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2026 年哈尔滨市高考第一次模拟考试 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2. 答题时请按要求用笔。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题: 本题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知平面向量 ,若 ,则 的值为
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
2. 已知全集 ，集合 ，则
A. B. C. D.
3. 若以直线 为渐近线的双曲线经过点 ,则该双曲线的方程为
A. B. C. D.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 13 B. 15 C. 17 D. 19
5. 某科技公司要组建一个 3 人的科研团队，现有 2 名工程师和 4 名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有
A. 8 种 B. 12 种 C. 16 种 D. 20 种
6. 已知 ,则
A. B. C. D.
7. “ 的展开式中 的系数为 60 ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数 的图象满足以下特征:图象经过点 ,并且在 轴右侧的第一个零点为 ,第一个最低点为 ,函数 在 上的值域为 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ,则下列结论正确的有
A. 的虚部是 B. 在复平面对应的点位于第二象限
C. D.
10. 已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 曲线 在 处的切线方程为
B. 函数 的值域是
C. 若点 是曲线 上的动点，则点 到直线 距离的最小值为
D. 若过点 至少可以作曲线 的两条切线,则
11. 已知正方体 的棱长为 2， 为边 的中点， 为空间内一动点， 则下列说法中正确的是( )
A. 当 在线段 上运动时,四面体 的体积为定值
B. 当 在正方体表面上运动时,若 ,则 的轨迹长度为
C. 当 在线段 上运动时,直线 与 成角最小值为
D. 当 在线段 上运动时,四面体 的外接球半径的取值范围为
三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 中,已知 ,则 _____.
13. 已知函数 为奇函数，则 _____.
14. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 上一点， . 圆 与线段 的延长线和线段 的延长线分别相切于点 和点 , 与线段 相切于点 ,且 ,则椭圆 离心率的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验， 收集数据如表所示.
零件数 /个 60 70 80 90 100
加工时间 95 104 108 116 122
经计算得 .
(1)建立加工时间 关于零件数 的一元线性回归方程；
(2)关于加工零件的个数与加工时间，由(1)间你能得出什么结论？
参考公式:经验回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
16. (15 分)
在数列 中,已知 .
(1)求证数列 是等比数列；
(2)设 ， ，记数列 的前 项和为 ，若 对于 恒成立,求 的取值范围.
17. (15 分)
如图，三棱柱 的所有棱长均为2，且 .
(1)证明: ；
(2)若三棱柱 的体积为3，求平面 与平面 所成夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知抛物线 ，焦点为 ， 为抛物线上一动点. 当 的纵坐标为 时， .
(1)求 的方程；
(2)设 为坐标原点，过点 作抛物线的准线的垂线，垂足为 ，直线 交 于另一点 ,证明: 三点共线;
(3)若点 在 上，且线段 的中点在直线 上，点 ，求 面积的最大值.
19. (17 分)
在生态系统中,某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量 (单位: 千只) 与时间 (单位: 月),满足函数 ,其波动呈现 “往复波动, 逐渐稳定”的特征.
定义: 若函数 在 上满足:
1. 震荡性: 在 上无限次正负交替；
2. 衰减性: 任意给定正实数 ,存在实数 ,使得当 时, .
则称 为震荡衰减函数.
(1)求 在 内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0(不必证明)？
(2)根据定义判断函数 在 上是否为震荡衰减函数. 如果是，请给出证明；如果不是,请说明理由.
(3)设 . 求证: 无最大值.
参考答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8
A D B C C A B C
9 10 11
BD BCD ACD
12. 13.
14.
详解:
8. 定位 “五点”: 零点 是 “五点法” 中的第三个点 ，最低点 是第五个点 ,可知 。
求 : 第三个点到第五个点的距离为 ,即 。
求 : 第三个点满足 ,直接锁定初相。
故 。函数 在 上的值域为 可知
时, ; 当 时,
时, ,当 时, ,故取不到 , ,选 C.
11. 对于 ，由于 ，且 ，则 到平面 的距离不变， 正确.
对于 ，线段 在平面 内射影为 ，连 ，则 ，且 。又 ， 故 平面 ,则 在平面 内射影为 . 取 中点 ，连 ，则 ,且 ,又 ,故 平面 ,则 ,取 中点 , 轨迹为四边形 . 长度为 , B 错误.
对于 ,过 作 于 ,连 ,易记 平面 ,则 ,则 与 成角为 ， ，随着 从点 运动到 ， 增大， 减小，从而 增大, 增大,因此当点 位于点 时,成角最小为 正确.
对于 ,由外接球定义,球心在底面 射影为 ,过 作平面 的垂线,从而则球心在该直线上. 又由于平面 平面 ,从而球心为 外心,记为 ,球半径为 外接圆半径,由正弦定理 ,而 ,故 , D 正确.
14. 解法一: 设 ,因为 ,所以
由圆 与线段 的延长线和线段 的延长线分别相切于点 和点 ,与线段 相切于点 ,所以
因为 ,且 ,所以
又因为
所以 ,即 ,所以椭圆 的离心率 ,
因为函数 在 上单调递增,所以 .
即椭圆 离心率的取值范围是 .
解法二: 切线长定理、向量条件
由椭圆定义求焦半径
根据椭圆定义 ,结合 ,解得:
应用切线长定理设圆 与 延长线切于 ,与 延长线切于 ,与 切于 。
根据切线长定理:
设 。
从 点出发的切线长:
从 点出发的切线长:
由 ,得:
又 在线段 上,故 。
联立方程:
解得:
即 。
由 ,可知 。
代入 和
整理得: .
因此离心率 为:
已知 ，则 。
代入 ，得:
解法三: 旁切圆性质公式
确定旁切圆切点位置
圆 是 的一个旁切圆,与边 相切。
对于三角形的旁切圆,其与一边的切点到对应顶点的距离公式为:
代入
结合向量条件
由 得 。
联立 ,整理得:
因此离心率 为:
已知 ，则 。代入 ，取绝对值:
15. 解:
(1) , 4 分
6 分
8 分
9 分
所以加工时间 关于零件数 的一元线性回归方程为 . 10 分
(2)由回归直线方程可知，斜率 ，说明加工零件个数 与加工时间 呈正线性相关，零件零件数每增加一个, 加工时间平均增加 0.66min. 13 分
16. 解: (1) 可得
故 4 分
所以 是以 为首项,2 为公比的等比数列. 5 分
(2)由(1)可知 7 分
9 分
11 分
由 单调递增, 可知, 13 分
故 ，解得 15 分
17. 解:
(1)证明:因为三棱柱 的所有棱长均为2.
所以底面 为等边三角形,侧面 为菱形且 .
取 中点为 ,连接 .
则 3 分
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 . 5 分
因为 平面 ,
所以 . 6 分
(2)设 到平面 的距离为 ，
三棱柱 的体积 ，所以 .
因为 ,
所以 平面 . 7 分
以 为坐标原点, 方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向
建立空间直角坐标系,则 ,
所以 . 8 分
设平面 的一个法向量为 ,
则
取 ,则 . 10 分
设平面 的一个法向量为 ,
则
取 ,则 . 12 分
所以 . 14 分
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 . 15 分
18. 解:
(1)抛物线 的焦点为 ，准线为 .
由抛物线定义 ,故解得 .
因此,抛物线 的方程为 . -4 分
(2)设过焦点 的直线方程为 ，与抛物线 联立得 .
设 ,由韦达定理得 . 5 分
因为 ,所以 ,
又 , 7 分
所以 ,
即 ,所以 三点共线. 10 分
(3)解法 1
设 的中点为 ,则 . 11 分
结合 ,得 ,进而 .
弦长 . (无范围 11 分) 12 分
直线 的方程为 ,
点 到直线的距离 -13 分
面积 14 分
法 1: 令 ,则 . 15 分
求导得 . 令 ,解得 ,并且
在 上单调递增,在 上单调递减. 16 分
此时 . 17 分
法 2: 16 分
当且仅当 时,取得最大值. 17 分
解法 2: 设直线 的方程为 ,与抛物线联立得 .
由中点在 上,得 . 12 分
弦长 ,
点 到直线的距离 . 14 分
面积 ,令 ,则 .
求导得 ,令 ,解得 ,此时 . 17 分
解
(1)
令 ,因 恒成立,故 ,解得 . 3 分当 时, ; 当 时, ,故 为极小值点 4 分当 时, ,故 为极大值点. 5 分
答: 在这些极值点处, 波动量的增长速率为 0 . 6 分
(2)由第 1 问知， .
因 是周期为 的周期函数. 当 时, ,正弦函数在该区间内无限次正负
交替; 又 为常数. 故 无限次正负交替,满足震荡性. 8 分
又因为 ,令 ,可得 ,令 .
则当 时, ,所以函数 有衰减性. 10 分
综上, 满足震荡性和衰减性,是震荡衰减函数. 11 分
(3)因为 ， .
所以 .
显然
因为
所以,若 存在最大值点 ,则 . 12 分
下面研究 在 上的单调性
(i) 当 时, ,则 ,
因为 .
(ii) 当 时, ,故
(iii) 当 时,
则
其中 为锐角, ,所以 . 14 分
令 ,则当 时, ,当 时, . 因为 为连续函数, 所以结合 (i) (ii) (iii) 可知 在 单调递减,在 单调递增,在 单调递减. 因为 15 分
在 上无最大值点. 无最大值点. 17 分

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