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高 三 数 学 试 卷
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 ,则
A. B. C. i D. 2i
3. 已知椭圆 的长半轴长等于其短轴长,则 的离心率为
A. B. C. D.
4. 已知 ,则
A. B.
C. D.
5. 不等式 的解集为
A. 或 B. 或
C. D.
6. 已知某校 4000 名学生的体能测试得分 (单位: 分) 服从正态分布 ,若 ,则得分在区间 内的人数约为
A. 1500 B. 1800 C. 2000 D. 2600
7. 若 是函数 的极大值点,则 的极小值为
A. -1 B. C. D. 0
8. 若函数 的图象在区间 上恰好存在 2 个对称中心和 1 条对称轴,则 的取值范围为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 设 为等差数列 的前 项和,已知 ,则
A. B. 成等比数列
C. D. 当且仅当 时, 取得最大值
10. 已知函数 的定义域为 ,任意 恒成立,且 1,则
A. B.
C. 为偶函数 D.
11. 已知抛物线 的焦点为 的准线 与 轴交于点 ,过 的直线与 交于 两点,且 ,延长 与 分别交于点 ,则
A. B.
C. 直线 的斜率为 D. 四边形 的面积为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知锐角 满足 ，且 ，则 _____.
13. 在平面内将非零向量 绕其起点逆时针旋转 角得到向量 ，记作 ，将向量 绕其起点顺时针旋转 角得到向量 ，记作 . 已知向量 (m) ,则向量 在向量 上的投影向量的坐标为_____.
14. 已知在一个有底的圆锥容器 (厚度忽略不计) 内放入一个正方体,若该正方体在其内部能任意转动，且正方体的最大棱长为 ，则该圆锥容器的容积的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
设 的内角 的对边分别为 ,若 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的周长.
16.(15分)
第二届“贺岁杯”东北三省冰球挑战赛于 2026 年 1 月 13 日在哈尔滨开幕，吸引了 32 支冰球队近 200 名运动员参加. 为调研哈尔滨市市民对赛事的满意度，随机抽取 500 人进行打分(满分 100 分),经统计打分全部位于 内,整理后打分情况如下表所示.
打分区间 [60, 70) [70,80) [80, 90) [90,100]
人数 5 10 35 100 200 150
(1)估计样本数据的第 60 百分位数；
(2)用分层随机抽样的方法从打分位于 内的市民中随机抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 4 人，记 为打分位于 的市民人数，求 的分布列和数学期望.
17. (15 分)
如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18.(17 分)
已知双曲线 的离心率为 2,且经过点 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 ， 两点.
(i) 若直线 与 轴交于点 ，与线段 交于点 ，且 ，证明:直线 过定点;
(ii)设 为坐标原点,若 上存在不同于 的点 ,使 ,求四边形 的面积.
19.(17 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)记函数 的正零点为 .
(i) 当 时,证明: ;
(ii) 当 时,证明: .
参考答案
一、选择题
1. B 由已知得 ,所以 . 故选 B 项.
2. ,所以 . 故选 B 项.
3. 由题意知 ，所以 . 故选 D 项.
4. A ,因为 ,且对数函数 在 上单调递增,所以 ,即 . 又 ,所以 . 故选 A 项.
5. A 由 ,得 ,即 ,所以 ,则 解得 或 ,所以不等式 的解集为 或 . 故选 A 项.
6. 由正态分布的对称性可知 ,所以 ,所以 ,所以得分在区间 C 项.
7. D由题意可知 ,由 ,解得 . 当 时, , ,当 或 时, , 当 时, ,所以 在 , 上单调递减,在 上单调递增,在 , 上单调递减,显然 是 的极小值点, 不符合题意; 当 时, ,同理
可知 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,所以 是 的极大值点,符合题意,故 是 的极小值点,且 . 故选 D 项.
8. B 设函数 的最小正周期为 ,由题意可知 ,即 ,解得 ,由正弦函数的图象可知, 两个相邻对称中心之间必有一条对称轴. 由 ,得 ,由 ,得 ,又 8,所以 ,则 或 ,所以 的取值范围为 . 故选 B 项.
二、选择题
9. BC设等差数列 的公差为 ,则 解得 项错误; 由上得 ,所以 2,则 ,所以 成等比数列, 项正确; 项正确; ,显然二次函数 的图象开口向下,且对称轴方程为 ,又 ,所以 取得最大值时, 或 , D 项错误. 故选 BC 项.
10. BCD 令 ,则 ,又 ,所以 , A 项错误; 令 ,则 ,所以 , B 项正确; 令 0,则 ,所以 ,因此 ,所以 为偶函数, 项正确; 令 ,则 1) ,即 ①,所以 ②，两式相加得 ,则 ,所以 ,故 ,所以 是以 6 为一个周期的周期函数,由 0,得 0,所以 ,则 项正确. 故选 BCD 项.
11. ABD 因为 的准线 与 轴交于点 , ,所以 的准线 的方程为 ,则 ,所以 ,所以 项正确; 如图,过点 分别作 ,垂足分别为点 ,
根据抛物线的定义可知 , 且 ,又 ,所以 , 则 为 的中位线,所以 , B 项正确; 不妨设 均在第一象限内,由 , 得 ,将其代入 ,解得 , ,所以直线 的斜率为 , 由图形的对称性可知直线 的斜率为 项错误; 易求得直线 的方程为 ,联立 整理得 ,解得 2,同理求出 ,所以 ,所以 , D 项正确. 故选 ABD 项.
三、填空题
12. 由条件可知 ,得 ,所以 ,又 ,所以 .
13. 将向量 的起点均视为坐标原点,根据定义可知 , ,所以向量 在向量 上的投影向量为 .
14. 因为正方体在其内部能任意转动,所以正方体的外接球在其内部能任意转动,又正方体的最大棱长为 ,所以外接球的半径的最大值 ,此时正方体的外接球内切于圆锥容器, 轴截面图如图所示,
设圆锥的底面半径为 ,高为 ,母线长为 ,则 ,由 ,得 ,则 ,两边平方得 ,整理得 ,所以圆锥容器的容积 . 令 ,则 ,当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ,故圆锥容器的容积的最小值为 .
四、解答题
15. 解: (1) 由正弦定理得 , (1 分) 又 ,
所以 . (4 分)
(2)由已知得 ,
因为 ,所以 ,
所以 , (6 分)
由余弦定理得 ,
即 ,
整理得 ,解得 或 . (9 分)
由 ,得 , (10 分)
当 时, ,与 矛盾,舍去; (11 分)
当 时, ,符合题意. (12 分)
故 的周长为 . (13 分)
16. 解:(1)市民打分位于 的频率为 0.60 , (1 分)
市民打分位于 的频率为 , (2 分)
所以样本数据的第 60 百分位数位于 内,设其为 ,
则 , (3 分)
解得 , (4 分)
故估计样本数据的第 60 百分位数为 87.5 . (5 分)
(2)因为 两组数据的人数之比为 ,所以 7 人中打分位于 , 100]内的人数分别为 4,3 . (7 分)
由题意可知 的可能取值为0,1,2,3, (8 分)
则 (12 分)
所以 的分布列为
0 1 2 3
1 35 12 18
(13 分)
所以 .
(15 分)
17.(1)证明:连接 ,设 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,则 为 的中点, (2 分)
因为 ,
所以 ,
又 ,所以 为等边三角形,则 , (3 分)
连接 ,因为 ,所以 , (4 分)
因为 平面 ,
所以 平面 , (5 分)
因为 平面 ,所以 . (6 分)
(2)解:在 中， ，由(1)知 ,则 ,所以 ,
在 中, , (7 分)
因为 ,所以 ,则 . (8 分)
以 为坐标原点,以 所在直线分别为 , 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , . (9 分)
设平面 的法向量为 ,
由 得 令 ,则 . (11 分)
设平面 的法向量为 ,
由 得 令 ,则 . (13 分)
所以 , 故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
(15 分)
18.(1)解:由题意可知 (2 分)
解得 , (3 分)
故 的方程为 . (4 分)
(2)由条件可知 ,设 ,
联立 整理得 ,
则 即
,且 .
(5 分)
(i) 证明: 因为 ,所以 ,则 , (6 分)
又 ,所以 , (7 分)
即 ,
所以 , (8 分)
则 ,
整理得 , (9 分)
所以直线 的方程为 ,
故直线 过定点 . (10 分)
(ii)解: 设 ,则 ,
因为 ,所以
则 (11 分)
将点 代入 ，得 ,
整理得 ,
又 在 上,所以 ,
代入上式得 , (12 分)
又 均在直线 上,
所以 ,
则 ,
整理得 , (13 分)
将 代入上式,得 ,则 ,所以 .
又点 到直线 的距离 , 故 的面积为 (15 分)
又 ,
所以 ，
所以 .
(17 分)
19. ( 1 )解: ， (1 分)
当 时, ,当 时, 所以 在 上单调递减,在 上单调递增. (3 分)
(2)(i)证明: 当 时,由 ,得 1,所以 , (4 分)
两边同时取自然对数并化简,得 , 所以 . (5 分)
令 ,
则 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增, (6 分)
则 ,即 ,所以 ,
则 ,
所以 ,
所以 , (8 分)
故 . (9 分)
(ii) 证明: 当 时,由 ,得 ,所以 ,
所以 ,
则 . (10 分)
令 ,则 ,易知 在 上单调递增,
则 ,
所以 在 上单调递增, (11 分)
又 . ,即 ,
所以 ,则 . (12 分)
解法一:
由 ,得 ,
又 ,故曲线 在 处的切线方程为 . (13 分)
令 ,
则 ,
所以 在 上单调递增, (14 分)
因为 ,所以 ,
即 ,
所以 1) , (15 分)
又 ,则 , 两式相减得 ,
整理得 . (16 分)
综上, . (17 分)
解法二:
由 ,
得 , (13 分)
又 ,
所以 ,(14 分) 所以 ,即 ,
(15 分)
即 . (16 分)
综上, . (17 分)

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