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2025~2026 学年高三 4 月质量检测卷 数 学
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 设集合 ，则集合 中的元素个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 设复数 满足 ,则
A. B. 1-2i C. D.
3. 已知向量 ,若 ,则
A. B. C. D.
4. 已知等差数列 的各项都是整数,且 ,则 的前 5 项和为
A. 5 B. 10 C. 5 或 8 D. 8 或 10
5. 已知 ,且 ,则
A. B. C. D.
6. 定义域为 的函数 满足 ,当 时, ,则当 (一 4，96)时，函数 的零点个数为
A. 95 B. 96 C. 97 D. 98
7. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点,点 在 的一条渐近线上, 与 轴垂直， ，则 的离心率为
A. B.
C. D.
8. 已知函数 ,若 时, ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 春节期间，某市 10 个景点游客综合满意度评分分别为 90,92,95,96,98,95,95,95,93,95,则 A. 该组数据的平均数为 94 B. 该组数据的众数与中位数相同
C. 该组数据的极差为 8 D. 该组数据的方差为 4.44
10. 已知函数 的最小正周期为 ,若将其图象向左平移 个单位长度后得到的 图象关于直线 对称,则
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 函数 的图象关于直线 对称
C.
D. 在 上单调递增
11. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 斜率为 2 的直线与 交于 ， 两点， ,过点 与 不重合的直线与 交于 两点,分别以 为切点的 的两条切线的交点为 ,则下列结论正确的是
A. B.
C. 的最小值为 4 D. 点 到 中点的距离为 5
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若定义在 上的奇函数 满足 时, ,则 _____.
13. 有 4 张相同的卡片,有一张卡片上标有数字 0 ,有两张卡片上分别标有数字1,2,另一张卡片的两面分别标有数字 3,4,将这 4 个卡片摆在一起,使 4 张卡片上 4 个数字组成一个四位数, 则这样的四位数共有_____个.
14. 已知四面体 的顶点都在同一球面上,若该球的表面积为 是边长为 3 的正三角形, ,则四面体 的体积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 中,内角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最大值.
16. (本小题满分 15 分)
有 30 名同种疾病患者随机分成三组,每组各 10 名,分别服用 三类药物. 服药一段时间后, 记录了三组患者的生理指标数据, 如下表:
A 5.2 5.5 6.2 6.5 6.3 5.8 5.4 6.0 5.3 5.8
B 5.5 6.0 5.6 5.0 5.7 6.2 6.4 5.9 5.7 5.1
C 5.1 4.9 5.3 5.2 5.5 6.2 5.7 5.5 5.8 5.6
已知该生理指标正常范围是 .
(1)从服用 类药物的患者中各随机选出 1 人，分别求选出的 1 人指标在正常范围内的概率;
(2)30 名患者中有 5 名患者服药一段时间后，生理指标分别为 5.5, 6.3, 6.4, 5.6, 5.2, 现从这 5 名患者中随机选出 2 人，记 为选出的 2 人中指标不在正常范围的人数，求 的分布列和数学期望.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 膜 是直角梯形， ， , 为 的中点， ， .
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 与椭圆 ,过 的右顶点 与 轴垂直的直线与 的一个交点为 ,过 的右焦点 作 轴的垂线与 的一个交点为 .
(1)求 ， 的方程；
(2)若斜率为 的直线 交 于点 ， 是坐标原点,垂直于 的直线 交 于点 .
(1) 求 的最小值;
(ii)是否存在一个与直线 相切的定圆？若存在,求出这个圆的标准方程；若不存在, 请说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)判断函数 在 上的单调性；
(2)当一2是 的一个极值点时, .
(1)求曲线 在点 处的切线方程(用 表示)；
(II)若 是 的 3 个极值点，将 经过一定顺序排列后成等比数列， 且 ,求 的值.
2025~2026 学年高三 4 月质量检测卷 · 数学 参考答案、提示及评分细则
1.B 因为 ，所以 ，集合 中的元素个数为 2 . 故选 B.
2. D 由 得 ，所以 . 故选 D.
3. A 由 得 ,所以 . 故选 A.
4. A 设 的公差为 ,由 得 ,所以 或 . 因为 是整数,所以 . 故选 .
5. 由 得 ,又 ,所以 . 所以 . 故选 D.
6. 因为当 时, 的零点为 -1 . 当 时, 没有零点. 当 时, ,方程 无解. 当 时, 有一解,所以 时. 有 95 个解,所以当 时, 的零点个数为 96 . 故选 B.
7. 的渐近线方程为 ,令 ,则 . 又 ,所以 . 因为 . 所以 . 所以 . 所以离心率 . 故选 C.
8. D 令 ,则 时, 在 上单调递减, 时, ,当 时, ,从而 ,与 时, 矛盾. 当 时, ,设 在 上单调递增, ,取 为 与 中较小的值时, ,所以 在 上存在唯一一个零点 ,当 时, ; 当 时, ,
① 若 ，则 ，当 时， ， 单调递增，所以 时， ，满足题意；
②若 ，则 ，当 时， 单调递减， -1,与 时, 矛盾;
③若 ，则 ，当 时， 单调递增，所以 时， ,满足题意. 综上,实数 的取值范围是 . 故选 D.
9. BCD 由 得该组数据的平均数为 错误; 将该组数据由小到大排列知该组数据的众数与中位数都是 95,极差为 , BC 正确; 由 知方差 . D正确. 故选 BCD.
10.BD 因为 的最小正周期为 ,所以 ,所以 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象,又 的图象关于直线 对称,所以 , ,又 ,所以 ,所以 错误; 因为 ,所以 的图象关于直线 对称, 正确; 错误; 由 得 时， ， 正确. 故选 BD.
11. ,直线 的方程为 ,直线 的方程与 的方程联立,消去 得 ,设 ,则 错误, 正确; 设直线 的方程为 ,与 联立,消去 得 ,设 , ,则 ,以 为切点的 的切线方程为 ,以 为切点的 的切线方程为 ,两条切线方程联立,解得 ,所以 的最小值为 中点为 ,当切点为 时, ,所以点 到 中点的距离大于 正确, D 错误. 故选 BC.
12. .
13.36 标有数字 3,4 的卡片排首位时,四位数有 个,标有数字 1,2 分别排在首位时,四位数有 24 个，共 36 个.
14. 或 取 中点 ，连接 ， ，则 平面 ，设球心为 ，过 作 平面 ，垂足为 ,则 是 的外心, ,取 中点 ,则 ,在四边形 中, 等于球的半径 . 由 ,由 得 , ,当点 与 在 两侧时, ，点 到平面 的距离 ，四面体 的体积为 ; 当点 与 在 同侧时 . ,点 到平面 的距离 ,四面体 的体积为
15. 解:(1)在 中，由正弦定理及 ，得 ， 1 分所以 ， 2 分
所以由余弦定理得 , 3 分
由 知 ,又 ,
所以 . 5 分
(2)法一:在 中， ，由正弦定理得 ， 7 分
所以
9 分
,其中锐角 0 满足 , 11 分
当 时, 取得最大值 ,此时 , 12 分
所以 的最大值 . 13 分
法二: 因为 ,
所以 . 7 分
因为 ,当且仅当 时,取等号,所以 , 9 分
所以 , 11 分
所以 时, 的最大值为 . 13 分
16. 解:(1)因为服用 类药物的 10 名患者中，有 7 人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1 人，指标在正常范围内的概率为 , 2 分
因为服用 类药物的 10 名患者中，有 8 人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1 人，指标在正常范围内的概率为 , 4 分
因为服用 类药物的 10 名患者中，有 9 人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出 1 人，指标在正常范围内的概率为 . 6 分
(2)因为 5 名患者中，3 人生理指标在正常范围内，2 人生理指标不在正常范围内，所以 的可能取值为 0 ，
1,2, 7 分
9 分
11 分
13 分
所以 的分布列为:
0 1 2
故 . 15 分
17.(1)证明:因为 为 的中点， ，所以 ，
因为 ， ， ，所以四边形_ ，三. ，所以 ， 2 分因为 平面 平面 ,所以 ,
因为 平面 ,所以 平面 . 3 分
(2)解:如图，在平面 中，过点 作 的垂线为 轴，以 为坐标原点，向量 . 方向分别为 、 轴建立空间直角坐标系.
则 , 4 分
设平面 的法向量为 ,
. 5 分
有 取 ,得 , 7 分
设直线 与平面 所成的角为 ,则 . 9 分
(3)解:在(2)的空间直角坐标系中， ， ， ， 10 分设平面 的法向量为 ,
则 取 ,得 , 12 分
14 分
故平面 与平面 所成二面角的正弦值为 . 15 分
18. 解:( 1 )由题意知 的右焦点是 ，由对称性知 的左焦点是 ，则 ， 1 分
因为 ,所以 ,
所以 , 2 分
又 ,所以 的方程为 ; 3 分
由题意知 ,又 在 上,所以 ,所以 ,所以 的方程为 .
5 分
(2)(1)当 为 长轴端点，则 为 短轴的端点， ， 6 分当 时,设直线 ,与 联立,
解得 , 7 分
因为 ,所以直线 的方程为 ,与 联立,
解得 , 8 分
所以 , 9 分
因为 ,所以 , 10 分
所以当 时, 取得最小值, 的最小值为 . 11 分
(ii) 过原点 作 ,垂足为 是 Rt 的斜边上的高, ,
当 时, ,所以 . 13 分
当 时,由 (i) 知 .
又 ,所以 , 15 分
所以 变化时,点 到直线 的距离都是 , 16 分所以存在圆 与直线 相切. 17 分
19. 解: (1) 的定义域为 , 1 分
当 时,由 得 在 上单调递增, 2 分
因为 时, ,当且仅当 时取等号,所以 , 3 分
所以 是 的一个子区间,所以 在 上单调递增; 4 分
当 时, 在 上单调递增; 5 分
当 时,由 得 ,所以 在 上单调递增, 6 分因为 时, ,当且仅当 时,取等号,
所以 是 的一个子区间,所以 在 上单调递增. 7 分
综上,对于任意实数 在 上单调递增. 8 分
(2)(1)因为 -2 是 的一个极值点，所以 ，所以 ， 9 分
所以 ,
的定义域为 , 10 分
,所以曲线 在点 处的切线方程为 ,
即 . 11 分
(ii) 方程 ,
即 的两个实数根为 ,
所以 的 3 个根为 ,
因为 有 3 个极值点,所以上述 3 个根互不相等,从而 ,
将 经过一定排列后成等比数列,则 或 或 . 13 分当 时, 成等比数列; 14 分当 时, ,
所以 ,令 ,则 ,
当 时, 在 上单调递减,
因为 ,又 ,所以满足条件的 不存在; 15 分
当 时, ,
由 在 上单调递增, ,又 ,所以满足条件的 不存在. 16 分
综上, . 17 分

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