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高三模拟卷(一) 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知复数 满足 ,则 的共轭复数
A. B.
C. D.
2. 已知幂函数 在 上单调递减,则实数 的值为
A. 0 或 1 B. -1 或 1
C. 1 D. 0
3. 已知 ,集合 ,若 ,则
A. 1 B. 2
C. 2 或 1 D.
4. 已知向量 ，向量 在 方向上的投影向量为 ，则
A. -1 B. 1
C. -2 D. 2
5 定义在 上的偶函数 的部分图象如图,则下列函数在区间 上与 的单调性不同的是
A. B.
C. D
6. 已知数列 是公比大于 0 的等比数列,则 的最小值为 .
A. 3 B. C. D.
7. 一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球, 容器两端都有开口, 每次只能 1 ! 容器的一端取出 1 个球, 依次取完. 则两个红球被连续取出的概率是
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线 交 于 ， 两点，交 轴于点 ,若 ,则 的离心率为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 是空间的一个基底,则下列命题正确的是
1. 若 ,则
向量 一定共面
C. 向量 在基底 下的坐标是
D. 对空间中任意向量 ，都存在唯一的有序实数组 ，使得
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 且斜率为 的直线 与 的右支交于点 ,则
A. 的离心率为
B.
C. 的最小值为 -9
D. 若以实轴为直径的圆与 相切,则
11. 在非等腰 中,内角 的对边分别为 ,且角 满足 ,则
A.
B.
C. 记边 上的高为 ,则 的取值范围为
D. 的内切圆半径、外接圆半径、周长不可能构成等比数列
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 如图，矩形 是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中 ， ，则原图形的周长为_____.
13. 已知 ,则 _____.
14. 已知 为坐标原点，函数 与函数 的图象有两个不同的交点 ，当 . 最小值时， _____。
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知数列 满足 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16.(本小题满分 15 分)
某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验. 研究人员记录了 14 名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标 (单位:mg/L)随给药剂量 (单位:mg)的变化情况. 为了寻找最合适的预测模型,研究人员分别利用模型一和模型二对这 14 组数据进行了拟合, 并绘制了相应的残差图 (如图所示, 图中纵轴为残差, 横轴为给药剂量).
(1)观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由；
(2)设这 14 组数据得到的经验回归方程为 .
(1)已知样本中的某位志愿者的给药剂量为20mg，生化指标为45mg/L. 若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的 四点之一，请指出该点并说明理由;
(ii)若在这 14 组数据中，给药剂量的标准差为 ，生化指标的标准差为 ， 求生化指标与给药剂量的相关系数. (结果精确到 0.01)
参考公式: 相关系数 ;
经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ,
17. (本小题满分 15 分)
如图，已知圆台的上、下底面圆的圆心分别为 和 ，四边形 为下底面圆 的内接正方形,且 为上底面圆 上两点, 为 的中点,且满足平面 平面 .
(1)求证: ；
(2)求圆台的体积
(3)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围；
(3)设方程 在区间 ( 且 )内的根从小到大依次为 ,试比较 与 的大小,并说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知圆 和抛物线 为 的焦点. 点 是抛物线 上的动点,当 时, . 过动点 作圆 的两条切线,切点分别为 .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)当 时,求 的最小值；
(3)设直线 ， 分别交 于另两点 ， ，是否存在实数 ，使得当点 在 上运动时，直线 总与圆 相切？若存在. 请求出 的值；若不存，请说明理由.
高三模拟卷(一) 数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C B B C B D D ACD BCD BC
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. A :: .
2. C 由于 为幂函数，所以 ，解得 或 ，又函数 在 上单调递减。 故当 时符合条件.
3.B 已知集合 ，且 ，所以 ，即 .
若 . 则 . 此时 . ，与 矛盾，舍去.
若 ,则 ,此时 ,符合条件. 综上所述, .
1. 由向量 在 方向上的投影向量为 ,得 .
5. C 利用偶函数的对称性知 在 上单调递减。
又 在 上单调递减 在 上单调递减；
在 上单调递增;
在 上单调递减。
6. B 设等比数列 的公比为 ,则 ,当且仅当 . 即 时取等号. 故 的最小值为 .
7. D 依题意，前 4 次取球，每次可取左或取右两种选择，最后 1 次取只有 1 种选择，因此不同取法种数为 . 按照两个红球被连续取出的取法分情况讨论:
(1)若住第 1.2 次取出两个红球,再取另 3 个球,共有 4 种方法,
(2)若在第 2.3 次取出两个红球,则第 1 次取白球,共有 2 种方法,
(3)若在第 3.4 次取出两个红球,则第 1、2、3 次取白球,其有 1 种取法,
(4)若在第 4，3 次取出两个红球，则第 1、2、3 次取白球，共有 2 种取法。
因此两个红球被连续取出的方法种数共有 ,
所以所求概率为 .
8. 由于 ，记 的中点为点 ，则 的中点也为点 ，
设直线 ,则 ,于是 ,设 ,
则 ,由 ,
两式相减可得 . 即 ,得 ①.
又 . 所以 为 的中点，则 ②. 把 ① 式代入②式解得 .
二、选择题; 本题共 3 小题, 每小题 6 分. 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分. 部分选对的得部分分. 有选错的得 0 分.
9. ACD
10. BCD 对于 选项,由双曲线方程为 ,可得 .
所以 ，所以 ，所以离心率为 ，故 错误；
对于 选项， ，设直线 . 直线 与双曲线联立可得。
. ,因为直线 与双曲线右支交于一点,
所以 ,解得 ,故 正确;
对于 选项，设 ， ， ，所以 ，
由 在双曲线上可得 ，代入可得 ， ，
当 时,取得最小值,可得 ,故 正确;
对于 D 选项,以实轴为直径的圆,圆心为原点 ,半径 ,直线 与圆相切,
由点到直线的距离公式， ，联立求解 点坐标。
将 代入双曲线方程，可得 ，解得: ，
所以 ,
. 故 D 正确.
11. 由 得, ,
化简得: . 又因为 为非等腰三角形.
所以 ,即 ,故选项 A 错误,这项 B 正确;
对于选项 C，因为 ， ， . 所以 .
令 ,又 ,则 ,
所以 ,故 选项正确:
对于选项 D. 假设 的内切圆半径、外接圆半径、周长构成等比数列，即 ，
化简得: . 所以 ，此方程显然是有解的，故选项 D 错误。
综上，正确答案为 BC.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 14 由斜二测画法的规则知平面图为平行四边形,且原图形中 ，设 与 交于点 ，由 ， ， ，得原图中 ，则 ,则原图形的周长是 .
13.243 因为 ,令 ,得 . 两边同时乘以 32,得 .
14.2 设 ，结合图象可得当且仅当 时，图象有两个不同交点，设 ， 因为函数 恒过定点 ,
则 ,
由题设有 ,故 .
即 ,故 ,
设 ,则 .
设 ,故 在 上为成函数,
故 ,即 ,故 在 上为减函数.
设 ,则 .
设 ,则 . 故 在 上为减函数,
而 ,故 在 上存在零点 可,
且 时, ,即 ,当 时, ,即 ,
故 在 上为增函数. 在 上为减函数.
故当 时. 取最大值,即 取最小值, 取最小值,此时 .
又 ，故此时 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(1) 由递推关系 ,两边取倒数得: .
即 , 3 分
又 ，所以 是以 为首项，以 2 为公差的等差数列.
那么 ,故 . 6 分
(2)由(1)知 .
9 分
所以 . 13 分
16.(1)模型一. 2 分
理由:模型一的残差图中的点更集中地分布于以取值为 0 的横轴为中心的宽度更窄的水平带状区域内，说明预测值与真实值偏差更小. 4 分
(2)(1)在 中，代入 ，
得 6 分
,
模型一中的 点. 8 分
, 10 分
15 分
17.(1) 证明:从 的中点 ，连接 ； 共 ，
在正方形 中，由于 为 的中点，
可得 . 则 .
因为 ,所以 .
得到 ，即 . 2 分
因为 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 . 3 分
又因为 平面 .
所以 . 1 分
又 . 所以 平面 . 所以 . 5 分
(2)由(1)得 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因 圆 ,所以 ,所以四边形 为矩形. 6 分
所以圆 的半径 , 7 分
又圆 的半径 ,所以圆台的体积为 .
9 分
(3) 以 为坐标原点,过点 () 作与 平行的直线分别为 轴, 轴. 以 所在的直线为 轴建立如图空间直角坐标系.
则 .
由于图 的半径 为上底面圆 上一点,设 , 10 分故 . 11 分
设平面 的法向量为 .
由 得 取 ,故 , 12 分
设 与平面 所成角为 .
. 13 分
平方后整理方程得 .
解得 或 (舍),
所以 . 14 分
所以点 到平面 的距离为 . 15 分
18.(1) .
所以 在点 处的切线方程为: . 3 分
(2)由题可知存在 ，使得 成立，
因为 时, ,故存在 ,使得 . 5 分令 ,其中 ,
且 不恒为零,故函数 在 上单调递减,则 ,
故 . 即实数 的取值范围是 ]. 7 分
(3) . 8 分
理由如下:
由 可得 .
令 ,则 .
因为 且 ),则 ,
所以 . 所以函数 在 且 上单调递减,
因为 ,
所以存在唯一的 ,使得 ,
所以 , 1.1 分
同理可得 ,且 .
因为 . 所以 ,
因为 ，所以 ，
所以
15 分
因为函数 在 上单调递减,
故 ,即 ,当 时,即 . 17 分
19.(1) 由抛物线 的焦点坐标为 ，
因为点 是抛物线 上的动点,当 时, .
可得 即 解得 ,
所以抛物线 的标准方程为 . 3 分
(2)当 时，圆 的方程为 ，可得圆 的圆心为 ，半径为 ，
过点 作圆 的切线，切点为 ， ，
则 ，其中 为切线与 的夹角。 4 分
在直角 中，可得 .
所以 . 6 分
因为点 是抛物线 上的动点,可得 ,
又由 ,
当 时， ，
所以 的最小值为 . 8 分
(3)假设存在实数 满足题设中的条件。 9 分
当点 与坐标原点重合时,设切线 的直线方程分别为 ,
则圆心 到直线 的距离为 ,可得 . 且 ,
将 代入抛物线 . 可得 .
则直线 的方程为 ,
由直线 与圆 相切,可得 .
联立 解得 (负值舍去). 11 分
下面证明:当 时,对于抛物线 上任意一点 ,直线 与圆 相切,
设点 .
则直线 的方程为 ,
即 .
同理可得. 直线 的方程为 .
所以直线 的方程为 . 13 分
因为直线 与圆 相切,则 ,
即 .
同理可得,直线 与圆 相切,可得 ,
则 为方程 的两个不等的实数根,
则 . 15 分
点 到直线 的距离为 ,
所以直线 与圆 相切.
综上可得,存在 ,使得当点 在抛物线 上运动时,直线 与圆 相切. 17 分

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