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三明一中 2025-2026 学年下学期 4 月月考 高一数学试卷
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
第一部分(选择题 共 58 分)
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 若 为实数， 是纯虚数，则复数 为( )
A. B. C. D.
2. 的直观图 如图所示，其中 轴， 轴，且 ，则 的面积为( )
A. B. 4 C. D. 8
3. 在 中，点 是 上靠近 的三等分点， 是 上靠近 的三等分点，则 ( )
A. B. c. D.
4. 在 中,内角 所对的边分别为 . 若 ,则 ( )
A. 120° B. 45° C. 60° D. 30°
5. 已知平面向量 是两个单位向量， 在 上的投影向量为 ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
6. 在 中,内角 所对的边分别为 ,若 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 在直角三角形 中, 是斜边 上的两个动点,且 ,则 取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知平面向量 ，且 ， ，向量 满足 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列向量组中, 能作为平面内所有向量基底的是 ( )
A. B.
C. D.
10. 的内角 的对边分别为 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则
B. 若 ，则 是钝角三角形
C. 若 ，则 为等腰三角形
D. 若 ，则 有两解
11. 东汉末年 数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”. 如图 1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 我们通过类比得到图 2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 拼成的一个大等边三角形 . 对于图 2. 下列结论错误的是( )
图 1
图 2
A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 是 的中点，则 的面积是 面积的 5 倍
第二部分 (非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 化简 的结果等于_____.
13. 已知复数 满足 ，则 ( 是虚数单位)的最小值为_____.
14. 在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边,若 ，且 ，已 ，则当 取最大值时， _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15. (13 分) 已知复数 为 为虚数单位), 在复平面上对应的点在第四象限,且满足 .
(1)求实数 的值；
(2)若复数 是关于 的方程 的一个复数根，求 的值.
16. (15 分)已知向量 .
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求向量 与向量 的夹角；
(3)若 ，且 ，求向量 的坐标.
17. ( 15 分)记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ，
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 .
18.(17 分)如图，游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径. 一种是从 沿直线步行到 ， 另一种是先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 . 现有甲、乙两位游客从 处下山，甲沿 匀速步行，速度为 . 在甲出发 后，乙从 乘缆车到 ，在 处停留 后，再从 匀速步行到 ,假设缆车匀速直线运动的速度为 ,山路 长为 ,经测量 ,
(1)求索道 的长；
(2)问:乙出发多少 min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在 处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
19.(17分)如图，设 ，且 ，当 时，定义平面坐标系为 的斜坐标系. 在 的斜坐标系中,任意一点 的斜坐标这样定义: 设 分别为 正方向同向的单位向量,若向量 ，记向量 . 在 的斜坐标系中.
(1)若向量 ，求 .
(2)已知向量 ， ，证明: .
(3)若向量 的斜坐标分别为 和 ，设函数 ，
①证明: 有且只有一个零点 .
②比较 与 的大小，并说明理由. (参考数据: )
三明一中 2025-2026 学年下学期 4 月 月 考 高一数学答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
1 2 3 4 5 6 7 8
D B C A B D C B
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9 10 11
ABC ACD ACD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 13. 4 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15.(本小题满分 13 分)
【小问 1 】
依题点 在第四象限,则 ,由 ,得 ,
即 ，所以 . 5 分
【小问 2 】
由(1)知， ，由复数 是关于 的方程 的根，
得 ,
整理得 ,而 ,
因此 ，解得 所以 13 分
16.(本小题满分 15 分)
【小问 1 】
因为 ,所以 .
所以 . 4 分
【小问 2 】
因为 ,所以 . 即 .
所以 . 即 ,
所以 . 因为 ,所以 . .9 分
【小问 3 】
因为 ,所以 .
因为 ,设 ,则 ,
解得 ,故 或 . .15 分
17. (本小题满分 15 分)
【小问 1 】
由余弦定理有 ,对比已知 ,
可得 ,
因为 ,所以 ,
从而 ,
又因为 ,即 ,注意到 ,所以 . .7 分
【小问 2 】
由 (1) 可得 ,从而 ,
而 ,
由正弦定理有 ,
从而 ,
由三角形面积公式可知, 的面积可表示为
由已知 的面积为 ，可得 ，所以 15 分
18. (本小题满分 17 分)
【小问 1 】
在 中,因 ,所以 ,
从而 .
由正弦定理 ，得 (m). .5 分
【小问 2 】
假设乙出发 后，甲、乙两游客距离为 ，此时，甲行走了 ，乙距离 处 ， 所以由余弦定理得 , 由于 ,即 ,故当 时,甲、乙两游客距离最短. .11 分
【小问 3 】
由正弦定理 ，得 .
乙从 出发时,甲已走了 ,还需走 才能到达 .
设乙步行的速度为 ，由题意得 ，解得 ，
所以为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 ，乙步行的速度应控制在 (单位: m/min)范围内. .17 分
19. (本小题满分 17 分)
【小问 1 】
因为向量 ，所以 ，又因为 ，
所以 ,所以 4 分
【小问 2 】
因为向量 ,所以 ,
所以 化简得 .
【小问 3 】
①由 (2) 得 ,
化简得 ,
所以 ,
当 时, 单调递增,因为 ,
又因为 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,
由零点存在定理可得,存在 ,使得 ,
所以 在 上有一个零点.
当 时, ,所以 ,
故 在 上没有零点.
当 时, ,
所以 ,故 上没有零点.
综上可得, 有且只有一个零点 .
② .
理由如下: 在 上单调递减,
所以 ，即 ，所以 . .17 分

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