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长望浏宁四区县市 2026 届高三四月份调研考试 数学科试题卷
时间: 120 分钟 总分: 150 分
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 在 中,“ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 ,若 ,则 的递增区间是
A. B. C. D.
4.过点 且倾斜角为 的直线 交圆 于 两点,则弦 的长为
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
5. 若对任意的正实数 、 满足 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
A. B. 或
C. 或 D.
6. 在一次数学考试中，有一道满分为 15 分的立体几何题. 某学习小组 6 名同学这题的得分为 ,且有 ,已知这 6 名同学的 80% 分位数和平均分都是 12 分, 则该 6 名同学答题得分的极差为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 已知 ，数列 为等差数列，且 ，则
A. 0 B. -11 C. 11 D.
8.如图, 一块边长为 6 的正方形铁片上有四块阴影部分, 将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器, 则当正四棱锥容器的体积最大时, 正四棱锥的高为
A. B. C. 3 D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 关于函数 ,下列结论正确的是
A. 的定义域为 B. 为偶函数
C. 是 的一个零点 D. 是 的一个周期
10. 设抛物线 的焦点为 到准线 的距离为 2,过 的直线交 于 ( 在第一象限) 两点,过点 作准线 的垂线,垂足为 ,直线 交 轴于点 ,则 A. 抛物线 的方程为
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ,则直线 的方程为
11. 已知 分别为 的内角 的对边，且 为 的面积， 为 外接圆的半径,则下列说法正确的是
A. B. 边 上的中线
C. D. 的最小值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知 展开式中 的系数为 -56,则 _____.
13. 如图，等边 边长为2，点 、 分别为 、 的中点，连接 并延长至点 ，使得 ，则 _____.
14. 已知函数 ,若正实数 满足 ,则 的取值范围是_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本题满分 13 分)
已知 为数列 的前 项和,且 .
(1)求该数列的通项 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16.(本题满分 15 分)
为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动. 甲、乙、丙三人参与比赛，有问题 1 、问题 2 两道题, 其中问题 1 为抢答题, 且只能被一人抢到, 甲、乙、丙三人抢到的概率均为 ,问题 2 为必答题,甲、乙、丙三人都要回答; 已知甲能正确回答问题 1、问题2 的概率分别为 ,乙、丙能正确回答每道题的概率均为 ,且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.
(1)求问题 1 回答正确的概率；
(2)记能正确回答问题 2 的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
17.(本题满分 15 分)
如图，在四棱柱 中，底面 是菱形， 为 中点.
(1)求证: 面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.(本题满分 17 分)
已知动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比是常数 2 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若曲线 与 轴的交点分别为 、 ( 在 左侧)，过点 的直线交曲线 于点 ( 位于第二象限), 的角平分线交 于点 .
(i) 求证: 点 在定直线上;
(ii) 连结直线 且与曲线 的另一个交点为 ,求 的取值范围.
19. (本题满分 17 分)
已知函数 ，圆 . 设圆 与曲线 交于 、 两点.
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)证明:直线 的斜率恒大于 1;
(3)若线段 的中点为 ，试判断点 的横坐标与 1 的大小关系，并证明你的结论.
长望浏宁四区县市 2026 届高三四月份调研考试 数学参考答案
一、单项选择题。
1. 答案: B
,所以 .
2. 答案: C
在 中,“ ”是“ ”的充要条件.
3. 答案: C
由 得: ,所以 ,又 且 ,所以 , 则 的递增区间是 .
4. 答案: D
过点 且倾斜角为 的直线 ,即 .
以圆 ,即 ,
圆心坐标为 ,圆心到直线 的距离 ,
直线被圆截得的弦长
5.答案: A
因为不等式 恒成立,
所以 ,因为 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时等号成立,
所以 ,所以 ,所以 ,
所以实数 的取值范围是 .
6. 答案:
由 知: 这 6 名同学的得分的 80% 分位数为 ,则 , 结合 进行讨论知: ,所以则该 6 名同学答题得分的极差为 .
7.答案: D
因为 关于点 对称,所以 . 因为 为等差数列,
,所以
所以 ,
故选 . 则 .
8.答案: B
形成的正四棱锥 如图所示,取 中点 ,连接 , 由题易知 为等腰三角形 的高,所以 ,
设 中 ,则 ,
正四棱锥 的体积
令 ,其中 即 ,
正四棱锥 的体积最大即 取得最大值, ,令 得到 ,当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,则 在 时取得最大值,即 时正四棱锥 的体积最大，答案选 B.
二、多项选择题。
9.答案: AD
分母不为 0,解得 , 正确。
定义域关于原点对称, ,满足奇函数定义, 错误。
化简: , 错误。
因为 ，所以 是 的一个周期， 正确。
10. 答案: ABD
解析: 因为 到准线 的距离为 2,所以 ,故抛物线方程为 ,所以 项正确;
因为 ,易求点 ,则 所以 项正确;
易知直线 的斜率不为 0,设直线 的方程为 ,
若 ,易求点 ,所以 ,
则直线 的方程为 ,所以 ,故 ,故 错误
联立 ,得 ,易知 ,则 ,
又 ,
因为 ,即 ,设 ,则 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
又点 在第一象限且 ,所以 ,故 D 正确.
11. 答案: ACD
A 选项: 由正弦定理 ,可知 , 所以 ,故 正确;
B 选项: 如图, 为 中点,则 ,
因为 , ,
所以有 ,
整理得 ,故 错误;
C 选项: 法一: 如图,过点 作 于点 . 不妨设 最大,由 选项知 ,即 ,
所以 (当且仅当 时取等，此时 )，故 正确；
法二: ,当且仅当 时取等.
D 选项: 因为 ,所以 ,
又由 选项知 ,
所以 ，当且仅当 时取等，故 D 正确； 故选 ACD.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 答案: -1
的展开式的通项为 ,则 的系数为 ,解得 . 13. 答案:
因为点 分别是边 的中点,所以
因为 ,所以 所以 .
因为
所以
14. 答案:
因为 ,所以 ;
则 ，又因为函数 在 上单调递增，所以 ；
所以 的取值范围是 .
四、解答题:本题共 5 个小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.
(1)当 ， ； 1 分
所以 ,整理可得 , 3 分
又 ;
解得 , 4 分
所以 为首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 . 5 分
(2)因为 ， 7 分
所以 , 9 分
所以 11 分
13 分
16.(1)设“甲抢到问题 1”为事件 ，“乙抢到问题 1”为事件 ，“丙抢到问题 1”为事件 ，“问题 1 被回答正确”为事件 ，由题意知:
2 分
由全概率公式得:
6 分
(2)由题意知: 的可能取值为0,1,2,3， 7 分
则有 ,
11 分
所以 的分布列为:
0 1 2 3
则 . 15 分
17.(1)连接 ,连接
因为 且 ,所以 为平行四边形,因为 面 , 面 ,所以 面 . 5 分
(1)法一:(向量法)
连接 ,因为
所以 ,连接 ,交 于点 ,连接
因为菱形 对角线相互平分且垂直，
所以 为 中点， ，
因为 ，
所以 面 ,又因为 面
所以面 面 ,
因为
所以
又因为面 面 ,面 面 , 面 ,
所以 面 ,其中 两两垂直. 10 分
如图以 分别为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,
因为 为平行四边形, ,
所以直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角. 12 分则面 的法向量为 ,
故直线 与平面 所成角 . 15 分
法二: (定义法)
因为 为平行四边形,
所以直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角. 12 分过 中点 ，连接 ，因为 面 ，
所以 面 ，直线 与平面 所成角即为 ， 14 分其中 ,故 . 15 分
18.(1)设 是点 到直线 的距离，根据题意，动点 的轨迹就是点的集合 , 1 分由此得 ,平方化简得 ,即 . 4 分
(2)(i)令 ，代入 ，得 ，故 ， ，
设直线 为: ,与曲线 联立得:
,则 ,故 , 6 分故 ,设点 ,则
由题意得 , 8 分
因为 平分 ,故有 ,即
化简得 ,解得 ,
所以点 在定直线 上. 10 分
(ii) 连接 并延长交双曲线于点 ,下证点 与点 重合,
因为 ,所以 , 11 分
设 与曲线 联立得: ,
所以 ,
故 ,则 , 13 分
由 (i) 得 ,则 ,故 三点共线.
又因为 三点共线,即 与点 重合所以 15 分因为点 在第二象限,故 ,所以 . 17 分
19.( 1 ) ，所以 ， 1 分
所以求 在点 处的切线方程为 ,即 . 3 分
(2)要证直线 的斜率恒大于 1，设
不妨设 ,即证 ,
即证 ,即证 , 5 分
又 ,所以
只需证 ,
又 ,
只需证 , 7 分
令 ,
令 ,
所以 在 单调递增,在 单调递减, 9 分所以 ,所以 在 单调递减,
所以 ,得证. 10 分
(3)点 的横坐标大于 1， 11 分
证明如下:
设 ,且 . 由 在圆上得:
构造函数 ,则 . 12 分
当 时, ,且 ,故 ;
当 时, ,且 ,故 ;
所以 在 单调递减,在 单调递增,所以 , 13 分令 ,
则 ,
所以 在 单调递增,所以 , 14 分当 时, ,
所以 , 15 分
所以 ,
即 ,又 ,所以 ,
又 在 单调递增,所以 ,即 ,
所以点 的横坐标大于 1 . 17 分

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