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高三数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米，黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命題范围:高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 ,则
A. 4 B. C. D.
3. 某传媒评选出某省独角兽企业百强榜,其中前 10 个企业的估值(单位:亿元)依次为9.9,9.8,9.8, 9.8,9.8,9.8,9.0,7.5,7.5,7.5,则这 10 个数据的 30% 分位数是
A. 7.5 B. 8.25 C. 9.0 D. 9.8
4. 函数 的图象在 处的切线方程是
A. B.
C. D.
5. 已知函数 则 的值域是
A. B. C. D.
6. 已知 的内角 所对的边分别为 ,若 ,则
A. B. C. D.
7. 过抛物线 的焦点 的直线与 交于 两点，则 的最小值为
A. B. 4
C. D.
8. 在正四棱柱 中, ,以 为球心,表面积为 的球与平面 只有 1 个公共点,若 为棱 的中点,则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.
二、选择题; 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知椭圆 与椭圆 ,则
A. 的短轴长相等
B. 有公共点
C. 的焦距相等
D. 的离心率相等
10. 某公司使用 AGV (自动导引运输车)从仓库 驶往质检区 ，途中必须经过工位 1 或工位 2(若同时经过工位 1 与工位 2,需先经过工位 1,后经过工位 2),其中从 直接到工位 1,从 直接到工位 2,从工位 1 不经过工位 2 到 ,从工位 1 到工位 2,从工位 2 到 ,各有 2 条不同路线可行驶 (每条路线都是单向的), 则
A. 从 到工位 2 有 6 种不同路线
B. 从工位 1 到 有 8 种不同路线
C. 从 经过工位 2 到 有 8 种不同路线
D. 从 到 共有 16 种不同路线
11. 已知函数 ,则
A. 当 时, 的最小值为 -3,没有最大值
B. 当 时, 在 上单调递增
C. 当 时, 的单调递增区间是
D. 当 时,若 在 上恰有 4 个零点,则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知向量 ，若 ，则 _____.
13. 若 ，则 _____.
14. 已知函数 对任意 恒有 ,且 ,给出下列结论: ① ; ② 是偶函数; ③ 的图象关于点 (6，0)对称；④ . 其中正确结论的序号为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知数列 满足 ，且 为常数列.
(1)求 的值；
(2)若 ，记 的前 项和为 ，求 .
16. (本小题满分 15 分)
某无线通讯系统传输数据包时, 受高斯白噪声影响, 每个比特 (二进制位, 是信息领域最小的信息单位)在传输过程中发生误码的概率均为 0.08 ，单个数据包有 10 个比特，每个比特的传输过程相互独立. 若接收端采用纠错技术，当单个数据包中误码数不超过 2 个时，可正确解码，否则需要重传. (规定:
(1)记单个数据包中发生误码的个数为 ，求 的期望与方差；
(2)求单个数据包可正确解码的概率.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在几何体 中， ，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， ,点 是棱 上与 , 不重合的点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.(本小题满分17分)
已知双曲线 的右焦点为 为 的两条渐近线,且 的斜率为 .
(1)求 的方程；
(2)若点 为 上的动点，过点 的直线 与 只有 1 个公共点，且与 分别交于点 .
(1)求证:点 为线段 的中点；
(II)已知 为坐标原点， 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 有 3 个零点 .
(1)求a的取值范围；
( II ) 证明: .
高三数学参考答案、提示及评分细则
1. 由已知得 ,则 . 故选 B.
2. 由 ，得 ，所以 . 故选 D.
3. B ，所以 30% 分位数是把数据从小到大排列后，取第 3 个数 7.5 与第 4 个数 9.0 的平均数 8.25 . 故选 B.
4. 由 ,得 ,所以 的图象在 处的切线方程是 ,即 . 故选 B.
5. A 当 时, 单调递增, ,当 时, . 综上所述, 的值域是 . 故选 A.
6. A 由 ，得 ，所以 ，即 ,又 ,所以 ,又 ,所以 . 故选 A.
7. C 由题意知 ,设直线 的方程为 ,与 联立,得 ,设 ,则 ,当且仅当 时取等号,所以 的最小值为 . 故选 C.
8. D 设 ，则三棱锥 的体积为 ，由球的表面积为 ，得球的半径 ，又球与平面 只有 1 个公共点，则球与平面 相切，所以点 到平面 的距离为 1，在 中， ,所以 的面积为 ,所以 ,解得 ,即 . 以点 为原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 , ,所以 ,设平面 的一个法向量为 ,则 即 . 故选 D.
9. BD 的短轴长为 的短轴长为 2, A 错误; 都经过点 正确; 的焦距为 的焦距为 2, C 错误; 的离心率都为 正确. 故选 BD.
10. AD 对于选项 A: 从 直接到工位 2,有 2 种不同路线,从 先到工位 1 再到工位 2 有 4 种不同路线,所以共有 6 种不同路线，A 正确；对于选项 B:从工位 1 直接到 B 有 2 种不同路线，从工位 1 到工位 2，再到 B 有 4 种不同路线，所以共有 6 种不同路线，B 错误；对于选项 C:从 直接到工位 2，有 2 种不同路线，从 到工位 1 再到工位 2 有 4 种不同路线， 从工位 2 到 有 2 种不同路线，所以总的不同路线数为 ，C错误；对于选项 D，从 只经过工位 1 到 有 4 种不同路线，从 只经过工位 2 到 有 4 种不同路线，从 同时经过工位 1，2 到 有 8 种不同路线，所以共有 16 种不同路线，D正确. 故选 AD.
11. 对于选项 ,当 时, ,当 时, , 当 时, ,故 正确; 对于选项 ,当 时, 在 上单调递增,当 时, 在 上单调递增, 所以 在 上单调递增,故 正确; 对于选项 ,当 时, ,当 单调递减时, 单调递增,所以 的单调递增区间为 ,故 C 错误; 对于选项 D,当 时, ,所以 ,令 ,其中 ,当 时, 单调递减,当 时, , 单调递增,当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,又 时, 时, ,其图象如图所示,当 在 上恰有 4 个零点时, 的取值范围是 ,故 正确. 故选 ABD.
12.2 由题意,得 ,解得 .
13. 由 ,得 ,所以 ,解得 (舍去),或 ,所以 .
14. ①②④ 取 ，得 ，即 ，因为 ，所以 ， ①正确；令 ，得 ，整理得 ，②正确； 中取 ,得 ,用 代换得 ,即 ,所以 ,因为 不恒为零,所以 关于 对称,不关于 对称,③ 错误; 由 ,得 ,所以 ,④正确. 综上所述,正确结论的序号为①②④.
15. 解:(1)因为 为常数列，所以 ，即 ， 3 分
又 ,所以 . 6 分
(2)由(1)知 时，数列 是常数列，
又 ,所以 ,即 . 10 分
因为 ,所以数列 是首项为 0,公差为 2 的等差数列,
所以 . 13 分
16. 解: (1) 由题意知 , 3 分
所以 , 5 分
7 分
(2)由(1)知 ，
所以单个数据包可正确解码的概率为 11 分 . 15 分
17. ( 1 )证明:由 ，得 ，所以 .
又 ,所以 . 2 分
在正方形 中， ，
因为 ,所以 . 4 分
又 平面 ,所以 平面 . 6 分
因为 平面 ,所以平面 平面 . 7 分
(2)解:由(1)得 两两垂直，以点 为原点， 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系如图所示,则 , ,
所以 ,
9 分
设 ,则 ,所以 , 解得 ,即 . 11 分
设平面 的一个法向量为 ,则 即
取 ,得 . 13 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18.(1)解:因为 的右焦点为 ，所以 ， 1 分
因为 的方程为 的斜率为 ,
所以 ,解得 , 3 分
所以 的方程为 . 4 分
(2)(1)证明:设 ，由(1)可知 ，且 ，即 ， 5 分
设 ,直线 的斜率不为 0,设其方程为 ,
与 的方程联立得 ,
因为直线 与 只有 1 个公共点,且 ,
所以 ,整理得 , 7 分
代入 ，得 ， 8 分
因为 的方程分别为 ,
所以 . 9 分
所以 ,所以点 为 的中点. 11 分
(ii) 解: 由 (i) 知 , 13 分
原点 到直线 的距离 , 15 分
所以 的面积为 ,
即 的面积为定值 . 17 分
19.(1)解:因为 ，所以 ，
因为 在 上单调递增,则 时 ,即 . 2 分
设 ,则 ,
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
所以 的最大值为 , 4 分
所以 ,即 的取值范围是 . 5 分
(2)(i)解:令 ，得 .
显然 不满足题意，所以 ，
故问题转化为 ,即 有 3 个实根. 7 分
设 ,则 ,令 ,得 ,令 ,得 ,
所以 在 上单调递增,且 时, 的值域为 ,
在 上单调递减,且 时, 的值域为 , 9 分所以当且仅当 时, 有 3 个不同实根,
所以 的取值范围是 . 10 分
(ii) 证明: 因为 在 上单调递增,且 ,
所以 . 12 分
要证 ,只需证 ,即证 . 13 分由 得 ,所以 ,
所以 . 15 分
设 ,则 ,且 ,
所以问题转换为证明当 时 ,即证 .
设 ,则 ,
所以 在 上单调递增, ,
所以 ,即 . 17 分

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