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高一年级学情调研 数 学
本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
*注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后, 将答题卡交回。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单选题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题所给的四个选项中, 有且只有一项 是符合题目要求的)
1. 已知集合 ,则
A. (2) B. C. D.
2. 已知某扇形的弧长为 1 , 面积为 2 , 则该扇形圆心角的弧度数为
A. B. C. D. 1
3. 若 ,则 为
A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角
C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角
4. 设 为非零平面向量,则 “ ” 是 “ 与 的夹角为锐角” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 函数 的大致图象是
A.
B.
C.
D.
6. 若函数 在区间 上没有最小值,则 的取值范围为
A. B. C. D.
7. 函数 的单调递减区间为
A. B.
C. D.
8. 当 时,函数 的零点个数为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题所给的四个选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知 ,则
A.
B.
C.
D.
10. 某社区为普及法制教育，随机选了 50 名市民并进行了一次法律知识竞赛答题活动，竞赛成绩统计如表所示, 其中有两个数据被遮盖, 则下列结论正确的是
成绩/分 92 93 95 96 98 99 100
人数 5 7 8 14 13
A. 众数为 99 B. 极差为 9
C. 25%分位数为 96 D. 平均数大于中位数
11. 设 是平面内共起点的三个非零向量,且两两不共线, ,则下列说法正确的是
A. 关于 的方程 可能有两个不同的实数解
B. 关于 的方程 至少有一个实数解
C. 关于 的方程 最多有一个实数解
D. 若关于 的方程 有实数解,则三个向量的终点不可能共线
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 在矩形 中， ，则 _____.
13. 已知 ,则 _____.
14. 已知 ,函数 和 的零点分别为 ,则 的取值范围为_____.
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 是定义在 上的偶函数,且当 时, ,其最大值为 1 .
(1)求 的值，并求 在 上的解析式；
(2)求不等式 的解集.
16. (本小题满分 15 分)
已知平面向量 满足 .
(1)若 ，求 与 的夹角；
(2)若 在 上的投影的数量为 ，且平面向量 满足 ， ，求 .
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)若 的最小正周期为 ，求 的定义域及对称中心；
(2)若 在区间 上单调递增，求 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若 的最大值为 4，求实数 的值；
(2)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)若 ，求实数 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)设函数 ，若 ，求 的最小值；
(3)将 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，最后将所得图象向上平移 3 个单位长度，得到函数 的图象. 若存在 ,使得不等式 成立,求实数 的取值范围.
参考答案
高一数学
一、单选题
1. 由题可知 ,又 ,所以 . 故选 D.
2. A 设该扇形半径为 ,圆心角为 , 则 ,解得 . 故选 A.
3. 由题知 ,若 是第一象限角,则 ,故 ,不满足题意; 若 是第二象限角,则 ,故 ,满足题意; 若 是第三象限角,则 ,故 ,满足题意; 若 是第四象限角,则 ,故 ,不满足题意. 综上, 为第二或第三象限角. 故选 B.
4. B 设 与 的夹角为 ,由 ,得 ,所以 , 若 的夹角为锐角,则 ,所以 “ 与 的夹角为锐角”,但 “ ” “ 与 的夹角为锐角”,所以 “ ” 是 “ 与 的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选 B.
5. 令 ,因为 ,所以当 时, ,方程无实数解,排除 ; 当 时, ,解得 (舍) 或 , 此时 有一个零点 ,排除 ; 当 时, 因为 与 在 上均单调递减,所以 在 上单调递减,排除 C. 故选 B.
6. 当 时, ,因为 在区间 上没有最小值,所以 ,解得 ,所以 的取值范围为 . 故选 C.
7. A 对于 , 令 ,则 ,所以 . 因为 为增函数,所以 的单调递减区间即为 的单调递减区间,所以 ,所以 ,解得 , ,所以 的单调递减区间为 . 故选 A.
8. 令 ,得 ,对于 ,周期 ,则 在区间 上有 3 个周期的图象,在同一坐标系内结合五点法画出 在区间 上的图象,如图所示, 由图象可知,两函数图象有 6 个交点,所以 在区间 上的零点个数为 6 . 故选 C.
二、多选题
9. ABC 对于 A，因为 ， ，所以 4 ，故 A 正确；对于 B，因为 ，所以 -4 ,因为 ,所以 ,故 B 正确；对于 ，因为 ， ，所以 8，故 C 正确；对于 ，因为 ，所以 ， 因为 ,所以 ,故 错误. 故选 ABC.
10. AC 因为参加答题活动的共有 50 名市民, 所以成绩为 92 和 93 的共有 人，所以众数为 99，故 A 正确；极差为 100 一 92 = 8，故B错误；因为 ，所以第 13 个分值为 分位数,即96,故 正确; 中位数是第 25 和第 26 个数的平均数,由于这两个数都是 99,所以中位数为 99,设成绩为 92 的有 人, 则平均数为 ,所以平均数小于中位数,故 错误. 故选 AC.
11. CD 因为 是平面内共起点的三个非零向量,且两两不共线,所以以 作为一组基底, 对任意 ,存在唯一的有序实数对 ,使得 . 由方程 ,可得 ,则 ,对于 ,因为 与 对应, 所以方程不可能有两个不同的实数解, 故 A 错误; 对于 ,若取 ,则 无解,故 B 错误; 对于 ,当 时,方程有解,结合 选项可知方程最多有一个实数解,故 正确; 对于 ,设 的公共起点为 ,终点分别为 ,假设 三点共线,则必存在实数 使得 ,即 ,整理得 , 由 为非零向量，且两两不共线，可得 ，所以 ,又 ,所以 ,则 ,即 ,该方程无实数解,与题设矛盾,故假设不成立,即三个向量终点不可能共线,故 正确. 故选 CD.
三、填空题
12. . 故答案为 .
13. . 故答案为 .
14. 因为 的零点为 ,所以 ,即 ,因为 ,所以 ,则 ,又 ,所以 ,所以 1,所以 . 因为 的零点为 ,所以 ,即 ,令 ,则 ,所以 ,易知 在 上单调递增,所以 ,所以 ,则 ,所以 ,易知函数 在
上单调递减，所以 25，所以 的取值范围为 . 故答案为 .
四、解答题
15. 解: (1) 因为当 时, 的最大值为 1 ,
所以 ,则 . (3 分)
则当 时, ,
因为 是定义在 上的偶函数,
所以当 时,
即当 时， . (8 分) (2)当 时， ，
即 ,
即 , (10 分)
所以 ; (11 分)
因为 是定义在 上的偶函数,
所以当 时,由 ,
得 . (12 分)
综上,不等式 的解集为 (13 分)
16. 解: (1) 因为 ,
所以 ,(3 分) 又 ,
所以 ,
即 与 的夹角为 . (6 分)
(2)因为 在 上的投影的数量为 ，
所以 , (7 分)
则 ,
又 , 所以 . (9 分)
由 ,得 与 的夹角为 或 , (10 分)
又 ,
所以当 时, ; (12 分)
当 时,
. (14 分)
综上, . (15 分)
17. 解: (1) 因为 的最小正周期 ,
所以 ,则 , (2 分)
由 ,得 ,
所以 的定义域为 , (4 分)
令 ,得 ,
所以 的对称中心为 . (6 分)
( 2 )当 时，
因为 在区间 上单调递增,
所以 Z, (9 分)
所以 ,即 ,
则 ,解得
又 ,
所以 或 1,
则 或 ,
所以 的取值范围为 . (15 分)
18. 解: (1) 当 时, ,取不到 4,
所以当 时, 的最大值为 4, (2 分)
因为 在 上单调递增,
所以 ,则 . (4 分)
(2)当 时， 单调递增； (5 分)
当 时, 单调递增, (6 分)
因为 在 上单调递增,
所以 ,则 , (9 分)
所以实数 的取值范围为 . (10 分)
(3)易知 ，
当 ,即 时,
因为 在 上单调递增,
所以 成立; (12 分)
当 ,即 时,
因为 在 上单调递增,
所以 成立; (14 分)
当 时, ,
所以 ,
所以 ,不符合题意. 综上,实数 的取值范围为 . (17 分)
19. 解: (1) 由图可得 , 则 , 所以 , (2 分)
所以 ,
即 ,
所以 ,
则 , (4 分)
又 ,
所以 ,
所以 . (5 分)
(2)由(1)知 ，
所以 ,(6 分) 因为 ,
所以 ,
所以 或 ,
解得 或 ,
(8 分)
因为 ,
所以对于 ,当 时, 的最小值为 ;
对于 ,当 时, 的最小值为 ,
因为 ,所以 的最小值为 .
(3)将 的图象向左平移 个单位长度，得到
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),得到 ,
最后将所得图象向上平移 3 个单位长度,得到 . (12 分)
若存在 ,使得不等式 -1 成立,
只需 ,
当 时, ,
则 ,
所以 ,
所以 , (15 分)
所以 ,
即 ,
又 ,
所以 ,解得 ,
所以实数 的取值范围为 . (17 分)

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