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苏大附中 2025-2026 学年 4 月阶段诊断高二年级数学试卷
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知函数 ，则 ( )
A 0 B. C. D. 1
2. 函数 的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
3. 在三棱锥 中, 是 的中点,则( )
A. B.
C. D.
4. 曲线 在点 处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5. 函数 在 上的最小值为( )
A. B. -2
C. D.
6. 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的最小值为( )
A. B. C. D. e
7. 若指数函数 ( 且 )与三次函数 的图象恰好有两个不同的交点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ()
A. B. 3 C. 4ln2 D. 4
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项 符合题目要求全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 与其导函数 的部分图象如图所示,若函数 ,则下列关于函数 的结论正确的是( )
A. 在区间 上单调递减 B. 在区间 上单调递减
C. 当 时,函数 有极小值 D. 当 时,函数 有极小值
10. 已知函数 ,则( )
A. 是 的极小值点 B. 有三个不同零点
C. 当 时, D. 当 时,
11. 已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ,下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在棱长为 1 的正方体 中， _____.
13. 某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 分，其中 (单位: )是瓶子的半径,已知每出售 的饮料,可获利 0.4 分,且能制作的瓶子的最大半径为 ,当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为_____cm.
14. 已知函数 ，若 恒成立，则 的最大值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，平行六面体 的底面是正方形， ， ，若 .
(1)用 表示 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.
16. 已知函数 .
(1)求函数 的极值；
( 2 )求函数 的最值.
17. 已知曲线 ,若曲线 在 处的切线方程为 .
(1)求 的值；
(2)求过点 且与曲线 相切的直线方程；
(3)若过点 有且只有一条直线与曲线 相切，求实数 的取值范围.
18. 已知函数 .
(1)当 时，证明: ；
(2)若 存在两个零点，求 的取值范围.
19. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 在 内的最大值为 2，求 的值；
(3)若 ，求 的取值范围.
苏大附中 2025-2026 学年 4 月阶段诊断高二年级数学试卷 参考答案
一、单项选择题
1.C 2.A 3.B 4.A 5.A 6.B 7.A 8.C
二、多项选择题
9. BC 10. ACD 11. ACD
三、填空题
12.1 13. 6
14.
四、解答题
15. 解: (1) 因为 .
(2) ，
因为 ，
所以 ,
所以 ,
所以异面直线 与 夹角的余弦值为 .
16. 解: (1) 由题可得 ,
所以 ,令 ,得 ,
当 时, ,即 单调递增;
当 时, ,即 单调递减;
所以当 时, 取得极大值,极大值为 ,无极小值.
(2) ,
所以 ,
当 时, ,故 ,仅 ,即 单调递增;
当 时, ,故 ,即 单调递减;
当 时, ,故 ,仅 ,即 单调递增;
又 ,
所以当 时, 取得最大值,最大值为 ,当 时, 取得最小值,最小值为 .
17. 解: (1) ,由题设有 ,故 ,
故 ,所以 ,故 ,故 .
综上, .
(2)设切点为 ，则切线的斜率为 ，
故切线方程为: ,
因为切线过 ,所以 ,
故 ,故 或 ,
故过点 的切线方程为 或 .
(3)由(2)中的切线方程有 有且只有一个实数解，
即 有且只有一个实数解,
设 ,则 有且只有一个零点,
而 ,
当 或 时, ,当 时, ,
故 在 上为增函数,在 上为减函数,
所以 ,所以 ,故 或 .
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18. 解: (1) 依题意得 ,要证 ,只需证 , 令 ,所以 .
设 ,
当 时, ,所以 在区间 上单调递增,
所以当 时, ,即 ,所以 在区间 上单调递增,
故当 时, .
故当 时, ,即 .
(2) .
若 ,则 ,所以 在 上单调递增,所以 至多有 1 个零点,舍去; 若 ,令 ,解得 ,
所以当 时, ; 当 时, ,
所以 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.
因为 ,所以当 时, ; 当 时, ;
由 存在两个零点,得 ,即 ,所以 ,所以 .
综上所述, 的取值范围是 .
解法二:
因为 ,所以 不是 的零点.
所以 存在两个零点等价于关于 的方程 有两个不同的解,
即函数 的图象与常数函数 的图象有两个不同的交点.
因为 ,
当 或 时， ；当 时， .
所以 在区间 和 上单调递减,在区间 上单调递增.
当 时, ; 当 时, .
当 时,因为 在区间 上单调递减,
此时 与 至多一个交点,舍去;
当 时,要使得 与 有两个交点,需满足 ,
在 的条件下,
因为 及 ,且 在区间 上单调递减,
所以 与在区间 上恰 1 个交点;
由 (1) 知, ,
又因为 ,且 在区间 上单调递增,
所以 与 在区间 上恰 1 个交点.
综上所述，若 在定义域内存在两个零点，则 的取值范围是 .
19. 解: (1) 求导得 ,
当 时, ,则 ,得 ,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减;
当 时,令 ,解得 或 ,
当 时, ,则 ,得 或 ,得 ,
则 在 内单调递减,在 和 上单调递增;
当 时, ,则 在区间 上单调递增;
当 时, ,则 ,得 或 ,得 ,
则 在区间 内单调递减,在 和 上单调递增,
综上， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
时， 在 内单调递减，在 和 上单调递增；
时, 在区间 上单调递增;
时, 在区间 内单调递减,在 和 上单调递增.
(2)由(1)知，当 时， 在 内单调递增，
则 ，解得 与 矛盾；
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,即 ,
令 ,则 ,
则 在 上单调递减,
又 ,故 ;
综上, .
( 2 )由 可得 ,
即 ,
令 ,则 ,
则 得 得 ,
则 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 ,则 ,
故 ,令 ,
则 ,令 ,解得 ,
则当 时, ,当 时, ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 ,所以 ,
故 的取值范围为 .

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