四边形一定是矩形；
（2）如果a=-m+2，b=-m2（m为任意的实数），那么a＞b.
19.(本小题10分)
为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织”立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看.现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看.
（1）甲同学选择A电影的概率为______；
（2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）.
20.(本小题10分)
校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b.丙运动员10次测试成绩：12.412.412.512.712.812.812.812.812.912.9
c.四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
（1）表中m的值为______；
（2）表中n______0.056（填“＞”“=”或“＜”）；
（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强.
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为______.
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AC=BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF.
（1）求证：四边形DFCE是菱形；
（2）若∠B=67.5°，AC=8，求菱形DFCE的面积.
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，BE平分∠ABC交AD于点E.点O在AB边上，以点O为圆心的⊙O经过B、E两点，交AB于点F.
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，AC=12，求阴影部分的面积.
23.(本小题12分)
某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件.公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍.先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单.
（1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
24.(本小题13分)
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点O为AC的中点.在Rt△DBE中，∠DBE=90°，DB=3，BE=4，连接EO并延长到点F，使OF=EO，连接AF.
初步感知：
（1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，请完成填空：∠DAF=______，=______；
深入探究：
（2）如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），连接AD，CE，AE，CF.
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请于以证明；若不成立，请说明理由；
②求四边形AECF的面积最小值.
25.(本小题13分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx过点（-1，3），且对称轴为直线x=1，直线y=kx-k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当k=1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x=2交于点E.若抛物线y=（x-h）2-1与线段DE有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点.试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】-2
12.【答案】x≥1
13.【答案】8π
14.【答案】
15.【答案】2+2
16.【答案】；(，-)
17.【答案】x＞2 ；2
18.【答案】假命题，反例：等腰梯形的对角线相等，但不是矩形 此命题是真命题，理由如下：
∵a=-m+2，b=-m2，
∴a-b=m2-m+2=+＞0，
∴a＞b，
∴原命题是真命题
19.【答案】解：（1）；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，
∴甲、乙2位同学选择不同电影的概率为=．
20.【答案】12.5 ＜ 乙、丁、甲、丙
21.【答案】∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，DE=BC，DF∥CE，DF=AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC=BC，
∴DE=DF，
∴四边形DFCE是菱形 8
22.【答案】如图，BE平分∠ABC交AD于点E，连接EO，则OB=OE，
∴∠OBE=∠DBE，∠OEB=∠OBE，
∴∠OEB=∠OBE=∠DBE，
∴OE∥BD，
又∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠AEO=90°，
∴OE⊥AD，
∵OE是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线
23.【答案】甲车间每天生产180件产品，乙车间每天生产120件产品；
要使这30天的生产总量最大，应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天．
24.【答案】90°，；
①中的结论仍然成立，理由如下：
∵点O为AC的中点，
∴OA=OC，
∵OF=EO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=CE，
∴AF∥CE，
∴∠OAF=∠C，
∵AB=6，BC=8，DB=3，BE=4，
∵==，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，==，
∴∠DAF=∠BAD+∠BAC+∠CAF=∠BCE+∠BAC+∠ACE=∠BAC+∠ACB=90°，=；
②8
25.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx过点（-1，3），且对称轴为直线x=1，
∴，
解得，
则该抛物线解析式为：y=x2-2x；
（2）当k=1时，则y=x-1，
∴当x=0，y=-1，当x=2时，y=1，
∴D（0，-1），E（2，1），
∵y=（x-h）2-1，
∴顶点坐标在直线y=-1上移动，
∵y=（x-h）2-1与线段DE有公共点，
∴联立，
整理，得x2-（2h+1）x+h2=0，
∴当=（2h+1）2-4h2=0，
即时，满足题意，
将开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y=（x-h）2-1与线段DE均有公共点，
∴当y=（x-h）2-1过点E（2，1）时，（2-h）2-1=1，
解得：，
∴当时，抛物线y=（x-h）2-1与线段DE有公共点；
（3）存在，
∵y=kx-k,
∴当y=0时，x=1，
∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点C在抛物线的对称轴上，
∵PQ与直线AB：y=kx-k垂直，
∴设直线PQ的解析式为：y=-x+m,
∵PQ过点C（1，0），
∴0=-+m,
∴m=,
∴，
联立，整理，得x2-（k+2）x+k=0，
∴xA+xB=k+2，，
∵M为AB的中点，
∴M，
联立，
整理得：
设其两根为，根据根与系数的关系得：
两根的和：
两根的积：
中点 N 的横坐标为 P, Q 横坐标的平均值，即：，
=
，
可得：N，
作MH⊥CT，NF⊥CT，
∵TC 平分∠MTN，
∴∠NTF=∠MTH，
∴tan∠NTF=tan∠MTH，
∴，
设T（1，t），则，
解得：，
∴抛物线的对称轴上存在，使得TC 总是平分∠MTN．
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