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高三数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ,则
A. B. C. 1 D. 2
3. “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知抛物线 的焦点为 是 上一点,过点 作 的准线 的垂线,垂足为 . 若 为等腰直角三角形,则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 已知 是奇函数,则
A. -9 B. -1 C. 1 D. 9
6. 某校人工智能社团共有甲、乙等 6 名成员, 指导老师要从中选出 3 人组队参加全国青少年 AI 创新大赛, 参赛队中 1 人负责主程序编写, 另外 2 人负责数据标注, 若甲、乙两人有且只有一人参赛, 则参赛队的人员安排方法数为
A. 64 B. 48 C. 36 D. 18
7. 在四棱锥 中,底面 是面积为 4 的正方形, 分别是棱 的中点,设四棱锥 被过 且平行于 的平面截得的截面面积为 ,则 的最大值为
A. B. 2
C. D. 1
8. 能将曲线 上所有的点都包含进去的最小的圆 (点可以在圆上) 的半径为
A. 1 B. C. 2 D. 4
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,则下列说法一定正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 已知双曲线 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 ， ，两条渐近线的夹角为 ， 点 在 上,且 ,设直线 与 轴的交点为 ,则
A. B.
C. D.
11. 已知函数 的定义域为 ,若存在 ,使得曲线 在点 , 处有相同的切线,则称 具有性质 . 下列结论正确的是
A. " 在定义域上不单调"是 " 具有性质 "的充分条件
B. 函数 具有性质
C. 函数 具有性质
D. ,函数 都不具有性质
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为_____.
13. 如图,曲线 与 轴的其中两个交点为 ,与 轴的交点为 ,若 ,则 _____.
14. 盒中有 6 个小球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取 5 次,每次取 1 个球, 设 为前 2 次取出的球上数字的平均值, 为后 3 次取出的球上数字的平均值,记 , 则 _____.
附:若 是随机变量,则 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
某智能设备装有 3 个独立运行的芯片 A, B, C, 设备正常工作的条件是至少有 2 个芯片正常运行,其中 A, B 正常运行的概率均为 正常运行的概率为 .
(1)若 ，在恰有 2 个芯片正常运行的条件下，求 的运行不正常的概率；
(2)若该设备正常工作的概率大于 ，求 的取值范围.
16. (15 分)
已知数列 满足 .
(1)令 ，求数列 的通项公式；
(2)设 的前 项和为 ，若 ，求 的最大值.
17. (15 分)
已知函数 有两个极值点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明: .
18. (17 分)
如图,四棱锥 的底面为矩形, ,平面 平面 .
(1)若 ，
( i )求四棱锥 的体积;
(ii) 求平面 与平面 的夹角的余弦值.
(2)设点 在直线 上的射影为 ，点 到平面 的距离为 ，求 的最大值.
19. (17 分)
已知椭圆 的长轴长为 4,离心率为 ,过点 作两条直线 ,其中 垂直于 轴,且与 交于 两点 点 在第二象限 与 交于 两点,直线 交于点 .
(1)求 的方程；
(2)若 的斜率为 ，且点 在点 的上方，求点 的坐标；
(3)求 的最小值.
高三数学 答案
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案 D
,所以 .
2. 答案 A
由 ,可得 ,故 .
3. 答案
若 ,则 或 ,故充分性不成立; 反之,由 ,可得 ,故必要性成立. 所以 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
4. 答案 C
由抛物线的定义，可知 ，所以 必然是以 为顶点的等腰直角三角形. 由题可知 ， 则 ，所以 . 设 与 轴的交点为 . 因为 轴，所以 ，则四边形 为正方形，所以 .
5. 答案
当 时, ,所以 ,所以 . .
6. 答案
先从甲、乙两人中选出 1 人,再从除甲、乙外的 4 人中选出 2 人,最后从选出的 3 人中选 1 人负责主程序编写，根据分步乘法计数原理，可得参赛队的人员安排方法数为 .
7. 答案 C
如图,取 的中点 ,连接 ,并延长,交于点 ,连接 ,由 ,可得平面 平面 ,四边形 即为所求的截面. 由题意得 ,所以 ,由 ,可得 ,当且仅当 时等号成立,即 的最大值为 .
8. 答案
易知曲线 关于 轴 轴、直线 和 均对称,其对称中心为原点. 因为 ,所以 . 因为 ,所以 ,整理得 ，所以所求的最小的圆的半径为 .
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 答案 ACD
对于 ,解得 ,故 正确;
对于 ,则 ,所以 ,但 不一定成立,故 错误;
对于 ,则 ,所以 ,故 正确;
对于 ,由 ,可得 ,则 ,解得 ,则 为常数列,故 正确.
10. 答案
对于 ,由题可知 的两条渐近线的方程为 ,设渐近线 和 的倾斜角分别为 ,易知 ,则 ,故 A 错误:
对于 ,由 的方程可知 ,由 ,可得 ,所以 , 故 正确;
对于 ,由 与 轴平行,可得 关于 轴对称,所以 ,则 ,所以 ，故 正确；
对于 ，将 代入 的方程，可得 ，不妨取 ，则 ，所以 ， ，所以 ，故 D 错误.
11. 答案 BCD
对于 ,设 ,易知 不是单调函数,任给满足 的 ,曲线 在点 和 处的切线方程分别是 ,而 ,所以两斜率相等的切线不重合,故 不具有性质 . 故 错误;
对于 ,当 和 时,均有 ,又当 和 时,均有 ,所以曲线 在点 与 处的切线方程均为 ,则 具有性质 ,故 正确;
对于 ,若 具有性质 ,则存在 ,使得 ,即 ,解得 ,曲线 在点 和 处的切线方程分别是 ,由两切线重合可知 ①,当 时,①式即 ,取 即可,此时切线方程为 ,即 具有性质 ,故 C 正确;
对于 ,设 的图象在点 处的切线重合,则 ,由前两个式子可得 ,所以 ,即 ②,同理 ③,②-③,得 ,② ③,得 ④, 由对数平均不等式 可得 ,同理 ,两式相乘,可得 ,与④式矛盾,故 不具有性质 ,故 D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 答案
设圆锥的底面半径为 ,则其母线长 . 该圆锥的底面积为 ,侧面积为 ,所以其侧面积与底面积的比值为 .
13. 答案
由题可知 ,则 ,即 ,代入 ,可得 ,又 ,所以 . 当 时, ,山 ,即 ,可得 ,所以 .
14. 答案 7
设第 次取出的数字为 ,则 ,所以 . 设第 1 次取出的数字是 ,则第 2 次只能从剩下的 5 个数字中取,此时第 2 次取出的数字的期望为 ,对所有可能的 求期望,可得 , 同理,对任意的 ,所以
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) 设事件 为恰有 2 个芯片正常运行,事件 为 的运行不正常.
由题可知 , (2 分)
(4 分)
所以 ,
即在恰有 2 个芯片正常运行的条件下, 的运行不正常的概率为 . (6 分)
(2)该设备正常工作，即有 2 个或 3 个芯片正常运行，
所以该设备正常工作的概率
. (10 分) 由 ,得 ,
所以 的取值范围为 . (13 分)
16. (1) 由 ,可得 ,即 , (2 分) 当 时,有 ,
累加,得
. (6 分)
又 ,所以 , (7 分)
验证可知 也符合上式,
所以 . (8 分)
(2)因为 ，且 ，所以 ， (9 分)
所以 , (12 分)
则 , (13 分)
令 ,得 ,解得 ,
所以 的最大值为 7 . (15 分)
17. (1) 由题可知 . (1 分)
由题可知 有两个变号零点 ,
设 ,则 是方程 的两个不等正根, (2 分)
所以 解得 ,
所以 的取值范围是 . (6 分)
(2)由 ,可得 ,
所以 . (10 分)
设 ,则 , (11 分)
令 ,可得 ,
当 时, 单调递增,当 时. 单调递减,
所以 ,故 . (15 分)
18. (1)(i) 如图，作 于点 ，连接 .
因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ,即 为四棱锥 的高. (1 分)
因为四边形 为矩形, ,
所以 . (2 分)
因为 为公共边,所以 ,
故 ,所以 ,
故 . (3 分)
所以四棱锥 的体积 . (4 分)
(ii) 如图所示，以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ,
则 , ,所以 . (5 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即 可取
所以平面 的一个法向量为 . (7 分)
同理,可得平面 的一个法向量为 . (8 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 . (10 分)
(2)作 ，垂足为 ，与(1)同理，可得 平面 .
设 , ,则 .
由 平面 ,可得 ,
所以 . (12 分)
在 中,由余弦定理可得 ,
在 中, ,
因为 ,所以 . (14 分)
设 ,则 ,
设 ,则 ,令 ,可得 ,
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
所以 ,
所以 的最大值为 . (17 分)
19. (1) 设 的半焦距为 .
由题可得 解得
所以 的方程为 . (3 分)
(2)由题意得 的方程为 ，即 ，
与 的方程联立,可得 ,解得 或 . (4 分)
将 和 分别代入 的方程,可得 和 ,
又点 在点 的上方,所以 . (5 分)
由题意得 的方程为 ,
将 代入 的方程,可得 ,解得 ,
又 在第二象限,可得 . (6 分)
所以直线 ,直线 ,
联立直线 的方程,可得 ,
故点 的坐标为 . (8 分)
(3)设 ， ， ， 的斜率为 ，则其方程为 .
由 三点共线可得 ,
因此 ,
同理,可得 ,
故 . (10 分)
令 ,则 ,即 ,
与 的方程联立,可得 ,
则 , (12 分)
所以 ,
所以 ,化简得 ,
代入 ,可得点 在直线 上. (13 分)
作点 关于 的对称点 ，则 ，当且仅当 为 与 的交点时等号成立. 更多试题与答案, 关注微信公众号: 三晋高中指南
设 ,由对称及垂直关系可得 解得 即 , (15 分)
于是 ,
故 的最小值为 . (17 分)

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