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高一下学期第一次大练习 数 学
时量:120分钟 满分:150分
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.)
1. 下面命题中,正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
2. 在 中, ,则 为
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
3. 已知点 ,且 ,则点 的坐标为
A. B. C. D.
4. 函数 满足 ,那么函数 的图象大致为
A
B
C
D
5. 设 的内角 所对的边分别为 ,且 ,若 面积的最大值为 ，则实数 的值为
A. 8 B. 12
C. 16 D. 21
6. 如果一个圆锥和一个半球有公共底面, 圆锥的体积恰好等于半球的体积, 那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是
A. B. C. D.
7. 设函数 若 ,且 ,使 成立,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
8. 已知方向函数 又 是平面内三个不同的单位向量. 若 ,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 已知 为复数,有以下四个命题,其中真命题是
A. 若 ,则 或
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 如图，在等边正三棱柱 中(注:侧棱长和底面边长相等的正三棱柱叫做等边正三棱柱), ,已知点 分别在线段 是线段 上任意一点,连接 ，若过 三点的平面把等边正三棱柱分成上下两部分，则
A. 上半部分是四棱锥
B. 下半部分的体积是
C. 的面积是
D. 当 最大时, 的长度是
11. 在 中,设内角 所对的边分别为 ,且 ,下列说法正确的是 A. 是直角三角形
B. 若 是 的中点,则
C. 若 为 的中点，则 的最大值为
D. 若 ，则
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.)
12. 已知 的平面直观图 是边长为 的正三角形,则原 的面积为_____.
13. 在 中,已知 ,设 为线段 上一动点,则 的最小值为_____.
14. 已知一圆锥底面圆的直径为 6,高为 ,在该圆锥内放置一个棱长为 的正八面体 (各面是全等的正三边形,如图),并且该正八面体可以在圆锥内绕其中心任意转动,则棱长 的最大值为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分 13 分)
已知 的内角 的对边分别为 .
(1)求角 ；
(2)若 边的中线 ，求 的周长.
16.(本小题满分 15 分)
已知 ，且 ，
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
17. (本小题满分 15 分)
为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台 建筑.
(1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为 6 米和 10 米，高 8 米. 求该正四棱台 - 的侧面积和体积;
(2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为 12 米，下底与上底边长之差不超过 4 米，棱台高 2 米， 设 . 求 的最小值;
18. (本小题满分 17 分)
如图，在 中， 是 的中点， 是线段 上的动点， ；过 点的直线与边 分别相交于点 . 设 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的最小值；
(3)若 是边长为 1 的等边三角形， 四点共圆，求实数 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 的定义域为 ,若存在实数 ,使得对于任意 都存在 满足 ,则称函数 为“自均值函数”,其中 称为 的“自均值数”.
(1)判断函数 是否为“自均值函数”，并说明理由;
(2)若函数 为“自均值函数”，且其任意“自均值数”也是 的“自均值数”,求 的取值范围;
(3)是否存在区间 ，使得函数 为“自均值函数”，其全体 “自均值数”构成的集合恰为 如存在,求所有满足条件的区间 ; 如不存在,证明之.
高一下学期第一次大练习
数学参考答案
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C B B A C A C BD ACD ABD
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.D 对 ,若 ,则 ,错误; 对 ,向量不能比较大小,错误; 对 ,但 不一定同向, 所以 不一定相等,错误; 对 若 ,则 长度相等,且方向相同,所以 ,正确。故选:D.
2. C 由余弦定理得 ,又在 中, ,则 为钝角，所以 为钝角三角形. 故选:C.
3. B 设 ，则 .
因为 ,所以 解得
所以点 的坐标为 . 故选:B.
4. B 由题意得函数 满足 ，可得 .
而函数 的图象关于直线 对称,
所以函数的图象为如右图，故 正确. 故选:B.
5. A 由三角形的面积公式可得， ， 当且仅当 时取 “ ”,令 ,解得 ,故选: A.
6. 设圆锥与半球的底面半径为 ,圆锥的高为 ,母线长为 ,轴截面的顶角为 . 则由 . 可得 ,即 .
所以圆锥的母线长 ,
则由余弦定理可得 ,
所以圆锥轴截面顶角的余弦值是 ，正弦值是 . 故选:C.
7. A 函数 图象的对称轴为直线 ,
当 ,即 时,此时 ,使得 ;
当 ,即 时, 在 上单调递增,在 上也单调递增,
要想 ,且 ,使得 ,则 ,得 ,
而 ,矛盾. 综上 ,故选: A.
8. C 由题意可知, ,
三者全为 0 或一个为 2,一个为-2,一个为 0 .
当全为 0 时,可知 两两垂直,不符合题意;
所以必为一个为 2,一个为一 2,一个为 0,
不妨设 ,
由函数 可知 ,
不妨设 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
故选:C.
二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.)
9. BD 对于 是复数,如 ,由不全是实数的两个复数不能比较大小, 错误;
对于 ,设 ,由 ,得 ,
则 ,因此 , B 正确;
对于 ,取 ,满足 ,而 , 错误;
对于 ,由 ,得 都是实数,因此 正确.
故选: BD.
10. ACD 连接 ，
对于 ，以 为顶点，面 为底面，则上半部分 是四棱锥，故 正确；
对于 ,易得 ,
所以 ,故 错误;
对于 ,在 中, ,所以 ,故 C 正确;
对于 ,对固定线段 ,在过 且与直线 相切的圆上,切点 处形成的 是最大角. 由切割线定理, ,所以 ,故 D 正确.
故选: ACD.
11. ABD 由 得, ,
化简有 ,故 是直角三角形, 正确;
若 是 的中点,此时 ,故 ,
即证 ,
由 ,即证 ,显然成立, 正确;
等号成立当且仅当 ,即 ; 这与 矛盾, 错误;
若 ,则 ,
此时 ,其中 ,
由 得, ,
此时 ,
所以 ,故 , D 正确.
故选:ABD.
三、填空题(本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.)
12. .
13. 由 知, ,
故 ,三角形 为等腰三角形.
设 的中点为 ,则 ,
,
当 时, .
故 .
14. 依题意,正八面体可以在圆锥内任意转动,
当其棱长最大时，该正八面体内接于圆锥的内切球，
设球心为 ,球的半径为 ,圆锥下底面半径为 ,轴截面上球与圆锥母线的切点为 ,圆锥的轴截面如图:
则 ,由 ,得 ,
所以三角形 为等边三角形,故 是三角形 的中心,
连接 ,则 平分 ,所以 ;
所以 ,即 ,即正八面体的外接球的半径为 .
如图，考虑到连接正方体六个面的中心可以得到正八面体，
故正八面体的外接球即为正方体的内切球.
设正方体棱长为 ,则 ,此时 .
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(1) 由 ,
根据正弦定理得: ， (2 分)
因为 ,所以 ,
整理得 ,则 ,
因为 ,所以 ,所以 , (4 分)
因为 ,所以 , (5 分)
因为 ,所以 . (6 分)
(2)在 中，由余弦定理得 ，
代 得, ,
化简得 ,解得 , (10 分)
所以 ,又 ,所以 为正三角形,
的周长为 . (13 分)
16.(1) ,
联立 (3 分)
所以 , (5 分)
则 . (7 分)
(2)由题意 ,
分式上下同时除以 得 , (11 分)
由 (1) 得 , (13 分)
将 代入 得原式 ,
即 . (15 分)
17.(1)因为正四棱台的上、下底面的边长分别为 6 和 10，高为 8 ，
故正四棱台 体积为 , (3分)
记 , 分别为棱台上、下底面的中心,分别取 , 的中点 , ,连接 , ,在梯形 中,过 作 于 ,
由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形,
且 ,所以 ,
所以 ,
故该正四棱台的侧面积 . (7 分)
(2)设正四棱台上、下底边长分别为 . 由条件可知， .
此时在等腰梯形 中,
所以 , (10 分)
令 ,
则 , (14 分)
当且仅当 时取等号. (15 分)
18.(1)因为点 是 的中点，所以 ,
因为 ,点 是 的中点,所以 , 所以 . (4 分)
(2)类似(1)有 ，
又 三点共线,所以 , (6 分)
所以 ,
当且仅当 时取等号,可得 时取等号. (10 分)
(3) ，
又 三点共线,所以 ,即 ; (12 分)
因为 ，又 是 的中点，
所以 ，又 四点共圆 ， (14 分)
所以 (用到 ),
故实数 的取值范围为 . (17 分)
19.(1)若函数 是 “自均值函数”,显然 定义域为 ,
则存在 ,存在 ,有 ,
即 ,依题意,函数 在 上的值域应包含函数 在 上的值域,
而 值域是 的值域是 ,不可能.
所以函数 不是“自均值函数”. (4 分)
(2) 的“自均值数” 满足: 在 上的值域 包含 的值域,得 ; (6 分)
另一方面, 为 “自均值函数”,则存在 “自均值数” ,存在 ,
有 ,即 ,
当 时, 的值域是 ,
因此 在 的值域包含 ,
,则 ,
若 ,则 ,
此时 值域的区间长度不超过 ,而区间 长度为 1,不可能;
于是得 ,要使 在 的值域包含 ,
则 在 的最小值 , (8 分)
由图象有 ,解得 ,
此时, 在 的值域为 ,包含 ,得 .
由条件, 为 的子集,得 ,即 . (10 分)
(3)如存在，由定义，函数 自均值数” 满足 在 上的值域包含 ，且这样的 构成的集合为 ,则必有 在 上的值域为 . (12 分) 当 时， 在 上单调递增，值域是 ，解得 ，易验 满足条件； (14 分)
当 时， 在 上单调递减，值域是 ，化简得 ， 无解;
当 时, 在 上的值域是 .
;
此时如 ,解得两解均不在 内;
如 ,解得两解均不在 内,即无满足条件的解.
综上,所求区间 . (17 分)

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