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高二年级 2026 年春期 4 月检测数学学科
一、单项选择题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知函数 在 处可导,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
2 4
1 2
2. 在右边的表格中, 如果每格填上一个数后, 每一横行成等差数列, 每一纵列成等比数列,那么 的值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知数列 为等差数列,且 成等比数列,则 为( )
A. 1 B. C. 15 D. 3
4. 数列 满足: 是 的前 项和,则 ( )
A. 4042 B. 2021 C. D.
5. (教材 P31 A 组 T3)一个各项为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比 ( )
A. B. C. D.
6. (第三次月考 T6 改编) 已知 分别是等差数列 与 的前 项和,且 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. (教材 P34 例 1 改编)某人于 2020 年 6 月 1 日去银行存款 a 元，存的是一年定期储蓄， 2021 年 6 月 1 日将到期存款的本息一起取出再加 a 元之后还存一年定期储蓄，此后每年的 6 月 1 日他都按照同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利率 r 不变，则到 2025 年 6 月 1 日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
8. 已知数列 是公比为 的正项等比数列,且 ,若 ,则
A. 4050 B. 2025 C. 4052 D. 2026
二、多选题:(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 在点 处的切线与曲线 只有一个公共点, 则 的值为( )
A. 0 B. C. D. 2
10. 已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列 的前 项和为 ， ,则下列选项正确的为 ( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 是等差数列
C. 数列 的通项公式为 D.
11. 已知红色箱子内有 6 个红球、 2 个黄球, 黄色箱子内有 2 个红球、 6 个黄球, 所有球除颜色外完全相同, 现从这两个箱子中随机摸球, 具体摸球规则如下: 第一次从黄色箱子中摸出一个球再放回去，第 2 次从“与第 1 次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去,...,第 次从 “与第 次摸出的球颜色相同的箱子” 内摸出一个球然后再放回去,若记第 次摸出的球是黄球的概率为 ,则下列说法中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题(本题共 3 小题, 12-13 每题 5 分,14 题第一空 2 分, 第二空 3 分, 共 15 分.)
12. (教材 P61 B 组 T1 改编) 根据导数的几何意义,则函数 在 处的导数值为_____.
13. (教材 P45 T10 变式)已知等差数列 的首项为 ，前 项和为 ，若 . 且 ，则 的取值范围为_____.
14. 已知数列 满足 ,且 是 的等差中项, 是数列 的前 项和,则 _____, _____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (13分)已知 是首项为 1 的等比数列，数列 满足
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16. (15分)(1)已知函数 ，若曲线 在 处的切线也与 的图象相切,求 的值.
(2)过点 作曲线 的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数 的取值范围.
17. (15 分)牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选. 某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入 40 万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少 ，本年度牧草销售收入估计为 30 万元, 由于养护管理更加精细, 预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加 .
(1)设 年内总投入金额为 万元，牧草销售总收入为 万元，求 ， 的表达式:
(2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？( ， )
18.(17分)设 是数列 的前 项和，已知 .
(1)证明: 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)记 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19.(17分)已知数列 的通项公式为 ，数列 是所有正偶数从小到大排列构成的数列,数列 是由 的公共项从小到大排列构成的数列,
(1)求 ，及 的通项公式:
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，
① 求 的值;
②在数列 中是否存在 3 项 (其中 互异) 成等比数列 若存在, 求出这样的 3 项; 若不存在, 请说明理由.
高二数学 2026 年春期 4 月检测数学学科答案
1-8.BAADCBDA 9.AB 10. AC 11.ABD
12. .
4. 因为 ,由 得 ,
进而得: ,可得: ,
5.C 不妨取最简单的前三项为例,有 ,即 ,解得 即可,负值舍去。
6. 因为数列 是等差数列,所以 ,
所以 ,
又因为 分别是等差数列 与 的前 项和,且 ,
所以 ，
7. 设此人 2020 年 6 月 1 日存入银行的钱为 元，2021 年 6 月 1 日存入银行的钱为 元，以此类推,则 2025 年 6 月 1 日存入银行的钱为 元,那么此人 2025 年 6 月 1 日从银行取出的钱有 元,由题意,得 ,
所以
.
8. 由数列 是公比为 的正项等比数列,故 ,
因为 ,故 ,
即有 ,
由 ,则当 时,
有 .
设 ,
故 .
9. 因为 的导数为 ,
所以曲线 在 处的切线斜率为 ,
所以曲线 在 处的切线方程为 ,即 .
因为切线 与曲线 只有一个公共点,
所以联立 得: ①有且只有一解,
当 时，①式变为 ，则 ，方程①有且只有一解，符合题意；
当 时,则 ,解得 .
综上, 或 .
10. 因为 ,所以 , 即 ，且 ，所以数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 A 正确，B 错误； 所以 ，即 ，故 正确:
因为 ,
所以 ,
故 D 错误:
11. 由题意可知， 若记第 次摸出的球是黄球的概率为 ，则第 次摸出的球是红球的概率为 则第 次摸到黄球的概率为
即 ,故 为首项为 ,公比为 的等比数列
即 ,故
13. 设等差数列 的公差为 , 数列 是以 为首项, 为公差的等差数列, ,解得: , ,解得: ,即 的取值范围为 .
14. 由题知 ,解得 ,
当 是偶数, 是奇数,故 ,
所以 ,因为 ,
故 是首项为 ,公比为 2 的等比数列,
故 .
所以当 时, ,
所以
;
.
15.(1)设 的公比为 ，根据题意，当 时， .(1 分)
即 ，(2 分)
解得 . (4 分)
所以 . (5 分)
(2)因为 ，所以 ，(7 分)
方程两边都除以 得 . (9 分)
所以 . (11 分)
于是 . (13 分)
16.(1) ， ，又 ， 曲线 在 处的切线方程为 . 设直线 与 的图象相切于点 ,
切线方程为 ,即 ,
,解得 ,所以 ; (7 分)
(2)对 求导得 ，设切点坐标为 ，则过点 的切线的斜率 ,化简得 ,依题知,关于 的方程 有两个不相等的实数根, ,解得 或 , 故实数 的取值范围是 (15 分)
17.(1)由题知，每年的追加投入是以 40 为首项， 为公比的等比数列，
所以, : 同理,每年牧草收入是以 30 为首项, 为公比的等比数列,
所以, . (7 分)
(2)设至少经过 年，牧草总收入超过追加总投入，即 ， 即 , 令 ,则上式化为 ,即 ,
解得 ,即 ,所以, ,
即 ,所以 ,
所以，至少经过 3 年，牧草总收入超过追加总投入. (15 分)
18.(1)已知 ，当 时， ，
两式相减得: ，整理得: ，
当 时， ，满足，
又 ，因此 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，得证:(5 分)
(2)由(1)得 ，因此: ，
设 前 项和为 ,则 ,
,两式相减得:
,
即 ，又数列 前 项和为 ，
因此
(3)由 得: ，因此 ，化简不等式左边: ， ，因此 ，
不等式 恒成立,等价于 对任意 恒成立,
设 则 ,
当 ,
即 时， ；当 时， ，因此 的最大值为
，故 ，即 的取值范围为 . (17 分)
19.(1)因为 ，所以数列 中的每一项都能被 2 整除。
所以数列 中的每一项都是数列 中的项,又数列 都是递增数列,
所以由 的公共项从小到大排列构成的数列即为 ,则 ,
. (4 分)
(2)①由 ，得 ，易得 ，
由题意，在 2 和 4 之间插入 1 个数，使这 3 个数组成一个公差为 的等差数列，故 ； 在 4 和 8 之间插入 2 个数，使这 4 个数组成一个公差为 的等差数列，故 . (8 分) ②不存在，理由如下:由题意 ，即 ，所以
假设在数列 中存在三项 (其中 ) 成等比数列,
则 ,即 ,化简得 .
又因为 ,所以 ,
可得 ,即 ,又因为 ,代入可得 ,
化简得 ,则有 ,即 ,这与题设矛盾.
所以在 中不存在三项 (其中 ) 成等比数列.(17 分)

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