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雅安市高2023级第二次诊断性考试 数学试题
本试卷满分150分，答题时间120分钟。
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名，考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上; 非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.
3. 考试结束后，将答题卡收回.
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的.
1. 下列关系正确的是
A. B. C. D.
2. 已知 为虚数单位,则
A. i B. 1 C. -i D. -1
3. 已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为6′，则抛物线的方程为
A. B. C. D.
4. 记 为等差数列 的前 项和,若 ,则
A 100 B. 95 C. 50 D. 15
5. 已知曲线 ，曲线 的离心率分别为 ，且 ， 则
A. B.
C. D.
6. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 在工业级3D打印与航天精密构件设计中，圆锥结构常作为支撑部件. 现有一个高为3的圆锥, 其顶点为 ，底面圆的圆心为 ，半径为2，若 、 两点在底面圆周上， ， 为线段 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为
A. B. C. D.
8. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求:每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型. 若小李和小赵不能调研同一种模型, 则不同的安排方案总数为
A. 144 B. 114 C. 94 D. 72
二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 ,则
A. 函数 的最小值为
B. 函数 的一个对称中心为
C. 函数 在区间 上单调递减
D. 函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度得到
10. 已知 是定义在 上的奇函数,且对任意 ,都有 ,当 时, ,则
A. 是以 4 为周期的周期函数
B. 点 是函数 的一个对称中心
C.
D. 函数 有 3 个零点
11. 已知菱形 中， ， ，现将 沿对角线 折起至 ，连接 ,形成三棱锥 ,则
A. 当二面角 的大小为 时,平面 平面
B. 在折起的过程中，存在某个位置使得
C. 当 时，三棱锥 的体积为
D. 当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)将答案填在答题卡相应的横线上.
12. 已知向量 ，若 ，则 _____.
13. 已知一个等比数列的前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比为_____.
14. 已知点 ,动点 满足 ,记动点 的轨迹为曲线 ,点 在抛物线 上运动，过点 作曲线 的切线，切点分别为 ， ，则 的最小值为_____.
四、解答题(本大题共5小题, 共77分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图，在三棱锥 中， ， 分别是 上的点， 是等边三角形, .
(1)若 平面 ，证明: ；
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
16.(15分)已知 中， .
(1)求 ；
(2)设 为 的中点， ，求 的面积.
17.(15分)中国女排，曾经十度成为世界冠军，历经岁月沉淀铸就了响彻中华的女排精神. 女排精神的核心内涵为:祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败.
(1)看过女排的纪录片后，某大学掀起 “学习女排精神，塑造健康体魄” 的年度主题活动， 一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重达标的人数进行统计， 得到如下表格:
月份x 1 2 3 4 5
体重达标的人数y 30 36 51 60 78
若该大学体重达标人数 与月份 (月份变量 依次为1，2，3，4，5)具有线性相关关系， 求y关于 的经验回归方程
(2)在某次排球训练课上，球恰好由A队员控制，此后排球仅在A队员，B队员和C队员三人中传递,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,求 次传球后球在A队员手中的概率.
参考公式:
18.(17分)已知椭圆 过点 和点 分别为 的左、右顶点， ， 为 上的两个动点，且分别位于 轴上、下两侧， 和 的面积分别为 ， ,记 .
(1)求 的方程；
(2)若 ，证明:直线 过 轴上定点；
(3)若 ，设直线 和直线 的斜率分别为 ， ，求 的取值范围
19.(17分)已知函数
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)当 时，讨论函数 的单调性；
(3)若函数 存在两个极值点，设 为 的极小值点， 为 的零点，证明: .
雅安市高2023级第二次诊断性考试 数学参考答案
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1. D 2. D 3. C 4. A 5. C 6. D 7. A 8. B
二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
9. ABC 10. BCD 11. BCD
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12. -5 13.
14.
四、解答题(本大题共5小题, 共77分)
15.(1)因为 面 ， 面 ，面 面 ，
所以 . .4分
(2)取 的中点为 ，连接 、 .
因为 ,所以 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 , 所以 平面 .
因为 ,由 得 .
.8分
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
所以 ,
设平面 的法向量为 ,则
令 ,则 ,所以 .
平面 的一个法向量为 ,
所以 ,
所以平面 与平面 所成夹角的余弦值为 .
.13分
16. ( 1 )因为 ，
所以 ,
故 .
.4分
又 ,故 ,所以 ,
所以 .
.7分
(2)由余弦定理 ，得 ①
.9分
因为 是 的中点，所以 ，
故 ,
即 ,
即 ② 13分
②-①得 ，
. .15分
17.(1)设线性回归方程为: ，
由已知得 , .2分
所以线性回归方程为 .
.7分
(2)记 表示事件 “ 次传球后球在 队员手中”,
设 次传球后球在 队员手中的概率为 ,
则 ,
所以 ,
即 ,
.11分
所以 ,且 ,
所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,
所以 ,即 . .15分
18.(1)将点 和点 代入 ，解得 ， 所以 的方程为 . .4分
(2)由(1)知 ， ，
设 ， ，直线 与 轴的交点为 ，则 ,解得 . .9分即直线 过定点 . 10 分
(3)设直线 的方程为 .
联立 可得 ,
则 , .12分
且 .
于是
,(结合第 (2) 问)
.15分 ,即 的范围是 . .17分
19.(1)当 时， ， ，
所以当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时, ,则 在 上单调递增.
所以 ,故 的最小值为 -1 . 3分
(2) ，
当 时,令 ,得 或 ,
当 时, ,
所以当 时, ,则 在 上单调递增;
当 时, ,则 在 上单调递增;
此时 在 上单调递增.
当 时, ,
所以当 时, ,则 在 上单调递增;
当 时, ,则 在 上单调递减;
当 时, ,则 在 上单调递增.
当 时, ,
所以当 时, ,则 在 上单调递增;
当 时, ,则 在 上单调递减;
当 时, ,则 在 上单调递增.
综上: 当 时, 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 ;
当 时, 的单调递增区间为 ;
当 时, 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 ;
10分
(3)由(2)知当 时，显然仅有一个极值点 ，
当 时， 存在两个极值点，且
,
又由于 且当 时, ,
所以 在 存在唯一零点 .
若 ,由 (2) 知 ,则 成立.
若 ,则
要证 ,只需证 ,即证 ,
即证 ,只需证 .
设 ,则 ,
所以当 时, ,则 在 上单调递减,
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ,
由 (1) 知当 时, ,所以
所以 在 上恒成立,
故当 时, 成立.
综上, 成立. 17分

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