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石家庄市第一中学高一下学期学情检测反馈考试一 数 学
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 的虚部是( )
A. B. c. D.
3. 如图，四边形 是平行四边形，则 ( ).
A. B.
C. D.
4. 若向量 与 垂直，则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知非零向量 满足 ，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6. 在钝角 中,内角 的对边分别为 ,若 , ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 已知 ，于是 ，于是 ，于是 ，所在平面内的任意一点，且满足 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分.
9. 已知复数 均不为 0,则下列等式不恒成立的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知 ，则( )
A. 的最小值为 4 B. 的最小值为
C. 的最小值为 3 D. 的最小值为
11. 如图， 为边长为 2 的等边三角形，以 的中点 为圆心，1 为半径作一个半圆,点 为此半圆弧上的一个动点,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 的最大值为
D. 若 ,则 的最大值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 16 分.
12. 若 ，则 _____.
13. 已知 是不共线的向量， ，若 ， 三点共线，则 _____.
14. 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 6 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知 的内角 的对边分别为 ，
(1)请用数学语言叙述正弦定理；
(2)用向量方法证明您的叙述(非向量方法不得分！)
16. (本小题满分 15 分)
已知复数 为虚数单位.
(1)若复数 的实部与 的虚部相等，求实数 的值:
(2)若复数 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数 的取值范围；
(3)当 时,若复数 是关于 的方程 的一个根，求实数 的值.
17.(本小题满分 15 分)
已知向量 :
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)求 与 的夹角 的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
在 中，角 的对边分别为 . 且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积 ，内切圆的半径为 ，求 ；
(3)若 的平分线交 于 ，且 ，求 的面积 的最小值.
19.(本小题满分 17 分)
在 中， ， 分别为 ， 的中点， 与 交于点 ，记 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ， ，求 面积的最大值.
石家庄市第一中学高一下学期学情检测反馈考试一 数学教师版
一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
因为 或 ,所以 ,又
所以 .
2. 若复数 满足 ，则 的虚部是( )
A. B. C. D.
【答案】C
由题意得 ，虚部是 . 故选:C.
3. 如图，四边形 是平行四边形，则 ( ).
A. B. C. D.
【答案】C
如图， 与 交于点 ，由题意得 为 的中点，
则 . 故选:C.
4. 若向量 与 垂直，则 ( )
A.
B. C. D.
【答案】A
,所以 ,所以 ,所以 .
故选: A
5. 已知非零向量 满足 ,则向量 在向量 上的投影向量为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
由 ,
所以 . 所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选: A
6. 在钝角 中,内角 的对边分别为 ,若 , 则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
因为 ,由正弦定理得 , 又 ,
所以 ,即 , 因为 为钝角三角形,则 ,所以 ,
由正弦定理得 ,又 ,则 ,又因为 ,由余弦定理得 .
故选: A.
7. 下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
因为 ,即 ,可得 ;
又因为 ,即 ,可得 ; 所以
,
且 ,即 ,可得 ; 且 ,所以 .
故选: D.
8. 已知 中， ， ， 是 所在平面内的任意一点，且满足 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
在 中，由 ，可得 ，根据 ，得 ， 以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，则 ，
设 为平面内满足 的点,则有 ,
则 ,
由于 在单位圆上,可设 ,
则 ,故 的取值范围为 .
故选:A
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分.
9. 已知复数 均不为 0,则下列等式不恒成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
设 ,则
对于 中, ,
所以 与 不能恒成立,所以 符合题意;
对于 中,由 ,
所以 恒成立，所以 不符合题意；
对于 中,由 ,
因为 与 不一定相等，所以 不恒成立，符合题意；
对于 中,由 ,
所以 恒成立，所以 不符合题意.
故选: AC.
10. 已知 ,则( )
A. 的最小值为 4 B. 的最小值为
C. 的最小值为 3 D. 的最小值为
【答案】BCD
由题意可得 ,当且仅当 时，等号成立，则 错误；
,
,
当 时， 的最小值为 ，则 正确； 因为 ,且 ,所以 ,所以 ,
当且仅当 时，等号成立，则 正确； ,当且仅当 时,等号成立, 则 正确;
故选: BCD.
11. 如图， 为边长为 2 的等边三角形，以 的中点 为圆心，1 为半径作一个半圆,点 为此半圆弧上的一个动点,则下列说法正确的是 ( )
A.
B.
C. 的最大值为
D. 若 ,则 的最大值为
【答案】AD
对于 , 正确; 对于 , B 错误;
对于 ,以 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
,设
则 ,当 时, 取得最大值为 5, 错误;
对于 ,
,则
,
由 ,得 ,
因此当 时， 取得最大值 ， 正确.
故选: AD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ,则 _____.
【答案】
13. 已知 是不共线的向量， ，若 ， 三点共线，则 _____.
【答案】 13
因为 三点共线,所以设 ,
即: ,
所以 ,消去 得: .
故答案为:13
14. 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 的最大值为_____.
【答案】10
, 所以 ,所以 的最大值为 10 .
四、解答题:本题共 6 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知 的内角 的对边分别为 ，
(1)请用数学语言叙述正弦定理；
(2)用向量方法证明您的叙述(非向量方法不得分！)
(1)
(2)过点 B 选择与 垂直的单位向量 ，则
，所以 ，同理可选择与 垂直的单位向量 ,由 ,于是 成立.
16. (本小题满分 15 分)
已知复数 为虚数单位.
(1)若复数 的实部与 的虚部相等，求实数 的值；
(2)若复数 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数 的取值范围；
(3)当 时，若复数 是关于 的方程 的一个根，求实数 的值.
【答案】(1)
(1) 由题意得 ,解得 .
(2)因为复数 在复平面内对应的点位于第三象限，所以 ，解得 ， 所以实数 的取值范围为 .
(3) 因为复数 是关于 的方程 的一个根, 所以 , 所以 ,解得 .
17. (本小题满分 15 分)
已知向量 ；
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)求 与 的夹角 的余弦值.
【答案】(1) (2)-1(3)
(1) 因为 ,则 ,则
(2) ,则 , 因为 ,所以 ,即 ,解得 .
(3)由题知 ，则 ，又
所以 ,又 , 所以 .
18. (本小题满分 17 分)
在 中，角 的对边分别为 . 且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积 ，内切圆的半径为 ，求 ；
(3)若 的平分线交 于 ，且 ，求 的面积 的最小值.
(1) 由 ,得 ,则 , 即 ，而 ，所以 ._____ 5 分
(2)由等面积法得: ，即 ， 因此 ,在 中,由余弦定理得 , 即 ,所以 . -11 分
(3)
解 法 ,所以 取等条件为 ，此时 17 分
解法 2: 由 平分 ,得 ,
在 中,设 ,则 ,
在 中，由正弦定理，得 ，则 ，
在 2BCD 中，由正弦定理，得 ，则 ，
得 ,故有 .
在 中,由正弦定理,得 ,则 ,
得 代入 式,可得 ,即 .
由基本不等式,得 ,解得 ,当且仅当 时取 “=”.
于是, . 即 的面积的最小值为 .
_____17 分
19. (本小题满分17分)在 中， ， 分别为 ， 的中点， 与 交于点 ,记 .
(1) 若 ，求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1) .
(1)由题意知 是 的重心，所以
在VAOB 中, 由余弦定理得
,
所以 ；
(2)因为 ，所以 ，设 ，则 . 在 中，由余弦定理可得 ，
即 ,得 ,
又 ,
所以 ，记 ，则
则 ,
当且仅当 时等号成立,故 面积的最大值为 16.

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