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高一数学春期第二次教学检测
一、单选题(每题 5 分，共 40 分)
1. ( )
A. B. C. 0 D.
2. 已知 的三边长分别为 ，则 最大的内角为( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 和 满足 ，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ( )
A. 1 B. C. -1 D.-1
5. 若函数 与函数 图象的对称中心完全一致，则 ( )
A. B. C. D.
6. 在 中, ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是 ( )
A. -8 B. C. D. -4
8. 已知平面向量 ，且 . 已知向量 与 所成的角为 ，且 对任意实数 恒成立,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D. 4
二、多选题(每题 6 分，共 18 分)
9. 设平面向量 均为非零向量,则下列命题中正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则 与 共线
C. 若 ,则
D. 已知 且 与 的夹角为锐角,则实数 的取值范围是
10. 函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的图象关于直线 对称
C. 函数 图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 , 得到函数 的图象
D. 函数 的图象向右平移 个单位长度,得到的图象关于 轴对称
11、如图，已知直线 ，点 是 之间的一个定点，点 到 的距离分别为 1 和 2 . 点 是直线 上一个动点，过点 作 ，交直线 于点 ，则( )
A. B. 面积的最小值是
C. D. 不存在最小值
三填空题(每题 5 分，共 15 分)
12. 在 中，已知 ， ， ，则 _____.
13. 函数 的图像如图所示. 已知直线 与 交于 三点且 是 的一个最大值点， . 则 _____.
14. 已知 内角 的对边分别为 ,点 是 的重心，且 . 则 的取值范围为_____.
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)
(1) ；
(2)设 是不共线的两个向量. 若 与 共线，求实数 的值
(3)若角 的终边在直线 上，求 的值.
16. (15 分)已知 中内角 的对边分别为 ，若 ，且 .
(1)求角 及边 的值:
(2)求 的最大值.
17. (15 分)已知函数 .
( 1 )补全下列表格，用 “五点法”画出 在区间 的大致图象；
0
0 0
( 2 )将 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，求 的单调递增区间和对称中心的坐标.
18.(17分)已知函数 ，其中 .
(1)若 两个相邻对称轴之间的距离为 ，求 的值；
(2)若 ，函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象， 是 的一个零点,若函数 在 且 上恰好有 8 个零点,求 的最小值;
(3)已知函数 ，在第(2)问条件下，若对任意 ，存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
19.(17分)在 中， 为 的中点， 在边 上， 交 于 ；且 ， 设 .
(1)试用 ， 表示 ；
(2)已知 ， ， .
①若 ，求 的余弦值；
②已知 在 上，且 ，若 ，求 的范围.
2026 年高一年级春期第二次月考数学试题参考答案
一单选题
3由向量 和 满 足 ， ， ，
可得 ,解得 ,
所以向量 在向量 上的投影向量 . 故选: A.
4 函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，函数 取得最小值，
. 又 .
. 选 A.
5因为函数 的相邻对称中心的距离都是半个周期,
且函数 与函数 图象的对称中心完全一致,
所以函数 与 的周期相等,则函数 的周期 ,即 ,所以 ,则 ,令 ,故 ,
令 ,则 ,
故 ,解得 ,
因为 ,所以 . 故选: D.
6因为 ,所以 ,
所以 .
所以 .
又在 中, ,
所以 .
所以 . 选 D
7以 中点 为坐标原点,以 为正方向为 轴,建立如图所示的直角坐标系, 设 ,则 ,
故
,当 时取到等号,故选: B
8平方去绝对值号,由 ,则 ,
根据向量 与 的条件可得 ,化简可得 ,
令 ,由于函数开口向上,所以需要满足
,所以 .
观察所求式子内部,两者相减可将 约掉,所以可用向量的三角不等式求解,
即 ,
又 ,
则 的最小值为 . 选 B
二多选题 BC ACD ACD
9当 ， 在 方向上的投影相同时，显然 不一定成立， 错误；
若 ,则向量夹角 或 与 同向或反向，共线， 正确；
若 ，两边平方得， ，即 ， 正确:
若因为 ，所以 ，
因为 与 的夹角为锐角,则 ，且 与 不共线，则 ，所以 不正确. 故选: BC
10由题意得 是“五点”中的“第三点”,故 ,所以
,故 A 正确;
,故 B 错误;
图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 变为 ,故 正确; ,故 D 正确.
故选: ACD
11设 中点为 ，连接 ，以 为原点， ， 方向分别为 ， 轴建立如图所示直角坐标系，
则 ,设 且
所以 ,因为 ,所以 ,
即 ,故 ,即 ,
所以 ,
因为 ,所以 . 即 。
因为 ,故 ,所以 正确:
因为 ,所以 ,即 ,
所以 三点共线，且 为 靠近 的三等分点，
所以
.
当且仅当 ,即 时取等，所以 错误；
因为 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时取等,故 ,所以 正确:
因为 ;
所以 ,
因为 且 ,所以 ,
记 由函数 和 在 上递增,
可知 在 上单调递增,没有最值,即 没有最小值,所以 D 正确.
三填空题
13
13.
由图可知 是“五点作图”的第一个最大值点，所以 且
. 显然，从 经过了 的一个完整周期，其中 则 ,代入得 .
, ， . 故答案为: .
14延长 交 于点 ,由 是 的重心,得 为线段 的中点,且 ； 由 ,得 ,则 ,在 中, , 在 中， ， 于是 ，整理得 ，
在 中， ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 的取值范围为 .
法二: 以 G 为原点建立坐标系,设点坐标, 则 ,表示出三个边长,带入余弦定理，可以得出 的表达式，齐次分式，分子化进根号，分离常数，同除，对勾函数性质， 求出所要范围。
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(1) 或 ；(3)-2.
(1)原式 .
(2)因为 与 共线，所以存在实数 ，使得 .
又 不共线,所以 ,解得 .
(3) ,
因为角 的终边在直线 上,所以取角 的终边上一点 ,
则 ,所以原式 .
16.
(1)由 ，根据余弦定理，得 ，
因为 ,则 . 由 ,得 ,
根据正弦定理,得 ,则 .
(2)由(1)知， ，则 ，即 ， 当且仅当 时等号成立,则 的最大值为 4 .
17. (2) 的单增区间为 ，对称中心的坐标为 (1)
0
0 1 0 -1 0
(2)易知
令 ,解得 ,
所以 的单调递增区间为
令 ，解得 ，
所以 对称中心的坐标为
18. .
(1)因为 两个相邻对称轴之间的距离为 ,
所以 的最小正周期为 ,所以 ,得 .
(2)由题意可得 ，
因 是 的一个零点, ,
所以 ,所以 ,或 ,
得 或 ,因为 ,所以 ,
所以 . 所以 的最小正周期为 .
令 ,则 ,所以 或 , ,得 或 .
因为函数 在 上恰好有 8 个零点,
要使 最小,需找到跨度最小的连续 8 个零点.
的零点为 或 .
通过比较不同起始零点的连续 8 个零点区间的长度,
区间 的长度为 ，区间 的长度为 ，
所以 的最小值为 .
(3)由(2)知 ，
设 在 上的值域为 在 上的值域为 ,
因为对任意 ,存在 ,使得 成立,所以 .
当 时, ,所以 ,
所以 ,所以 .
当 时, ,所以 ,
所以, ,所以 ,
因为 ,所以 ,解得 ,所以实数 的取值范围为 .
19.【答案】(1) .
( 1 )由 共线,得 ，则 ，
整理得 ，
由 共线,得 ,则 ,
整理得 ，而 不共线，
由平面向量基本定理,得 ,解得 ,
所以 .
(2).①(1)得 ， ，
由 ,得 ,
则 ,
,
,
所以 .
②由(1)知 ，则 ，
由 共线,设 .
由 ,得 ,而 , 则 ,整理得 , 即 ,显然 ,则 , 由 ,得 ,则 ,解得 , 所以 的范围是 .

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