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高 - 数 学 -
时量:120 分钟 满分:150 分
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 在复平面内,复数 满足 ,则复数 的虚部为
A. -1 B.
C. -2 D. -2i
3. 如图，在梯形 中， ，设 ，则
A. B.
C. D.
4. 已知 ,则 的最小值是
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
5. 为了得到函数 的图象,只需把函数 的图象上的所有的点
A. 保持 不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，再向左平移 1 个单位长度
B. 保持 不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移 1 个单位长度
C. 保持 不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移 1 个单位长度
D. 保持 不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移 1 个单位长度
6. 复数 满足 ,则 的最大值为
A. B. 1
C. D.
7. 在 中,内角 所对的三条边分别为 ,则 的必要不充分条件是
A.
B.
C.
D.
8. 已知 都是锐角, ,则 的值为
A.
B.
C.
D.
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个 选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分 分, 有选错的得 0 分.
9. 已知向量 ,下列结论正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 为钝角，则
10. 函数 的部分图象如图所示,则下确的是
A.
B. 函数 图象的对称轴是
C. 函数 的一个单调递减区间为
D. 若 ，则
11. 在锐角 中,内角 的对边分别是 ,已知 ,则下列说法正确的是
A.
B.
C.
D.
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则与向量 方向相同的单位向量为_____.
13. 函数 的零点为_____.
14. 已知 ,若对任意实数 均有 ,则满足条件的 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
如图，某货轮在 处看灯塔 在货轮的北偏东 ，距离为 海里，在 处看灯塔 在货轮的北偏西 ，距离为 海里，货轮由 处向正北航行到 处时，再看灯塔 在北偏东 ,求:
(1)A 处与 处的距离；
(2)灯塔 与 处的距离.
16.(本小题满分 15 分)
如图，在平面斜坐标系 中， ，平面上任一点 的斜坐标定义如下:若 (其中 分别为与 轴, 轴同方向的单位向量),则点 的斜坐标为 . 此时有 ,试在该斜坐标系下探究以下问题:
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的模长.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 为奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)设函数 ，若对任意的 ，总存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
18.(本小题满分 17 分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 的值.
(2)设 的外接圆半径为 ，内切圆半径为 .
( i ) 若 ，求 的周长;
(ii)求 的最大值.
19. (本小题满分 17 分)
学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时, 发现书中有以下三角恒等式:
(1)证明: .
(2)运用上面的公式解决下列问题:
( i ) 已知 ,求 的值;
(ii) 若 ,求 的最大值.
高一数学一参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C D A A D B B AC ACD BCD
1. C 由题意知集合 ,故 .
2. ,所以 的虚部为 -2 .
3. D .
4. A ,当且仅当 , 即 时取等号,所以 的最小值是 4 .
5. A 把函数 的图象的所有的点保持 不变，横坐标伸长为原来的 2 倍得到函数 的图象，向左平移 1 个单位长度得到函数 的图象.
6. 复数 满足 ,其对应的点是以原点为圆心,1 为半径的圆上的点, 的几何意义是复数 对应的点到点 的距离,所以 的最大值为 .
7. 选项, ,故为充要条件;
B 选项, 或 ,为必要不充分条件;
选项, ,则 ,为充要条件;
D 选项, 且 , ,即 ,为充要条件.
8. 因为 都是锐角,所以 ,又 ,则 , 注意到 ,故 , 所以 .
9. AC 对于 A 选项,当 时, ,故 A 选项正确;
对于 B 选项,当 时, ,故 B 选项不正确;
对于 选项,若 ,则 ,所以 ,所以 选项正确;
对于 D 选项,依题意, ,且 ,故 ,故 D 选项错误.
10. ACD 由图知 , , ,故 A 正确; 由图知 B 显然错误;
由 ,解得 ,令 ,即为 ,故 正确;
的周期为 ,而 ,则 ,故 正确.
11. 对于 选项,由正弦定理可得 ,但是不能得到 ,故 错误;
对于 B 选项, ,故选项 B 正确; 对于 选项,由 为锐角,故 ,从而 ,
故 ，因此 ,故 C 正确;
对于 D 选项,由 C 可知 ,则 , 由 ,得 ,故 D 正确.
三、填空题
12. 由 得 ,则与向量 方向相同的单位向量是 .
13. 设 ,令 ,去分母,得 ,整理得 ,即 ,即 .
14. 令 ,依题意, 恒成立. 当 或 时显然 恒成立. 当 且 时, 的周期依次为 ,由于两个函数周期不相同且都过原点,于是当正数 足够大时,在区间 内函数 的图象与 的图象会发生交错,故不等式 不能恒成立,不合题意. 所以满足条件的 的取值范围为 .
四、解答题
15.(1) 在 中,由已知得 , 2 分由正弦定理得 , 5 分
处与 处的距离为 24 海里. 6 分
(2)在 中，由余弦定理得 ， 9 分
解得 . 12 分
灯塔 与 处之间的距离为 海里. 13 分
16.(1) 由题知 ,
又 ,所以 , 3 分
所以 . 7 分
(2) ,即 , 9 分
即 ,解得 , 12 分
从而 ,则 , 14 分
从而 . 15 分
17.(1)由题意可得，函数的定义域为 ，
因为 是奇函数,所以 ,可得 , 2 分
经检验, 成立,所以 . 4 分
(2)由(1)可得 ,因为 ,所以 ,
,所以当 时, 的值域 ; 7 分
又因为 ,
设 ,则 , 10 分当 时,取最小值 ,当 时,取最大值 ,
即 在 上的值域 , 12 分
又对任意的 ,总存在 ,使得 成立,
即 ,所以 解得 ,即实数 的取值范围是 . 15 分
18.(1) ,故 ,
从而 , 2 分
即 , 4 分
因此 或者 或者 ,
即 或 (舍) 或 (舍),故 . 5 分
(2)(1)依题意，由 ，
又 ,从而 , 7 分
又 ,即 ,
故 ,故 , 9 分
故 . 10 分
(ii) 由 (i) 可知: ,则 ,
依题意,则 , 12 分
因此
15 分
又 ,所以 ,所以 ,
因此 ,即 的最大值为 . 17 分
19.(1)利用余弦的和角、差角公式: ,
将两式相加,得 , 2 分
两边同时除以 2,得 . 4 分
(2)(j)已知 ，利用(1)的恒等式，令 ，则:
6 分
, 8 分
结合已知条件 ,得 . 9 分
(ii)
11 分
13 分
, 15 分
当 且 时取到最大值,最大值为 . 17 分

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