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高一数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如弼改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:人教 A 版必修第二册第六章。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
A. B. C. D.
2. “ ” 是 “ 或 ” 的
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 如图，正方形 和正方形 有公共边,与向量 相等的向量为
A.
B.
C.
D.
4. 若三角形三条边的长度分别为2.2025.2026,则该三角形是
A. 直角三角形 B. 钝角三角形
C. 锐角三角形 D. 不能确定的
5. 如图， 是平行四边形 外一点,则
A.
B.
C.
D.
6. 在 中, ,向量 在向量 上的投影向量为
A. B.
C. D.
7. 如图， ， 两点都在河的对岸(不可到达). 某测量队在 ， 处测得 米， ， ，则
A. 100 米
B. 200 米
C. 米
D. 米
8. 已知向量 若 与 的夹角为钝角,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选锚的得 0 分.
9. 下列结论正确的是
A. 平行向量也叫作共线向量
B. 单位向量都相等
C. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量
D. 两个单位向量之和仍可能是单位向量
10. 在 中,内角 所对的边分别为 ,且 恰有一个解,则 的值可以是
A. 1
B. 2
C. 3
D.
11. 如图，正方形 的边长为 . 若 ,则 的值可能为
A. 12
B. 15
C. 32
D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 16 分.
12. 已知 是两个不共线的单位向量, ,若 与 共线,则 _____▲_____.
13. 如图， 的半径为 2，点 在面 的圆周上，则 的最大值为_____▲_____.
14. 锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 面积的取值范围为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知点 .
(1)若 ， ， 三点共线，求 的值；
(2)若 ， ，求点 的坐标；
(3)若 ，求 的值.
16. (15分)
已知向量 与 的夹角为 ，且 ， .
(1)求 的值；
(2)求向量 与 的夹角.
17.(15分)
记 的内角 的对边分别是 ，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的面积.
18.(17分)
如图，在等腰梯形 中， 分别是 ， 的中点.
(1)求 ；
(2)点 在边 上，若 ，求 ；
(3)若 为梯形 所在平面内的一点，且 ，求 的最小值.
19. (17 分)
公园某处有一个半径为 40 米的圆形水池, 准备在水池中建两个喷泉. 如图, 设该圆形水池的圆心为 两点为喷泉, 为该圆形水池边缘任意一点,要求 三点共线,且 .
(1)若 ，求 .
(2)设 米， .
(1)试将 表示为 的函数；
(II)若要求在该水池边缘任意一点 处观察喷泉，观察角度 的最大值不小于 ，试求 ， 这两个喷泉间距离的最小值。
高一数学参考答案
1. D .
2. C 若 ,则 或 或 . 故“ ” 是 “ 或 ” 的必要不充分条件.
3.B 与向量 相等的向量为 .
4.B 长度为 2026 的边所对的角最大,其余弦值为 ,故该三角形为钝角三角形.
5. A .
6. A 在 中. . 所以 . 因为 ,所以向量 在向量 上的投影向量为 .
7. 因为 ,所以 是等腰直角三角形 米.
在 中, ,解得 ,所以 是等边三角形, 米.
8. 因为 与 的夹角为钝角,所以 ,即 ,解得 .
当 与 共线时, ,此时 和 反向,不满足题意.
故 的取值范围为 .
9. ACD 长度等于 1 个单位长度的向量叫作单位向量,单位向量的方向不确定。B 错误.
10. CD 因为 恰有一个解,所以 或 均符合题意.
11. BD 如图，建立平面直角坐标系. 则 、 、 、 、
当 时, ,则 . 由 ，得 ，当且仅当 时，等号成立，得 ，得 当且仅当 时，等号成立. ,当且仅当 时,等号成立. 由 . 得 . 即 ,则 . 故 ,
12. -6 因为 与 共线,所以 ,所以 ,所以 解得 -6 .
13.8 连接 . 取 的中点 . 连接 . 当且仅当 三点共线,即 时、等号成立.
14. 因为 ,所以 . 因为 ,所以 . 锐角三角形 的面积 . 由正弦定理得 . 因为 为锐角三角形,所以 ,解得 . 则 . 所以 . 即 面积的取值范围是
15. 解: (1) . 1 分
因为 、 、 三点共线，所以 . 即 ，解得 . 4 分
(2)设 ，则 ， . 6 分
因为 ,所以 解得 . 8 分
所以 . 9 分
(3) . 11 分
因为 ,所以 , 12 分
解得 . 13 分
16. 解: (1) . 2 分
4 分
. 5 分
(2) , 工外
10 分
13 分
,故 与 的夹角为 . 15 分
17. 因为 .
所以 , 2 分
整理得 , 3 分
所以 . 5 分
因为 ,所以 . 7 分
(2)由余弦定理得 , 9 分
化简得 , 10 分
解得 (负值舍去), 12 分
所以 . 13 分
所以 . 15 分
18. 解: 以 为坐标原点, 所在直线为 轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则 1) . 4 分
(1) . 6 分
(2)设 ，则 . 7 分
因为 ,所以 , 8 分
即 ,解得 , 9 分
所以 . 10 分
(3)设 ，则 . 11 分
13 分
因为 ,所以 ,即 .
15 分
. 当且仅当 时. 等号成立.
所以 的最小值为 1 . 17 分
19. 解: (1) 在 中,由正弦定理得 . 2 分
所以 ,即 . 4 分
(2)(1)在 中，由余弦定理得 . 6 分
在 中，由余弦定理得 . 8 分
因为 ，所以 ，即 . 故所求关系式为 . 10 分
(1)当观察角度 最大时. 取得最小值. 11 分
在 中,由余弦定理可得 12 分
,当且仅当 时,等号成立. 14 分
因为 的最大值不小于 ，所以 ，解得 . 16 分
即 . 故 这两个喷泉间距离的最小值为 米. 17 分

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