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杭州二中 2025 级高一下数学周末练 5
一、单选题
1、复数 满足 ，则 的虚部为 ( )
A. i B. C. i D. -1
2、已知向量 ，则 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
3、水平放置的 ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的 ,其中 ,则 绕 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为
A. B.
C. D.
4、将一个半径为 2 的铁球熔化后, 浇铸成一个正四棱台形状的铁锭, 若这个铁锭的上、 下底面边长分别为 1 和 2 ，则它的高为 ( )
A. B. C. D.
5、已知正方形 的边长为 和 的中点分别为 ，沿 ， 折起来使得 重合于 ,得到三棱锥 ,则三棱锥 外接球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
6、若点 是 所在平面上一点，且 是直线 上一点， ,则 的最小值是 ( )
A. B. C. 8 D. 9
7、已知棱长为 的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为 的圆,则该球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
8、三棱锥 中， ， 为 的中点， 分别交 于点 、 ，且 ,则三棱锥 体积的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9、已知 ， 是复数，则下列命题错误的是 ( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ,则 D. 若 ，则
10、在 中，角 所对的边分别为 ，对于以下命题，其中正确的是 ( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则 是锐角三角形
C. 若 ，则满足条件的三角形有两个
D. 若角 都是锐角,则
11、如图，一个半圆柱的轴截面为矩形 ，点 在上底面上，连接 ，若 ,该几何体的外接球的表面积为 ,则 ( )
A.
B.
C. 面积为
D. 点 到平面 的距离为
三、填空题
12、已知 ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影向量坐标为_____.
13、已知高为 1 且底面半径为 的圆锥，顶点为 ，底面上有两个不同的动点 和 ， 则 的面积的最大值为_____.
14、如图，在正四面体 中，放置 1 大、4 中、4 小共 9 个球， 其中，大球为正四面体 的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切. 若正四面体 的体积为 ，则 9 个球的表面积之和为_____.
四、解答题
15、已知关于 的实系数一元二次方程 有两个虚数根 和 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 和 .
市为进一步缓解交通压力,现经过甲公路和乙公路,分别修建新地铁线和快速通道,如图已知 小区在两条公路汇合处,两条公路夹角为 ,为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站 ，并分别在两条公路边上建两个中转站 、 (异于点 )， 要求 (单位: 千米). 设 .
(1)用 表示 并写出 的范围；
(2)当搅拌站 与小区 的距离最远时,求 的值.
17、如图，长方体 的长、宽、高分别为 ，且 2.
(1)当底面 为正方形时，求长方体 的表面积和体积;
(2)求三棱锥 体积的最大值；
(3)记三棱锥 外接球的表面积为 ，底面 的面积为 ，求 的取值范围.
18、在 中，角 的对边分别为 ， .
(1)求证: ；
(2)设 边上的中点为 .
(i) 若 ，求 ；
(ii) 记 ,求 的最大值.
19、若存在 ,使得 恰为函数 的全部零点所构成的集合，则称 为“分圆函数”.
(1)分别判断下列函数是否为“分圆函数”；(结论不要求证明)
① ；
② .
(2)求证:对任意 ， 均为“分圆函数”；
(3) 若 为“分圆函数”,求 的值.
杭州二中 2025 级高一下数学周末练 5
一、单选题
1、复数 满足 ，则 的虚部为 ( )
A. i B. C. i D. -1
【答案】
的虚部为 -1
2、已知向量 ，则 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
【答案】
因为 ,
所以 ,解得 .
故选: .
3、水平放置的 ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的 ,其中 ,则 绕 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】
根据“斜二测画法”可得 ,
绕 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,
它的表面积为 .
故选:
本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法, 难度较易.
4、将一个半径为 2 的铁球熔化后, 浇铸成一个正四棱台形状的铁锭, 若这个铁锭的上、 下底面边长分别为 1 和 2 ，则它的高为 ( )
A. B. C. D.
【答案】
球的体积为 ,设铁锭的高为 ,
则正四棱台的体积为 ,
由 ,可得 ,解得 .
5、已知正方形 的边长为 和 的中点分别为 ，沿 折起来使得 重合于 ,得到三棱锥 ,则三棱锥 外接球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
【答案】
如图,
三棱锥 的三条侧棱 两两垂直,
即 ,
如下图,将三棱锥 补形为长方体 ,
因为三棱锥的外接球即为长方体 的外接球,
设三棱锥 外接球的半径为 ,
因为 ,
所以 ,
所以三棱锥的外接球的半径 ,
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选: .
6、若点 是 所在平面上一点，且 是直线 上一点， ,则 的最小值是 ( )
A. B. C. 8 D. 9
【答案】
由题可设 ,
则 ,
因 ，解得 ， ，则 为重心, 延长 交 于点 ，则点 为 的中点，如图所示，
则 ，由 ，
又因 、 、 三点共线,所以可得 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 取等号,故 正确.
故选: .
7、已知棱长为 的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为 的圆,则该球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
【答案】
由对称性, 可知球心与正四面体重心重合,
由于球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为 的圆,故每个面的交线为半径为3的圆.
设球心为 为 的中心,则 ,故 ,故
设球心到任意面的距离为 ，则由等体积法可得
故连接球心与任意面中心，则连线长为3，且连线垂直该面， 再连交线圆上一点与球心 (即为球的半径), 由勾股定理得球的半径为 ，则表面积为 .
故选: .
8、三棱锥 中， ， ， 为 的中点， 分别交 ， 于点 、 ，且 ，则三棱锥 体积的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】
由题意得 ,
所以 是正三角形,
分别交 于点 ,
,
,
是 的平分线,
,
以 为原点，建立平面直角坐标系，如图:
设 ,则 ,
整理得 ,
因此三棱锥 体积的最大值为 .
故选:
二、多选题
9、已知 ， 是复数，则下列命题错误的是 ( )
A. 若 ，则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】
对于 中,设复数 ,
若 ,即 ,可得 ,即 且 ,
由 ,所以 ,所以 正确;
对于 中,若 ,此时 ,
但复数 和 不能比较大小,所以 错误;
对于 中，如 ，可得 ，此时 ，所以 错误；
对于 中,若 ,可得 ,此时满足 ,
但 且 ,所以 错误.
故选: .
10、在 中，角 所对的边分别为 ，对于以下命题，其中正确的是 ( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则 是锐角三角形
C. 若 ，则满足条件的三角形有两个
D. 若角 都是锐角,则
【答案】
对于选项 ,在 中,若 ,则 ,由正弦定理得 ,故选项 正确.
对于选项 ,若 ,由正弦定理可得 ,则 ，则角 为锐角，但不确定角 是否为锐角，故选项 不正确.
对于选项 ,由于 ,故三角形有两解,故选项 正确.
对于选项 ，当 ， 时， ，故选项 不正确.
故选: .
11、如图，一个半圆柱的轴截面为矩形 ，点 在上底面上，连接 ，若 ,该几何体的外接球的表面积为 ,则 ( )
A.
B.
C. 面积为
D. 点 到平面 的距离为
【答案】
由该几何体的外接球的表面积为 ,可知外接球的半径为 ,
,则 ,即 .
如图,连接 ,过点 作 于点 ,易证 平面 ,
由已知条件可得 ,
错误; 正确;
由余弦定理可得 ,
，
的面积为 ， 错误；
设点 到平面 的距离为 ,
由三棱锥 与 的体积相等可得, ,
故 ,即点 到平面 的距离为 正确.
故选: .
三、填空题
12、已知 ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影向量坐标为_____.
【答案】
因为 ,所以 ,
则 在 方向上的投影为 .
故答案为: .
13、已知高为1且底面半径为 的圆锥,顶点为 ，底面上有两个不同的动点 和 ， 则 的面积的最大值为_____.
【答案】 2
圆锥底面圆半径为 ,高为 1,得圆锥的母线长为 ,
设圆锥的母线与高的夹角为 ,则 ,
得 ,所以圆锥的两条母线之间的夹角为 ,
即等腰 的顶角 满足: ,
所以 .
故答案为: 2
14、如图，在正四面体 中，放置 1 大、4 中、4 小共 9 个球， 其中，大球为正四面体 的内切球，中球与大球及正四面体 的体 均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切. 若正四面体 的体 积为 ，则 9 个球的表面积之和为_____.
【答案】
在正四面体 中,设棱长为 ,高为 为正四面体 内切球的球心,
延长 交底面 于 是等边三角形 的中心, 延长线交 于 ,连接 ,
则点 是 的中点， 为正四面体 内切球的半径，
由正四面体 的体积为 ，得 ，解得 ，
由 ,解得 ,
由图知最大球内切于高 的正四面体,最大球半径 ,
因此最大球的表面积为 ;
中等球内切于高 的正四面体,中等球半径 ,
因此中等球的表面积为 ;
最小球内切于高 的正四面体,最小球半径 ,
因此最小球的表面积为 ,
所以九个球的表面积为 ,
故答案为:
四、解答题
15、已知关于 的实系数一元二次方程 有两个虚数根 和 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 和 .
【答案】
(2)
(1) (方法一) 因为 是方程 的根,
所以 ,整理得 ,
因为 ,所以
(方法二) 依题意, ,则 ,
由根与系数的关系,得 .
所以方程化为 .
由求根公式得 ,
所以 .
16、 市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道,如图已知 小区在两条公路汇合处,两条公路夹角为 ,为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站 ，并分别在两条公路边上建两个中转站 、 (异于点 )， 要求 (单位: 千米). 设 .
(1)用 表示 并写出 的范围；
( 2 )当搅拌站 与小区 的距离最远时，求 的值.
【答案】
(2)
(1) 在 中利用正弦定理可得, ,
因 ,则 ,
则 ;
(2)因 ， ，则 ，
在 中利用余弦定理可得,
因 ,则 ,
则当 ，即 时， 有最大值 48， 有最大值 千米，
故当搅拌站 与小区 的距离最远时 .
17、如图，长方体 的长、宽、高分别为 ，且 2.
(1)当底面 为正方形时，求长方体 的表面积和体积;
(2)求三棱锥 体积的最大值；
(3)记三棱锥 外接球的表面积为 ，底面 的面积为 ，求 的取值范围. 【答案】(1) 表面积为 10，体积为 2
(2)
(3)
(1) 因为底面 为正方形,所以 ,
则长方体 的表面积为 ,
体积为 .
(2)由图和已知，
当且仅当 时,等号成立,故三棱锥 体积的最大值为 .
(3)由题可知，三棱锥 的外接球即长方体 的外接球，
设该外接球的半径为 则 ,
所以 ,
则 ,
令 ,则 ,
因为 ,所以 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的取值范围为 .
18、在 中，角 的对边分别为 ， .
(1)求证: ；
(2)设 边上的中点为 .
(i) 若 ，求 ；
(ii) 记 ,求 的最大值.
【答案】(1) 证明见解析
(2)(i) ；(ii)
(1) ,则 ,
因 ,则 ,则 ,
又 ,则 或者 (舍),则 ;
(2)(i)因 ，
则在 和 中利用余弦定理可得，
得 ，则 为等边三角形，故 ；
(ii) 在 和 中利用正弦定理可得，
两式联立可得, ,即 ,即
则 ,即 ,
则 ,
因 ,则令 ,
则 ,其中 ,
则 ,得 ,
当 时, ,
因 ,则 ,则 ,则 ,
故当 ，即 时， 有最大值 ，此时 ，
故 的最大值为 .
19、若存在 ,使得 恰为函数 的全部零点所构成的集合，则称 为“分圆函数”.
(1)分别判断下列函数是否为“分圆函数”；(结论不要求证明)
① ；
② .
(2)求证:对任意 ， 均为“分圆函数”；
(3)若 为“分圆函数”，求 的值.
【答案】(1) ①是；②不是
(2)证明见解析
(3) 或 ；
(1) ①是；
令 ,解得 ;
即可得 ,所以 的零点的解集为 ;
所以存在 使得 为 “分圆函数”.
②不是；
令 ,即 ,
得 或 ;
显然这两部分解无法用同一个表达式来表示，所以 不是 “分圆函数”.
(2) 令
,故其必有两个不等实根
由韦达定理: ,令 ,则
因此 的全部零点为 ;
故对任意 ， 均为“分圆函数”
(3) 法 1:
令
易知 ,故其必有两个不等实根
由韦达定理可得
因为 在 上至多有两个解, 在 上至多有两个解;
所以 在 上至多有 4 个解,则
当 时: 由于 ,则 且 ,不合题
当 时: 必有 或
(i) 若 ,则
此时, 的全部零点为 ,故 合题意;
(ii) 若 ,则
此时, 的全部零点为 ,故 合题意;
当 时: 若 ,则
则 均为 的根
而 ,故
因此
此时, 的全部零点为 ,故 合题意;
综上 或 ;
法 2:
易知 为定义在 上的以 为周期的函数，先在 上分析其性质；
记 ,其在 上均单调递增
故 在 上的增区间为 ,减区间为 ,且 ;
若 ,则 在 恰有两个零点记为 ,在 上恒正,无零点,
由周期性可知 在 上恰有两个零点,记为 ,因此 , 依次为 的四个相邻零点;
而 ,不合题意,故 ,
同理 ,因此 ,
当 时， 的全部零点为 ，合题意；
当 时， 的全部零点为 ，合题意；
当 时, 在 各一个零点,分别记作 ,
若 为“分圆函数”，则有 ;
故 ,
因此 ,故 ,
注意到 为偶函数,则 ,解得 ;
故 ,
当 时, 的全部零点为: ,合题意;
综上, 或

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