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2025-2026学年山东省滨州市经开区中海中学九年级（下）第一次质检数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国国家图书馆藏书约2700万册，居世界第五位，把2700万用科学记数法表示正确的是（　　）
A. 2.7×106 B. 2.7×107 C. 2.7×108 D. 27×106
2.下列说法中，正确的有（　　）
①π的相反数是-3.14；②-0.5的相反数是；③-（-3）的相反数是3；④互为相反数的两个数到原点的距离相等；⑤正数和负数互为相反数；⑥相反数等于它本身的数是0.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.某校初中数学实践活动小组在假期开展了剪纸的实践活动，下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
4.如图是由7个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.下列运算正确的是（　　）
A. a3 a3=a9 B. （-2a）3=-8a3 C. a8÷a4=a2 D. 6a6+2a2=8a8
6.甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A. 掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率
B. 掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C. 任意写出一个整数，能被2整除的概率
D. 一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率
7.《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱.问合伙人数、物品的价格分别是多少？则以下做法正确的是（　　）
①设合伙人有x人，依题意得：8x-3=7x+4；
②设物品的价格为y钱，依题意得：；
③设合伙人x有人，物品的价格为y钱，依题意得：.
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
8.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）.根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A. 当I=0.2A时，R=1000Ω B. 当I=0.5A时，R=500Ω
C. 当R＞440Ω时，I＞0.5A D. 当R＜440Ω时，I＞0.5A
9.如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB.若OA=4，∠C=45°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A. π-2
B. 4π-4
C. 4π-8
D.
10.一次函数y1=kx+b与y2=mx+n的图象如图所示，下列选项正确的是（　　）
①对于函数y1=kx+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y=kx+n的图象不经过第一象限；
③2k-2m=n-b.
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知点M（3，-2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是______．
12.观察下列方程：可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程（n为正整数）解x= .（用含n的代数式表示）
13.若存在正实数y,使得，则实数x的最大值为 .
14.如图，将等腰直角三角板平放在平面直角坐标系中，顶点A在x轴上，两直角边分别与y轴交于点B（0，5），C（0，9）.若AB=13，则点A，C之间的距离为 .
15.如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作Tm（m为1～8的整数）.记函数的图象为曲线L.
（1）若曲线L过点T3，则它必定还过另一点Tm，则m= ；
（2）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k为整数时，曲线L离原点最近的k的值为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中.
17.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG∥AD，交AC于点F，交BA延长线于点G.
（1）求证：△AFG为等腰三角形；
（2）若CE=EF，∠BAC=82°，求∠B的度数.
18.(本小题9分)
《国务院关于印发全民健身计划（2021-2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益.某健身中心为答谢新老顾客，举行大型回馈活动，特推出两种“冬季唤醒计划”活动方案.
方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费30元.
方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元.
设王彬一年内来此健身中心健身的次数为x（次），选择方案1的费用为y1（元），选择方案2的费用为y2（元）.
（1）分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）在如图的平面直角坐标系中分别画出它们的函数图象；
（3）预计王彬一年内能来此健身中心12次，选择哪种方案比较合算？并说明理由.
19.(本小题9分)
在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A、B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下：
【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，80.
【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，
组别 50.5≤x＜60.5 60.5≤x＜70.5 70.5≤x＜80.5 80.5≤x＜90.5 90.5≤x＜100.5
A学校 5 15 x 8 4
B学校 7 10 12 17 4
【描述数据】不完整的A学校频数分布直方图如图所示：
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
特征数 平均数 众数 中位数 方差
A学校 74 75 y 127.36
B学校 74 85 73 144.12
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查是______调查（选填“抽样”或“全面”）；
（2）统计表中，x=______，y=______；并直接补全频数分布直方图；
（3）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是______学校（选填“A”或“B”）；
（4）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计B所学校500名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有多少人.
20.(本小题9分)
机动车轮降温淋水独立自动控制装置，由储水箱、导水管、淋水喷头、可变流量电磁水闸、车载电源等组成.如图，是淋水器安装模型，已知AB是⊙O（车轮）的直径，C是⊙O上一点，安装设计要求喷水线与车轮上的C点相切（喷水嘴安装在车体PQ上）.
（1）尺规作图：在PQ上找一点D，连接CD，使∠ACD=∠ABC，求证：直线CD与⊙O相切.
（2）在（1）的条件下，设射线AB与直线CD交于点E，若BC=3dm,BC=BE，求机动车轮胎直径AB的长.
21.(本小题9分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，DE∥AB交BC的延长线于点E，CD恰好平分∠ACE.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，BC=2，求DE的长.
22.(本小题9分)
如图，抛物线与y=ax2+bx+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C.顶点为（1，4）.直线y=3x+7与x,y轴分别相交于点D，E，与直线BC相交于点F.
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF=∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
23.(本小题12分)
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在线段AD上选一点P，并沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM
如图1，当点M在EF上时，则∠CBM=______°.
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成边长为6cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.
如图2，当点M在EF上时，求三角形PBQ的面积.
（3）拓展应用
若正方形纸片ABCD的边长为6cm,通过改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），当FQ=1cm时，求AP的长.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】（-1，1）
12.【答案】n+3或n+4
13.【答案】
14.【答案】15
15.【答案】6
-29

16.【答案】解：（1）
=-2+（2-1）-2-3
=-2+4-3
=-1；
（2）
=
=
=a-2；
当时，
原式=．
17.【答案】证明：∵EG∥AD，
∴∠G=∠BAD，∠AFG=∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠G=∠AFG，
∴AF=AG，
∴△AFG为等腰三角形 57°
18.【答案】y1=30x，y2=10x+200 见解析 他选择方案二比较合算，理由见解析
19.【答案】抽样 18;74.5 A 920
20.【答案】如图：点D即为所求；
证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠ACO+∠ABC=90°，
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACO+∠ACD=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
直线CD与⊙O相切 6 dm
21.【答案】连接OD，
∵AC是⊙O直径，
∴∠B=90°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC=180°-∠B=90°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵CD恰好平分∠ACE，
∴∠OCD=∠DCE，
∴∠ODC=∠DCE，
∴OD∥CE，
∴∠ODE=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线 3
22.【答案】解：（1）∵抛物线与y=ax2+bx+3的顶点为（1，4），
∴y=ax2+bx+3=a（x-1）2+4，
由题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；
（2）在第三象限内的抛物线上存在点P，使得∠PBF=∠DFB；理由如下：
∵直线y=3x+7与x,y轴分别相交于点D，E，
∴当y=0时，3x+7=0，
解得，
∴点D的坐标为．
抛物线与y=-x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），
当y=0时得：-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），
在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为y=sx+t,将点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的表达式为y=-x+3，
联立得：，
解得，
∴点F的坐标为（-1，4）．
连接FA，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
由题知FA⊥x轴，，AF=4，，
设点P的坐标为（m,-m2+2m+3），
，
当∠PBF=∠DFB时，，
解得，m2=3（舍去），
点P的坐标为．
23.【答案】30°；
；
AP=3cm或．
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