资源简介

南京一中 2025-2026 学年第二学期 4 月阶段性检测试卷 高一数学 2026.04
注意事项:
1. 本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷.
2. 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置, 否则不给分.
3. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第 I 卷(选择题 共 58 分)
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知平面向量 ,则 “存在 ,使得 ” 是 “ ” 的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知 ,则 等于
A. B. C. D.
3. 已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
4. 设 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 的面积为
A. B. C. D.
5. 在 中, ,则正数 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 最大视角问题是 1471 年德国数学家米勒提出的几何极值问题, 故最大视角问题一般称为 “米勒问题”. 如图,树顶 离地面 18 米,树上另一点 离地面 11 米,若在离地面 2 米的 处看此树,则 的最大值为
A. B. C. D.
7. 在斜三角形 中, 是 的中点, 在边 上, 与 交于点 . 若 , 且 ,则 的值为
A. 12 B. 6
C. D.
8. 已知 ,则 的最大值为
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列代数式的值为 的是
A.
B.
C.
D.
10. 在 中,角 所对的边为 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则
B. 若满足条件的 有 2 个,则 的取值范围为
C. 面积的最大值为
D. 的最大值为
11. 在 中,点 在 上,且 ,过点 的直线分别交直线 于不同的两点 , 若 ,则
A.
B. 的最小值为 9
C. 的最小值为
D. 的最小值为
第 II 卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 的面积为 ，且 ，则角 的大小为_____▲_____.
13. 已知 是夹角为 的单位向量,非零向量 ,则 的最大值为_____▲_____.
14. 在平面直角坐标系 中,已知锐角 的终边与单位圆交于 ,角 的终边与单位圆交于 ，若 ，则 的值为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知两个单位向量 与 的夹角为 ，设向量 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 与 的夹角为 ，求 的值.
16. (本小题满分 15 分)
在 中，设角 所对的边分别为 ，已知 ，且 的外接圆半径 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
17. (本小题满分 15 分)
已知向量 .
(1)求函数 的对称中心；
(2)设 ，讨论函数 在 上的零点的个数.
18. (本小题满分 17 分)
如图，在梯形 中， 为 上一点，且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)已知 .
① 求 的长；
②若 ，设 是线段 上的一个动点 (含端点)，求 的最大值.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 ， 时，若 ， ，求 的值；
(2)当 时，若 ， ，求 的值；
(3)当 时，若 ， ，求 的取值范围.
南京一中 2025-2026 学年第二学期 4 月阶段性检测试卷 高一数学 2026.04
审核人:蒋文化
注意事项:
1. 本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷.
2. 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第 I 卷(选择题 共 58 分)
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知平面向量 ,则 “存在 ,使得 ” 是 “ ” 的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
当 时,可得 ;
当 时，满足 ，但不存在 ，使得 ；
所以 “存在 ,使得 ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 故选 B.
2. 已知 ,则 等于
A. B. C. D.
【答案】C
由题意得 ,
所以 ,故选 C.
3. 已知平面向量 的夹角为 ,且 ,则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
【答案】A
因为 的夹角为 ,且 , 所以 在 上的投影向量为 . 故选 A.
4. 设 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 的面积为
A. B. C. D.
【答案】D
因为 ,所以由余弦定理可得 ,解得 ,因为 , 所以 . 又 ，由正弦定理可得 ， 所以 的面积 . 故选 D.
5. 在 中, ,则正数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
由正弦定理知 ,所以 , 根据三角形成立的条件可知 解得 ,故选 C.
6. 最大视角问题是 1471 年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为 “米勒问题”。 如图，树顶 离地面 18 米，树上另一点 离地面 11 米，若在离地面 2 米的 处看此树，则 的最大值为
A. B. C. D.
【答案】D
如图,过点 作 ,交 于点 ,则 .
设 ,在 Rt 中, .
在 Rt 中, ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时取等号. 故选 D.
7. 在斜三角形 中, 是 的中点, 在边 上, 与 交于点 . 若 , 且 ,则 的值为
A. 12 B. 6
C. D.
【答案】A
如图,取 中点 ,连接 ,则 ,
所以 .
因为 ,
所以 ,
又 ,所以 . 在斜三角形 中, ,所以 ,则 . 故选 A.
8. 已知 ,则 的最大值为
A. B.
C. D.
【答案】B
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
要使得 取得最大值,不妨设 ,
则 ,
当且仅当 ,即 时取等号. 故选 B.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列代数式的值为 的是
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
对于 ,故 正确;
对于 ,故 错误; 对于 ,故 C 正确;
对于 ,故 D 错误. 故选 AC.
10. 在 中,角 所对的边为 ,则下列说法正确的是
A. 若 ，则
B. 若满足条件的 有 2 个,则 的取值范围为
C. 面积的最大值为
D. 的最大值为
【答案】BCD
对于 ,由余弦定理得 ,即 ,解得 ,故 错误; 对于 ,由正弦定理得 ,因为 ,所以 ,结合正弦函数图象, 要使角 有两个值,则 ,所以 ,故 B 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,当且仅当 时等号成立, 所以 面积 ，故 正确；
对于 ,由正弦定理得 ,则 , 所以 ,其中 ,因为 ,所以当 时, 的最大值为 ,故 正确.
故选 BCD.
11. 在 中,点 在 上,且 ,过点 的直线分别交直线 于不同的两点 , 若 ,则
A.
B. 的最小值为 9
C. 的最小值为
D. 的最小值为
【答案】ACD
对于 ,由 得, ,又 共线,则 ,所以 ,故 A 正确;
对于 ,由 得, ,当且仅当 时取等号, 即 的最小值为 ，故 B 错误；
对于 ,当且仅当 ,即 时取等号,所以 的最小值为 ,故 正确;
对于 项，由 得， ， 所以 ,当且仅当 ,即 时取等号,所以 的最小值为 ,故 D 正确.
故选 ACD.
第 II 卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 的面积为 ，且 ，则角 的大小为_____▲_____.
【答案】
由 得, ,即 ,所以 .
13. 已知 是夹角为 的单位向量,非零向量 ,则 的最大值为_____▲_____.
【答案】 1
,只考虑 ,
则 ,
所以当 时, 的最大值为 1 .
14. 在平面直角坐标系 中,已知锐角 的终边与单位圆交于 ,角 的终边与单位圆交于 ，若 ，则 的值为_____▲_____.
【答案】
由三角函数的定义可知, ,
则
所以 ,解得 或 (舍去),
则 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知两个单位向量 与 的夹角为 ，设向量 ， ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 与 的夹角为 ，求 的值.
(1)因为 ，所以存在实数 ，使得 ，即 . 2 分又 与 不共线,所以 解得 . 5 分
(2)因为 ，且夹角为 ，所以 ，
所以 ，
, ·8 分
因为 与 的夹角为 ,所以 , 10 分
即 ,且 ,
化简得 ,且 ,
解得 或 (舍),
所以 的值为 2 . 13 分
16. (本小题满分 15 分)
在 中,设角 所对的边分别为 ,已知 ,且 的外接圆半径 .
(1)求 的值；
( 2 )若 ，求 的值.
(1)由正弦定理得， ，所以 . .2 分又 ,所以 ,
所以 . 4 分
( 2 )由正弦定理得， ，又 ，所以 ，
因为 ,所以 或 . 6 分
由(1)知， .
① 当 时， ,
所以 . .8 分
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 . 10 分
② 当 时， ， 12 分
因为 ,所以 ,所以 ,则 ,
所以 . 14 分
综上， 或 . 15 分
17. (本小题满分 15 分)
已知向量 .
(1)求函数 的对称中心；
(2)设 ，讨论函数 在 上的零点的个数.
(1)
. 4 分
令 ,解得 ,
所以 的对称中心为 . .6 分
( 2 )由( 1 )知， ，
令 得, ,
令 ,
则 在 上零点的个数,即方程 在 上的解的个数.
因为 ,所以 ,
当 时, 单调递增,此时 ,
当 时, 单调递减,此时 . -8 分
① 当 或 ，即 或 时， 在 上无解； 10 分 ② 当 或 ，即 或 时，
在 上只有一解； 12 分
③ 当 ，即 时， 在 上有两解. 14 分
综上,当 或 时, 在 上零点的个数为 0 ;
当 或 时, 在 上零点的个数为 1 ;
当 时, 在 上零点的个数为 2 . 15 分
18. (本小题满分 17 分)
如图，在梯形 中， 为 上一点，且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)已知 .
① 求 的长；
②若 ，设 是线段 上的一个动点 (含端点)，求 的最大值.
(1) 因为 ,所以 ,
所以
， 2 分
又 ， 与 不共线，所以 ，
则 . 4 分
(2)①由(1)知， ，
所以
. 7 分
又 ，所以 ，解得 . .9 分
② 设 ，
则 ，
11 分
又因为 ,
所以
. .14 分
因为 ，函数 的对称轴为 ，
所以 时， 的最大值为 . 17 分
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 ， 时，若 ， ，求 的值；
(2)当 时，若 ，求 的值；
(3)当 时,若 ，求 的取值范围.
(1)当 时,
.
因为 ,所以 ,
所以 或 , -2 分
即 或 .
又 ,所以 或 或 ,
所以 或 或 . .5 分
(2)当 时,
,
其中, .
因为 ,所以 .
又 ,所以 .
由 , .8 分
化简得 ,
解得 . 10 分
(3)当 时, .
由 ，得 ，即 ，
即 ,即 .
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 在 上有解. 12 分
又 , 14 分
令 ,则 .
因为 在 上单调递减,
所以当 时, , 16 分
所以 . 17 分

展开更多......

收起↑