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2026届高三
数学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。
1. 在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知平面向量 ，若 ，且 ，则 ()
A. B. C. 3 D. 1
3. 已知 ,若 成等比数列,则 ( )
A. B. 2 C. D.
4. 已知 ,则“圆 不经过第四象限”是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若事件 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 ,若 是曲线 上从左往右依次连续相邻的三个交点,且 ,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 与双曲线 的右支交于 两点，连接 ，若 ，则双曲线 的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,则 的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线 上，则下列说法正确的是( )
A. 准线 的方程为
B. 若 ，则
C. 过点 总能作出两条直线与抛物线 仅有 1 个交点
D. 若 ，延长 与抛物线 交于点 ，则
10. 已知平行六面体 中, , 则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 该平行六面体的体积为
D. 二面角 的正弦值为
11. 定义: 若函数 满足对区间 内任意一个实数 ,总在区间 内存在唯一实数 ,使得 ，则称函数具有性质 . 下列说法正确的是( )
A. 在 上具有性质
B. 若 在区间 上具有性质 ,则
C. 若 在 上具有性质 ,则
D. 已知 ,则不存在实数 ,使得 在 上具有性质
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 若集合 ，则 的子集个数为_____.
13. 某校高二(1)班到高二(4)班各篮球代表队准备举行友谊赛，比赛开始前，有四位同学预测比赛结果如下:赵同学说:(2)班是第二名，(4)班是第四名；钱同学说:(2)班是第一名，(3) 班是第四名；孙同学说:(1)班是第四名，(4)班是第三名；李同学说:(1)班是第一名，(3) 班是第三名. 赛后得知，四人的预测都只有一半正确，则第一名是高二_____ 班.
14. 已知函数 ,在点 处作曲线 的切线 , 其纵截距记为 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知等腰梯形 与等腰梯形 如图 1 所示，其中 ，过点 作 ， 垂足为 . 现沿 进行翻折，使得点 在平面 内的投影为点 ，连接 ， 得到的图形如图 2 所示.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)在图 1 中，若 ， ，求图 2 中直线 与平面 所成角的正弦值.
图 1
图 2
16. (15分)
已知长方形 中， ，点 ， 分别在线段 ， 上(不含端点位置)，且 .
(1)若 ，求 的面积；
(2)求 面积的最小值.
.17. (15 分)
甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制 (没有平局，先胜三局者获胜)，每局比赛甲获胜的概率为 ,各局结果相互独立. 比赛计分规则如下: 若一方以 3:0或 3:1 获胜, 则胜者得 3 分, 败者得 0 分; 若一方以 3:2 获胜, 则胜者得 2 分, 败者得 1 分.
(1)求甲获得 3 分的概率;
(2)若 ，设甲的总得分为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
(3)已知甲在比赛中的总得分 的分布列由 决定. 定义意外指数为
,求 的最大值.
18.(17分)
已知函数 .
(1)当 时，过点 作直线 与曲线 相切，求切点坐标；
(2)若 ，且 ，求证: (其中 为 的导数).
(3)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值构成的集合.
19.(17分)
【信息 1 】已知椭圆 的方程还可以由椭圆第二定义(椭圆 上的动点 满足: 到一个定点 的距离与到不经过这个定点的一条定直线 的距离之比是一个常数 ,其中 ) 得到.
【信息 2】由椭圆的光学性质得到: 从焦点 处发出的一束光线,射向椭圆 上的点 , 经椭圆反射后经过焦点 ; 继续传播,射向椭圆 上的点 ,经椭圆反射后经过焦点 ; 如此反复. 设第 次入射点为 ,规定: 当 为奇数时, ; 当 为偶数时, .
已知椭圆 的焦点为 和 ,点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证: 为定值；
(3)若 ，记 ，求证:数列 为等比数列， .
2026届高三4月质量评估数学参考答案
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D A B C D A
1. ,故在复平面内, 所对应的点为 ,位于第三象限. 故选 C.
2. 由题意得, ,则 ,所以 . 故选 B.
3. D 由题意得, ,则 , 解得 . 故选 D.
4. A 圆 ,则 ,解得 ,“ ” 是 " "的充分不必要条件. 故选 A.
5. ,即 ,则 ,而 ,即 ,则 ,故 . 故选 B.
6. 由题意得, . 令 ,则 ,解得 . 不妨取 , ,则 ,由 , 得 ,因为 ,解得 . 故选 C.
7. 由题意得, ,则 ,而 ,故 , 则 ,则 ,在 中, ,故 ,则 . 综上, . 故选 D.
8. A 由题意得, . 设 , ,则 ,所以 在 上单调递增,故 ,即 ,故 ,从而 . 又因为 ,而 ,即 ,又 ,故 , 所以 . 故选 A.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BC ACD BCD
9. BC 由题意得,抛物线 ,故 ,则所求准线 的方程为 ,故 A 错误; ,解得 ,故 B 正确; 过点 处总能作出两条直线与抛物线仅有 1 个交点, 一条为抛物线的切线,一条为与对称轴平行或重合的直线,故 正确; 易知 ,则 轴,故 ,故 错误. 故选 BC.
10. ACD 由题意得,六面体 的 6 个面均为边长为 2,且有一个角为 的菱形. 设 ,则 ,则 ，所以 ，故 A 正确； ,故 B 错误; 取 的中点 , 连接 ,易得 ,所以 为二面角 的平面角,可求得 ,则 ,故 ,故 D 正确; 四边形 的面积为 ，点 到平面 的高为 ,所以平行六面体的体积为 ,故 C 正确. 故选 ACD.
B. BCD 当 时, ,则 ,故 A 错误; 对于任意的 的取值范围为 ,由 ,得 ,则 ,所以 ,故 ,解得 ,故 B 正确; 对于 ,当 时, 单调递减,此时其值域为 ,且 恒成立,从而 在 时的值域为 ,由题意 ,若 在 上具有性质 ,需满足 ,解得 ,故 C 正确; 若函数 在 上不单调,则存在 ,使得 , ,对于 ,存在不等实数 ,使得 ,不满足定义; 若 在 上单调递增,设函数 的最大值为 ,若 ,当 时, ,所以不存在 ,使得 ; 若 , 存在 ,此时不存在 ,使得 ,故 D 正确. 故选 BCD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 4
由题意得, ,故 ,故所求子集个数为 4 .
13.(1)
若(1)班是第一名，钱同学说“(3)班是第四名”为真， 那孙同学说“(4)班是第三名”为真， 赵同学说“(2)班是第二名”为真，经检验满足题意.
14.
由题意得, . 因为 ,故切线方程为
,则 ,所以 ,
则 ,
所以 ,则 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
(1)因为 平面 ， 平面 ，所以 . (1 分) 又翻折前后都有 ,又 ,所以 平面 . (3 分) 因为 ,所以 平面 . (4 分)
因为 平面 ,所以平面 平面 . (5 分)
(2)易知 ，又 ，
则 . (7 分)
分别以 所在的直线为 轴、 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系 , 则 ,
则 . (8 分)
设平面 的法向量为 ,由 ,得 ,
取 ，则平面 的一个法向量为 . (10 分)
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ,
16.(15分)
即直线 与平面 所成角的正弦值为 . (13 分)
(1)作出图形如图所示:
因为 ，故 ，
则 , (4 分)
所以 . (6 分)
(2)设 ，则 ， (8 分)
所以 . (9 分)
因为 ,
当且仅当 时等号成立, (13 分)
故 面积的最小值 . (15 分)
17. (15 分)
(1)由题意得，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，
所以甲以 3:0 获胜的概率为 , (1 分)
甲以 3:1 获胜的概率为 , (3 分)
所以甲获得 3 分的概率为 . (4 分)
(2)由题意得， 的所有可能取值为0、1、2、3，分别对应甲比赛失败(0分或1分)、甲 3:2 获胜 (2分)、甲 3:0 或 3:1 获胜(3 分)的情况， (5 分)
由 (1) 得, ,
则 的分布列为:
0 1 2 3
1 16 16 27
(9 分)
则 . (10 分)
(3)由题意得， , (11 分)
(12 分)
所以 . (13 分) 令 ,因为 ,所以 ,
18.(17分)
所以当 时, 取得最大值, 取得最大值,最大值为 . (15 分)
(1)当 时， ， ，
设切点坐标为 ,
则直线 的方程为 , (2 分)
将 代入,得 ,
即 . (3分)
令 ,易知 在 上单调递增,
又 ,所以方程 有唯一解 ,
故切点坐标为 . (5 分)
(2) ， ，
即 . (6 分)
要证: ,即证: ,即证: ,
又因为 ,即证 . (7 分)
令 ,则 ,欲证 (*) 式成立,等价于证明 . (8 分)
设函数 ,则 ,
是 上的增函数,所以 ,即 成立,
. (11 分)
(3)令 ，则 ，
令 ,由 得 或 (舍去),
在 上, ,在 上, ,
在 上单调递增,在 上单调递减,
. (13 分)
恒成立, .
又 ,解得 .
综上, 的取值集合为 . (17 分)
19.(17分)
(1)由题意得 ,
故椭圆 的方程为 . (2 分)
(2)设 ，
由题意得, 三点共线,设该直线为 , (3 分)
联立 ,得 ,
则 . (4 分)
由题意得, ,
由椭圆第二定义得, ,
(6 分)
则
综上, 为定值 . (9 分)
(3)由(2)得， ，即 ，
由椭圆对称性得 也成立,
故 ,则 . (10 分)
由椭圆定义得 ,
则 , (11 分)
由 ,得
又 ,
故数列 是以 -1 为首项, 为公比的等比数列, (13 分)
则 ,整理得 , (15 分)
故 ,
即 . (17 分)

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