资源简介

2025-2026 学年厦门外国语学校高二下数学第一阶段性测试
数学学科试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分为 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用 铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。
1. 若 ，则 的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2. 已知 ,则 ( )
A. 0.5 B. 0.35 C. 0.25 D. 0.17
3. 用数字 0,1,2,3 组成没有重复数字的三位数，则其偶数的个数为( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
4. 某同学进行投篮练习,若他第 1 球投进,则第 2 球投进的概率为 ; 若他第 1 球投不进,则第 2 球投进的概率为 . 若他第 1 球投进的概率为 ，则他第 2 球投进的概率为()
A. B. C. D.
5. 已知 -1),则 ( )
A. 210 B. 330 C. 165 D. 145
6. 用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同, 则不同的涂色方案的种数是( )
A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
7. 冯老师教高二 4 班和 5 班两个班的数学, 这两个班的人数相等. 某次联考中, 这两个班的数学成绩均近似服从正态分布,其正态密度函数 的图像如图所示,其中 是正态分布的期望, 是正态分布的标准差,且 . 关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是( )
A. 4 班的平均分比 5 班的平均分高
B. 相对于 5 班, 4 班学生的数学成绩更分散
C. 4 班 108 分以上的人数约占该班总人数的 4.55%
D. 5 班 112 分以上的人数与 4 班 108 分以上的人数大致相等
8. 有甲、乙两个盒子, 甲盒子里有 1 个红球, 乙盒子里有 3 个红球和 3 个黑球, 现从乙盒子里随机取出 个球放入甲盒子后,再从甲盒子里随机取一球,记取到的红球个数为 个,则随着 的增加,下列说法正确的是( )
A. 增加, 增加 B. 增加, 减小 C. EX减小，DX增加 D. EX减小，DX减小
二、多选题:本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 下列说法正确的是( )
A. 若 ,则 的值为 3 或 2
B. 若数据 的标准差为 ,则 的标准差为
C. 二项式 的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等
D. 若 5 名教师分到 4 所学校任教，每所学校至少分配 1 名教师，则分配方法有 480 种
10. 下列选项中正确的是( )
A. 已知随机变量 服从二项分布 ，则
B. 口袋中有大小相同的 7 个红球、 2 个蓝球和 1 个黑球. 从中任取两个球, 记其中红球的个数为随机变量 ,则 的数学期望
C. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为 0.8 ，则在 9 次射击中，最有可能击中的次数是 8 次
D. 设 是一个随机试验中的两个事件,且 ,则
11. 若数列 的前 项和为 ，且 ，在数列 的前 项中任取两项都是正数的概率记为 ,下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 袋中有大小、质地相同的 4 个红球和 3 个黑球, 一次性从袋中取出 4 个球, 取到 1 个红球得 1 分, 取到 1 个黑球得 3 分，设得分为随机变量 ，则 _____. (用分数表示结果)
13. 已知随机变量 ，当 取最大值时， _____.
14. 一组随机变量的和的期望与这组随机变量各自期望的和相等. 即 . 利用以上定理
求解下列问题: 将 个不同的小球放入 个不同的盒子,设每个球落入各个盒子的可能性是相同的,则空盒子个数的数学期望是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13 分)
已知函数 在 处有极值.
(1)求 的值；
(2)若函数 恰有 3 个零点，求实数 的取值范围.
16. (本小题 15 分)
如图，在四棱锥P 中，底面 为菱形， ， ， 平面 ，点 ， 分别在棱 上,且 .
(1)求证: ；
(2)若 ， 与平面 所成的角为 ，点 关于平面 的对称点为 ， 求点 到平面 的距离.
17. (本小题 15 分)
某次考试的多项选择题，每题 4 个选项中正确选项有 2 个或 3 个，得分规则如下:若正确选项有 2 个， 只选 1 个且为正确选项得 3 分，2 个且都为正确选项得 6 分，否则得 0 分；若正确选项有 3 个，只选 1 个且为正确选项得 2 分, 选 2 个且都为正确选项得 4 分, 选 3 个且都为正确选项得 6 分, 否则得 0 分. 学生甲对其中的一道多项选择题完全不会,该题恰有 2 个正确选项的概率为 ,记 为甲随机选择 1 个选项的得分, 为甲随机选择 2 个选项的得分,
(1)若 ，求 ；
(2)求 的概率分布列和数学期望；
(3)证明:当且仅当 时， .
18. (本小题 17 分)
已知数列 各项均不为零, .
(1)当 时，①求 ；②求 的前 50 项和；
(2)若 ,求正整数 的最小值.
19. (本小题 17 分)
如果点 在运动过程中,总满足关系式 ,设点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)若点 ， ， 为轨迹， 上一点(不在坐标轴上)，设点 ， 分别为 的内心和重心， ①证明: 所在的直线与 轴平行；
②过 作直线 与轨迹 交于点 ，且 ，求 面积的取值范围.
【参考答案】
1.【答案】 因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,故选: .
2.【答案】
3.【答案】 .
4.【答案】 ,
是 的系数,来自于 展开式中的 的系数,即
. 故选 .
5.【答案】
设六个圆的序号依次为1,2,3,4,5,6,可知1,2共有 种涂色方法,则有:
若 3 与 1 的颜色相同, 则 5 必须与 2 的颜色相同, 此时只有 1 种涂色方法;
若 3 与 1 的颜色不相同,即 3 的颜色与 1,2 均不相同,则 4,5,6 的颜色均不相同,共有 种涂色方法. 故不同的涂色方案的种数是 . 故选 .
6.【答案】 由题意结合正态分布的密度曲线可得 4 班的数学平均成绩为 98,5 班的数学平均成绩为 100 ，故 错误，由图象可得 4 班的数学成绩的标准差为 5，5 班的数学成绩的标准差为 6，相对于 5 班，本次考试中 4 班不同层次学生的成绩更稳定，故 错误，
4 班 108 分以上的人数约占该班总人数的概率为 ,故 错误,
5 班 112 分以上的人数约占该班总人数的概率为 ,
又这两个班的人数相等，所以 5 班 112 分以上的人数与 4 班 108 分以上的人数相等，故 正确，故选:D.
7.【答案】 记 “第 1 球投进”, “第 2 球投进”,
则 ,因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
则 . 故选: .
8【答案】 依题意,从乙盒子里随机取出 个球,含有红球个数 服从超几何分布,即 ,
其中 ,其中 且 .
故从甲盒中取球,相当于从含有 个红球的 个球中取一球,取到红球个数为 个,
故 ，随着 的增大， 减小；
,随着 的增大, 增大; 故选 .
9. 对于 ,由组合数的性质可得 ,解得 ,
又 ,所以 或 ,解得 或 ,正确;
对于 ,设数据 的平均数为 ,则数据 的平均数为
,由数据 的标准差 ,
则数据 的标准差为 ,正确;
对于 ,由二项式 的展开式为 ,则第二项的二项式系数为 ,第四项的二项式系数为 ,错误; 对于 ,由题意可知,5位教师的分组情况为2,1,1,1的分组,再分配到 4 所学校, 所以分配方案有 ,错误.
10.【答案】 对于 ,故 正确 ;
对于 为超几何分布,所以 ,故 正确;
对于 ,设最有可能击中 次,则 ,
则 ,
得 ,即 或 8,故 错误;
对于 ,则 ,故 正确. 故选: .
11. AC数列 中, ,当 时, ,则 ,
而 ,解得 ,
所以数列 是首项为 1,公比为 -1 的等比数列, ,
当 时,数列 的前 项中,有 个正数, 个负数,
任取两项都是正数的概率为 ,
当 时,数列 的前 项中,有 个正数, 个负数,
任取两项都是正数的概率为 ,
对于 正确;
对于 错误;
对于 正确;
对于 , 错误.
12.【答案】
由题意可知, 若得分不大于 7 分, 则取到的 4 个球都是红球或者取到的 4 个球中有 3 个红球、 1 个黑球 . 若 4 个球都是红球,则 ,此时得分为 4 分; 若 4 个球中有 3 个红球、 1 个黑球,则 ，此时得分为 6 分. 故 . 故答案为 .
13.【答案】 因为 ,所以 ,故 p),设函数 ,
则 ,令 得, 或 (舍),故当 时, ,当 , ,所以 在 上单调递增, 上单调递减,故 在 处取最大值,其最大值为 . 故答案为: .
14.【答案】 定义随机变量 如下: 当第 个盒子中有球时, ,当第 个盒子中没有球时, . 再令 ,则 表示无球盒子的个数.
由题: ,所以 .
因为每个球放入第 个盒子的概率为 ,不放入该盒子的概率为 ,又因为每个小球是否放入第 个盒子是相互独立的,所以 个小球均不放入第 个盒子的概率为 ,至少有一个小球放入第 个盒子的概率为 ,由此得 的分布列如下表所示.
0 1
所以 ,所以: .
15.(1)由函数 ,可得 ,
因为 在 处取极值,可得 ,解得 ,
当 时, ,
当 或 时, ; 当 ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 单调递增,
故满足 在 处取极值,所以 .
(2)解:由(1)知:函数 在 上单调递增，在 上单调递减
，在 单调递增，所以 ， ，
由于当 时, 时, ,
时, ,当 时, ,
画出函数 的图象,如图所示,又因为方程 有 3 个实数根时,即函数 与 的图象有三个公共点,结合图象,可得 ,所以 恰有 3 个零点时,实数 的取值范围为 .
16.(1)证明:连 ， 相交于点 ，连 . ∵底面 为菱形， 且 . 又 平面 平面 ,平面 平面 ,
,又 ,而 .
平面 ，又 ， 平面 ，而 平面 ，
为等腰三角形,即 . a
(2)若 ，则 ，由(1)知 ， 平面 ，
以 为原点以 分别为 轴, 轴, 轴建立直角坐标系,
又 ,则 ,
平面 ， 与平面 所成的角为 ，
.
.
设平面 的法向量为
则 取 ,
设 ,则 到平面 的距离相等,
.
又 ,解得 ,
设平面 的法向量为 .
则 取 ,
则点 到平面 距离为 .
17.(1)记事件 为 “该题恰有 2 个正确选项”，事件 为 “该题恰有 3 个正确选项”， 事件 为 “甲随机选择 1 个选项为正确选项”,则 ,
所以
分
(2)随机变量 的所有可能取值为 0,2,3,
Y 0 2 3
所以随机变量 的概率分布列如下:
所以 .
(3)证明:随机变量 的所有可能取值为 0,4,6,
所以
所以 当且仅当 ,当且仅当 . 得证.
18.(1)当 时， ，故 ，.
所以 ,即 ,故 ,
所以数列 是周期为 6 的数列,又 ,故 的前 50 项和为: .
(2)方法一 由题意 ，故 ，.因为 ，
所以 ,即 ,故正整数 满足 .
当 时, ,所以 ,
从而 ,
即 ,得 ,所以 ,故最小正整数 的值为 2 .
方法二 由 (1) 知, 时, ,故 不合; .
当 时,因为 ,在 两边同除以 得,
,即 ,所以 是等差数列,
因为 ,所以 的公差为 2,所以 ,即 ,
所以 ,故最小正整数 的值为 2 .
19.(1)由椭圆的定义，点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴 的椭圆. 所以点 的轨迹方程为: .
(2)①由(1)知， ， 为椭圆 的焦点，所以 ， ，
由对称性,不妨设点 在 轴右侧,设 内切圆半径为 . 则 ,所以 ,即 .
又 为 的重心，所以 .
所以 与 轴平行.
② 设 延长线交 轴于 点.
设点 ,则 .
则 .
同理可得 .
因为 为 的内心,结合三角形面积公式可得 , 即 ,也即 ,所以 ,则 . 又 ,所以 .
设 ,则 ,所以 . 设 ,则直线 ,
即 .
设 ,联立 ,整理得 ,
则 ,
所以 ,所以 .
又 ,
所以 .
又 ，且 ，所以 ，所以 ，即 .
所以 面积的取值范围为 .

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