资源简介

高三数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知命题 ,命题 ,则
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
3. 曲线 在点 处的切线方程为
A. B. C. D.
4. 为响应国家“绿水青山就是金山银山”的号召，某乡村在春季开展植树造林活动. 计划在第一年植树 100 亩, 且从第二年开始, 每年比上一年多植树 20 亩. 若该活动连续开展 10 年, 则这 10 年累计的植树总面积为
A. 1700 亩 B. 1800 亩 C. 1900 亩 D. 2000 亩
5. 已知抛物线 的焦点在直线 上，则实数 的值为
A. B. -2 C. 2 D. 或 2
6. 2026 年春晚节目中机器人的科技感与武术完美融合，让大家赏心悦目. 市场上现有甲、乙两家公司生产机器人，检测机构要评估市场上这两家公司机器人的某项重要技术参数(得分采用百分制). 若甲公司产品市场占比为 60%，该项重要技术参数的平均分为 85，方差为 14，乙公司产品市场占比为 40%，该项重要技术参数的平均分为 95，方差为 19，则市场上这两家公司的该项重要技术参数的总的方差为
A. 30 B. 35 C. 40 D. 45
7. 已知函数 ,若 在 上恰有四个不同的实数根 , ,则
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 ，直线 交 于 ， 两点， 为 上另一点，满足 为平面直角坐标系的原点. 若 的重心分别为 , ,则直线 斜率的乘积为
A. 16
B.
C. 4
D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 为 的共轭复数,则
A. B. 的虚部为 -2
C. D. 在复平面内, 对应的点在第三象限
10. 在三棱锥 中, 分别是线段 的中点,则下列结论正确的是
A. 平面
B. 过 的平面截三棱锥 所得的截面的面积是定值
C.
D. 三棱锥 外接球的表面积为
11. 已知函数 是定义在 上的非常数函数, 且 ,下列结论正确的是
A.
B. 为奇函数
C. 若 是 的导函数，则
D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 ，且 ，则向量 与 的夹角为_____▲_____.
13. 已知函数 ,若存在实数 ,使得 成立，则 _____▲_____.
14. 已知曲线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围是_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
记 的内角 的对边分别是 ,已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ， ，求 的面积.
16. (15分)
如图，在四棱台 - 中， 平面 ，正方形 的边长为 4，且 分别为线段 的中点，点 在线段 上，且 .
(1)证明:平面 平面 .
(2)求点 到平面 的距离.
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15分)
一个盒子里装有除颜色外大小相同的 3 个红球、3 个黄球, 现依次从盒中抽取小球. 若抽取出的是红球,则放回盒中; 若抽取出的是黄球,则用一个同样大小的红球替换放回盒中.
(1)求第 2 次抽取到的是红球的概率;
(2)记 3 次抽取结束后盒子中黄球的个数为 ，求 的分布列与数学期望.
18. (17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)设函数 ，证明: 的极小值不大于 0 .
19. (17 分)
已知椭圆 ，过 上一点 ( )作 的切线交 轴于点 分别是 的左、右焦点, 分别为其左、右顶点.
(1)证明:切线 的方程为 .
(2)证明: 为 的外角平分线.
(3)过点 分别作 ，垂足分别为 . 证明: 四点共圆.
高三数学参考答案
1. 由 ,解得 ,因为 ,所以 .
2. C 对于 而言, ,故 是真命题, 是假命题.
对于 而言,当 时, ,故 是假命题, 是真命题.
综上, 和 都是真命题.
3. A 因为 ,所以切线的斜率为 ,所求切线的方程为 ,即
4. C 设每年植树面积的亩数构成等差数列 ,则 ,公差 ,所以这 10 年累计的植树总面积 亩.
5. A 依题意可知,抛物线的焦点在 轴上,又直线 与 轴的交点坐标为 ,抛物线的方程可化为 ,所以 ,所以 .
6. C 因为总的平均数为 ,所以总的方差为
7. ,其中 . 因为 0 ,所以 . 因为 在 上恰有四个不同的实数根 , ,不妨设 ,所以 ,
所以 ,则 . 因为 ,所以 ,从而 .
8. 设 为 的中点,则 ,即
,这表明 中, 边上中线的斜率与 的斜率之积为 ,
,
,
又 ,
,故选 B.
9. ACD 因为 ,所以 ,则 正确, B 错误.
因为 ,所以 , C 正确.
因为 ,所以 对应的点 在第三象限, 正确.
10. AD 对于 A，因为 是 的中位线，所以 且 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， A 正确;
对于 ,取 的中点 ,连接 ,易证四边形 为平行四边形, ,但 的大小会随着点 的运动而改变, 所以所求截面的面积不是定值, 错误;
对于 ,设点 在平面 上的射影为 ,连接 ,因为 ,所以 ,又 是直角三角形,所以 为线段 的中点,即 平面 ,若 ,则 ,从而 ,显然题设中没有这个条件, 错误;
对于 D,显然球心 在线段 上,因为 ,所以 ,设 ,则 ,由 ,得 ,从而 , D 正确.
11. ACD 对于 ,令 ,得 ,所以 ,又 是非常数函数,所以 , A 正确;
对于 ,令 ,得 ,整理得 ,则 是偶函数, 错误;
对于 ,令 ,得 ,所以 ,即 是周期为 6 的函数,所以 ,所以 , 即 ,又 ,所以 ,即 ,所以 正确;
对于 ,令 ,得 ,所以 正确.
12. 因为 ,所以 ,解得 ,所以 ,故向量 与 的夹角为 .
13. -3 因为 ,当且仅当 时, 取得最大值 ,当且仅当 时, 取得最小值 2,所以 . 又 ,所以 ,则 -3 .
14. 当曲线 与动圆 相切时, 的取值达到最大,设此时切点为 ,则 且 ,解得 ,所以 ,即 ,解得 ,所以 2,所以实数 的取值范围是 .
15. 解: (1) 因为 ,
所以 , 2 分
整理得 , 3 分
所以 . 5 分
因为 ,所以 . 6 分
(2)由余弦定理得 , 8 分
化简得 , 9 分
解得 , 11 分
所以 (负值舍去), 12 分
所以 . 13 分
16.(1)证明:取 的中点 ，连接 ，易证 且 ，则四边形 为平行四边形,所以 ,
又因为 为 的中点,所以 ,所以 ,易证 平面 . 2 分
因为 ,所以四边形 为平行四边形,所以 ,同理可证 ,所以 ,从而 平面 . 4 分
因为 ,所以平面 平面 . 5 分
(2)解:因为 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，从而 6 分
因为 ,满足 ,所以 ,
8 分
9 分
设点 到平面 的距离为 ,
由 ,得 ,解得 . 10 分
(3)解:易知 两两垂直，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系, 则 ,
. 11 分
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 ,
13 分
易知 为平面 的一个法向量, 14 分
所以 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17. 解: 记第 次取到红球为事件 ,第 次取到黄球为事件 . 1 分
(1) . 4 分
(2)由题意， 可以为 0,1,2,3, 5 分
7 分
9 分
11 分
13 分
所以 的分布列为
0 1 2 3
2 36
14 分
所以 . 15 分
18.(1)解:当 时， ， . 2 分
因为函数 在 上单调递增,且 时, , 4 分所以当 时, ,此时 在 上单调递增,
当 时, ,此时 在 上单调递减,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 6 分
(2)证明:因为 ，
所以 . 8 分
令 ,易知 在 上单调递增,
因为 ,
取 , 11 分
所以存在 ,使得 ,即 ,
所以当 时, ,此时 单调递增,
当 时, ,此时 单调递减, 13 分
所以 ,
整理得 . 15 分
因为 ,所以 ,当且仅当 时,等号成立,即 的极小值不大于 0 . 17 分
19. 证明: (1) 依题意易得 . 由 消去 ,整理得 , 1 分又 , 2 分 3 分
直线 与椭圆 有且仅有一个交点, 4 分
又点 的坐标满足 , 切线 的方程为 . 5 分
(2)直线 的方程为 ，令 ，则 ，得 .
6 分已知 ,直线 的方程为 ,即 ,直线 的方程为 ,即 , 7 分点 到直线 的距离 8 分
点 到直线 的距离 为 的外角平分线. 9 分
(3)设 ， ， 为坐标原点， ， 直线 和直线 的方程分别为 . 10 分
由 解得 , 11 分
12 分
由 解得 , 13 分
, 14 分
,
,
同理 . 16 分
,
四点共圆. 17 分

展开更多......

收起↑