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惠州中学 2025-2026 学年高二年级第二学期 4 月月考数学
第一部分(选择题 共 58 分)
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知数列 是等比数列,公比 ,前 项和为 ,满足 ,且 ,则 ( )
A. B. 4 C. D. 2
2. 圆 与圆 的公切线条数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3. 已知函数 在 处取得极小值,则 ( )
A. -3 B. -1 C. -1或-3 D. 3
4. 惠州中学高二开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有( )
A. 36 种 B. 64 种 C. 72 种 D. 120 种
5. 函数 在 的图象大致为( )
A.
B
C
D
6. 若直线 是曲线 与曲线 的公切线,则 ( )
A. 0 B. 1 C. e D.
7. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法. 商功》中描述过如图所示的“三角垛”， 最上层有 1 个球, 第二层有 3 个球, 第三层有 6 个球, 第四层有 10 个球, ……, 第 层有 个球,则数列 的前 6 项和为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若函数 有 4 个不同的零点则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的 得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列四个命题中正确的是( )
A. 过点 且斜率为 -1 的直线与直线 之间的距离是
B. 数列 满足 ,则
C. 等差数列 满足 ,则
D. 过 作直线与圆 交于 两点，则 的最小值为 2
10. 已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ,准线为直线 ,直线 与 交于 两点，则下列说法正确的是( )
A. 点 到直线 的距离是 4
B. 若 的方程是 ，则 的面积为 3
C. 若点 在直线 上，则
D. 若 的中点 到直线 的距离为 3,则
11. 已知函数 与 及其导函数 与 的定义域均为 ， 的图象关于点 对称， 的图象关于直线 对称,且 ,若 ,则( )
A. B.
C. 4 为 的周期 D.
第二部分(非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 从 5 名女老师和 3 名男老师中选出一位主考和两位监考参加 2025 年高考某考场的监考工作. 要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为_____.
13. 已知双曲线 的左、右焦点为 ,过 的直线交双曲线右支于 ,若 , 且 ,则 _____.
14. 设函数 ,若 ,使得 ,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知椭圆 的离心率 ,且椭圆过点 .
(1)求 的方程:
(2)过点 直线 与椭圆有两个交点 ，已知 轴上点 ，求证: .
16. 已知数列 满足 ，且 .
(1)求 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)在数列 的前 20 项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列 中的项的概率.
17. 已知函数
(1)讨论函数 的单调区间；
(2)若曲线 在 处的切线垂直于直线 ,对任意 , 恒成立,求实数 的最大值；
18. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 (单位: 千克) 与销售价格 (单位: 元/千克, ) 满足: 当 时, ; 当 时, . 已知当销售价格为 2 元 /千克时, 每日可销售出该商品 800 千克; 当销售价格为 3 元/千克时, 每日可售出 150 千克.
(1)求 的值，并确定 关于 的函数解析式；
(2)若该商品的销售成本为 1 元/千克，试确定销售价格 的值，使店铺每日销售该商品所获利润 最大.
19. 已知函数 .
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 ，判断 的零点个数并证明；
(3)若对任意 ， ，求实数 的取值范围.
惠州中学 2025-2026 学年高二年级第二学期 4 月月考 数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B C A D B BD BC
题号 11
答案 ACD
1. D因为 ,所以 , 即 ,解得 或 ,又因为 ,所以 .
2. A圆 ,圆 ,
则 ,半径为 ,半径为 ,则 ,
则两圆相离，故公切线条数为4. 故选: A
3. 由已知 . 又函数 在 处取得极小值,
所以有 ,解得 或 . 当 时,有 .
解 可得, 或 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递增;
解 可得, ,所以 在 上单调递减.
所以,函数 在 处取得极小值,满足条件; 当 时,有 .
解 可得, 或 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递增;
解 可得, ,所以 在 上单调递减. 所以,函数 在 处取得极大值,不满足条件,舍去.综上, .
4. B【详解(1)当从 8 门课中选修 2 门，则不同的选课方案共有 种；(2)当从 8 门课中选修 3 门，①若体育类选修课 1 门，则不同的选课方案共有 种；②若体育类选修课 2 门，则不同的选课方案共有 种; 综上所述: 不同的选课方案共有 种.
5. 由题意, 关于原点对称,又 为奇函数, 可排除 B 选项;
又 时, 可得 ,可排除 选项,
当 时, , 当 时, ,所以当 时, ,当 时, , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减,结合图像分析 不对, 选项正确.
6. A设 ,设切点为 ,则切线斜率为 ,
则切线方程为 ,即 ,
由题意得 ,即 ,解得 ,即 与 的公切线为 , ,设切点为 ,则切线斜率为 ,则切线方程为 ,即 , 由题意得 ,即 ,解得 ,故选: A.
7. 由题意可知: , 这些等式相加,得 , 显然 适合上式,故 ,所以 ,所以 的前 6 项和为 . 故选: D
8. 由题当 时, ,所以 , 所以当 时, ,当 时, ; 所以 在区间 上单调递增,在 上单调递减,当 时 ,当 时, ; 当 时, ; 所以可作出函数的图象,如下图,
若要使函数 有 4 个不同的零点,所以 的图象与直线 有 4 个交点, 即 ,解得 .
9. BD对于 ,过点 且斜率为 -1 的直线方程为 ,即 , 因此所求距离为 , A 错误; 对于 ,由 ,得 , 则 , B 正确;
对于 ,在等差数列 中,由 ,得 ,则 错误;
对于 ,圆 的圆心 ,半径 ,点 在圆 内, 则圆心 到直线 距离最大值为 ，所以 的最小值为 ， 正确.
10. BC.对于选项 ,由题意可知抛物线 的焦点为 ,准线 的方程为 ,所以点 到直线 的距离是 2,故 错误; 对于选项 ,由 得 ,解得 或 ,
所以 ,又 与 轴的交点为 ,所以 ,所以 的面积为 ,故 B 正确; 对于选项 ,设 ,由 得 , ,因为 ,所以 ,故 正确. 对于选项 ,因为 的中点 到直线 的距离为 3,所以 ,即 ,所以 ,故 D 错误; 故选: BC.
11. ACD对 A: 的图象关于点 对称,故可得 ,
对其积分可得 ,令 ,则 ;
由 可得 ,故 ,也即 ,故 A 正确;
对 B: 若 成立,令 ,则可得 ,也即 ;
而根据已知条件可知 ，相互矛盾，故 B 错误；
对 C: 已知 ,令 为 可得 ,
又 关于 对称,则 ,故 ,也即 ,
对其求导可得 ,也即 ,令 为 ,则 ;
由 A 知: ,故可得 ,令 为 ,则 ,
再令 为 ,则 ,故 ,故 4 为 的周期, C 正确;
对 D: 由 推导可知 ,令 为 可得 ; 由 推导可知 ,
联立可知 ,也即 ,故 2 为 的周期;
又 ，则 ，又2为 的周期可知: ，
故 ，也即 ，故 1 为 的周期；
则 ,故 D 正确.
12. 210 根据题意,可分为三类:
①选三个女教师，全排列即可，不同的安排方案有 (种)；
②选两个女教师，一个男教师，其中男教师只能担任主考或后方监考，两名女教师安排在剩余的两个位置，不同的安排方案有 (种)
③选一个女教师，两个男教师，其中女教师必须担任流动监考，两名男教师安排在主考和后方监考两个位置，不同的安排方案有 (种).
由分类计数原理得,不同的安排方案种数为 . 故答案为: 210 .
13. ,设 ,由 得: , 由双曲线定义知: , 由 得: ,解得: ,又 , 由 得: . 故答案为: .
14. 由题意， ，当 时， ，所以 ；
当 时, ,所以 ,
等号仅当 时成立,所以 . 所以对 ,即 ,即 .
令 ,则 ,当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
,因此 . 故答案为:
15.(1)由椭圆 的离心率 ，得 ，则 ， 由椭圆 过点 ，得 ，解得 ， ，所以椭圆 的方程为 .
(2)依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程 ，
由 消去 ,得 ,设 ,显然
则 ,
所以
.
16.(1)因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
是首项为 0,公差为 2 的等差数列,所以 ,
由 ,得 ,所以 ,所以 ,
故 ，所以 是等比数列，首项为1，公比为3，所以 ，
所以 的通项公式为 .
(2) ，
令 ,
则 ,
上两式相减,得 ,
所以 ,又 ,
所以 .
(3)因为 ， 的前 20 项分别为 ， 由 得 ,又 是偶数,所以在 的前 20 项中有 4 项是 中的项, 所以所求概率 .
17.(1)函数 的定义域为 ，求导可得 .
当 时, 恒成立,此时, 在 单调递增;
当 时,令 ,解得 .
当 ,函数 单调递增; 当 ,函数 单调递减.
综上可知,当 时, 在 单调递增;
当 时, 在 单调递增,在 单调递减;
(2)因为曲线 在 处的切线垂直于直线 ,直线 的斜率为 2，故切线斜率为 .
故 ,解得 . 对任意 恒成立,
即 恒成立,整理可得 .
令 ,所以 的最小值即为 的最大值.
,令 ,解得 .
当 ， ，函数 单调递减；当 ， ，函数 单调递增.
故 在 处取得最小值 ,所以实数 的最大值为 .
18.(1)由题意可知 时， ，所以 ，又当 时， ，所以 ， 解得 ,可得 ,所以
(2)由题意: ,
当 时， ，
则 ,
则令 ,解得 ,令 ,解得 或 ,
所以 在 上递增,在 上递减,因为 ,
所以当 时有最大值,且 ;
当 时, ,
当且仅当 ,即 时取等号,所以 时有最大值 1840,因为 ,
所以当 时, 有最大值 1840,即当销售价格为 5.3 元/千克时,店铺所获利润最大.
19.(1)当 时，函数 ，其定义域为 ，对 求导，得 ， 设 ,对 求导得 ,所以 在 上单调递增;
又 ,
当 时, ,即 单调递减; 当 时, ,即 单调递增;
所以 在 处取得极小值, ,无极大值;
(2)当 时， ，
,所以 是一个零点,
求导得 ,令 ,
,当 时, ,
当 时, ,综上 ,即 在 上单调递增,
又 ,所以 存在唯一的零点 ,
则 时, 单调递减, 时, 单调递增,
所以 ,又 ,所以 在 上还有一个零点,
综上, 在 上有且仅有两个零点;
(3)当 时， 成立，
当 时,因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
当 时, ,令 ,
则 ,因为 ,
所以 ,所以 在 上单调递增,即 在 上单调递增,
又 ,
① 当 时， ，所以 ，
在 上单调递增,则 ,
所以 在 上单调递增; 又 ,所以 恒成立;
②当 时，
在 上单调递增,
存在 ,使得当 时, 在 上单调递减,
则 时, 不恒成立;
当 时, 恒成立,则 .

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