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杭州学军中学 2025 学年第二学期月考一 高一数学试卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 复数 的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 的直观图 是直角三角形，如图所示，其中 ，则 的长度为( )
A. 8 B.
C. D. 4
5. 函数 ,若对任意 ,都有 成立,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 在三棱柱 中，侧棱 底面 ，且三棱柱的体积为 8， 的面积为 . 则点 到平面 的距离为( )
A. 1 B. 2 C. D.
7. 设 是线段 的中点， 是直线 外一点， 为线段 上的两点， ，且 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
8. 对任意 ,都存在 ,使得 成立,则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知向量 ，则下列说法正确的是( )
A. B. 在 上的投影向量为
C. 与 夹角的余弦值为 D. 若 与 垂直,则实数
10. 已知函数 的部分图像如图所示,则( )
A.
B. 是 图象的一条对称轴
C. 在 上的值域为
D. 已知函数 ,当 取最大值时,
11. 如图，底面 为边长是 4 的正方形，半圆面 底面 . 点 为半圆弧 (不含 ， 点) 一个动点.下列说法正确的是( )
A. 三棱锥 的每个侧面三角形都是直角三角形
B. 三棱锥 的体积的最大值为
C. 三棱锥 的外接球的表面积为定值
D. 直线 与平面 所成最大角的正弦值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 一个底面半径为 的圆柱形容器内盛有足量的水,能放入一个半径为 的实心铁球,沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了_____cm.
13. 已知 中， 是 边上靠近 的三等分点，过点 的直线分别交直线 于不同的两点 ，设 ，其中 ，则 的最小值是_____.
14. 在直角三角形 中， ， 为斜边 上一点，若 与 的内切圆面积相等，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期及单调递减区间；
(2)将 的图象先向左平移 个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的 (纵坐标不变)，得到函数 ， 若 ,求 的值.
16. 如图,正四棱台 的高为 3,且 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的余弦值.
17. 在 中，角 的对边分别为 ，满足 .
(1)若 ，求 周长的最小值；
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 面积 的取值范围.
18. 如图,在三棱柱 中,底面是边长为 4 的等边三角形, 分别是线段 的中点,点 在平面 内的射影为点 .
(1)求证: 平面 ；
(2)设 为棱 上一点， .
①若 ，请在图中作出三棱柱 过 三点的截面，并求该截面的面积；
②求二面角 的取值范围.
19. 已知偶函数 和奇函数 的定义域均为 ,且 ,令 .
(1)分别求函数 和 的解析式；
(2)若关于 的方程 在 上恰有 3 个解，求实数 的取值范围:
( 3 )把区间 等分成 份，记等分点的横坐标依次为 ，设
,记 ,是否存在正整数 ,使关于 的不等式 恒成立 若存在,求出所有 的值,若不存在,说明理由.
杭州学军中学 2025 学年第二学期月考一 高一数学参考答案
命题人:章瑜 审题人:胡浩威
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A B A C D B
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.( 1 ) .
的最小正周期为 ,
由 ,解得 ,
(2) 将 的单调递减区间是 .
(2)将 的图象先向左平移 个单位长度，得到函数 ，
再将其横坐标缩小为原来的 ,纵坐标不变得到函数 ,
据题意有 ,且 ,则 ,
则 .
16.(1)设 交 于 ，连接 ， 并交于 ，连接 ，
由正四棱台的性质可知 平面 , 平面 ,
所以 ,又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 ;
(2)取 中点 ，连接 ，则 ，
所以四边形 为平行四边形,所以 ,而 平面 ,
故 平面 ,所以 为 与平面 所成角,
,
所以 ,
即 与平面 所成角的余弦值为 .
17.(1)因为 ，
所以 ,
由基本不等式可知 ,当且仅当 时等号成立,
所以 即 ,
所以当 时， 周长有最小值为 12；
(2)因为 ，所以 ，
由余弦定理可得 ,
因为 ,所以 ,
由正弦定理可得 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
则
,
因为 是锐角三角形,有 ,即 ,
所以 ,
因为 ，
所以 ,即 面积 的取值范围是 .
18.(1)如图所示，连接 ，
由题意可知 面 ,四边形 是菱形,
面 ,
,
又 是 中点, 是正三角形,
,
又 面 ,
面 ，
面 ，
在菱形 中,有 ,
而 分别是线段 的中点,则 ,
面 ，
面 ;
(2)①取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ， ，
则 且 ,
又 且 且 ,
四边形 是平行四边形, 且 ,
分别为 的中点, 且 ,
,
过 三点的截面即为四边形 ,
平面 平面 ,
故截面为直角梯形 ,
又底面是边长为 4 的等边三角形且 ,
,
截面面积为 ;
②过 作 交 于 ，连接 ，则 ，
平面 平面 ,
故二面角 的平面角即为 ,
为棱 上一点,且 ,
,
,
,
，
令 ,
，
由双勾函数的性质可得 在 上单调递减,
1. ，故二面角 的取值范围 .
19.(1) 为偶函数， 为奇函数，且 ①，
②,
由 ①② 解得 ;
(2) ,
在 上单调递增, ,
在 上单调递增,且为奇函数,
,当且仅当 时取等,
在 单调递减,在 单调递增,
令 ,则 ,
当 或 时, 有一个解,
当 时, 有 2 个解,
方程 ,
即 ,
又 为增函数,所以 ,即 ,
整理得 ,
又关于 的方程 在 上恰有 3 个解,
所以 在 和 分别有一个解,
(3)把区间 等分成 份，则等分点的横坐标为 ，又 ，
所以 ,
所以
因为 ,
又 ,当且仅当 时取等,
所以
即 .
故存在正整数 或 2,使不等式 恒成立.

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