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浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷(2026 年 4 月) 数学试题
考生注意:
1. 答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效。
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知 ,则
A. -3 B. C. D. 3
3. 设 是两条不同的直线， 是一个平面，若 ，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 椭圆 的一个焦点也是抛物线 的焦点,则
A. 1 B. 3 C. 4 D. 8
5. 在 中, 为 的中点,则
A. 8 B. 12
C. D.
6. 有一组不全相等的样本数据 的平均数为 ,由这组数据得到新样本数据 , ,则两组样本数据的以下统计量一定不同的是
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
7. 已知函数 在 上单调递增,则下列各式有最大值的是
A. B. C. D.
8. 在 中, 为 边上的高,将 沿 翻折至 ,若点 在同一球面上,则该球表面积的最小值为
A. B. C. D.
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知圆 与圆 ,则
A. 圆 的圆心坐标为 B. 圆心距
C. 圆 与圆 相交 D. 圆 与圆 的公共弦的长为 3
10. 记 为数列 的前 项和, ,则下列结论可能成立的是
A. B.
C. 是公差为 1 的等差数列 D. 是公比为 -1 的等比数列
11. 设 表示非零复数集,
A. ,使得当 时,总有
B. ,使得当 时,总有
C. ,使得当 时,总有
D. ,使得当 时,总有
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 在 的展开式中，含 的项的系数是_____▲_____.
13. 已知函数 的定义域为 ,则 _____▲_____.
14. 在 中,角 的对边分别为 ,面积为 ,当 为常数)时， 的最大值为 ，则 _____▲_____.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)
已知函数 .
(1)求 ；
(2)求 的值域和单调递减区间.
16.(15分)
如图，在三棱柱 中，侧面 是边长为 的正方形， 为 的中点， ，平面 平面 .
(第 16 题图)
(1)证明: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (15分)
设 两点的坐标分别为 ,直线 相交于点 位于第一象限),且它们的斜率之积是1,记 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若 是 上的点， .
(i) 求 的坐标;
(ii) 记直线 ， ， 的斜率分别为 ，证明: 为定值.
. (17 分)
某中学为推进数字化教学, 引进了一套功能强大的人工智能助教系统, 该系统集范例生成、自动出题、答疑解惑、运算推理与学习评价等功能于一体, 可有效辅助学生学习. 学生李毕使用此系统后学科素养显著提升. 已知他在完成两类数学习题时，每题答题结果相互独且每题得分情况如下:
“几何”题: 得 6 分的概率为 ,得 3 分的概率为 ;
“代数”题: 得 6 分的概率为 ,得 4 分的概率为 .
(1)若李华只做了 4 道 “几何” 题，求他的总得分不超过 15 分的概率；
(2)若李华做了10道习题，先只做“几何”题，只有在“几何”题型上第二次得6分后, 才选择换做 (且后续只做) “代数” 题, 求他做的 “几何” 题数量多于 “代数” 题数量的概率;
(3)若李华一共做了n道习题，先选择做“几何”题，并且后续选择习题的规则为:如果上一题没有拿到 6 分就继续做该类型的习题; 反之, 就选择做另一种类型的习题, 求他做第 题的得分的数学期望.
19. (17分)
已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求 的取值范围；
(3)证明:当 时， 有且仅有一个零点.
浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷(2026年4月) 数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. D 2. A 3. C 4. C 5. A 6. B 7. D 8. B
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对的得 6 分，部分选对的 得 3 分，有选错的得 0 分)
9. ABC 10. ACD 11. AC
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 21 13. 1
14.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分)
15. (本题满分 13 分)
解:
(1) . 5 分
(2)因为 7 分
, ........8 分
所以 的值域为 , ..........10分
因为 , 12 分
解得 ,
所以 的单调递减区间为 . 13 分
16. (本题满分 15 分)
证明:
(1)连接 交 于 ，则 ， 4 分
又 平面 平面 ,所以 平面 . 6 分
解:
(2)法一:
因为 ， 为 中点，所以 ，
又因为平面 平面 ,
平面 平面 ,
所以 平面 ，
所以 平面 , 9 分
所以直线 与平面 所成角即为 . 12 分又因为 ，所以 .
所以 . 15 分
法二:
因为 为 中点,所以 ,
又因为平面 平面 ,
平面 平面 ,
所以 平面 ,又 ,
所以以 为坐标原点, 为 轴正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系 . .......9 分
因为 ,所以 ,
所以 , 11 分
设平面 的法向量为 ， 13 分
设直线 与平面 所成角为 ,
所以 . 15 分
17.(本题满分 15 分)
解:
(1)设 ，由题意知 ， 2 分
得 ,
所以 的方程是 . 4 分
(2)(i)设 ，则 ， 5 分
所以
, 6 分
解得 ,
所以 . 8 分
证明:
(ii) 法一:
因为 , 9 分
又因为
11 分
13 分
为定值. 15 分
法二:
因为 . 9 分
因为
11 分
.13 分
为定值. 15 分
18. (本题满分 17 分)
解:
(1)设总得分不超过 15 分为事件 ，
易知事件 包含两种情形,4 个题均得 3 分,或 3 个题得 3 分,1 个题得 6 分.
所以 . 4 分
(2)法一:
设李华选择“几何”题的数量为随机变量 ,则
9 分
10 分
法二:
,
,
9 分
所以李华做的 “几何” 题数量多于 “代数” 题的概率
10 分
(3)法一:
设做第 个题时，李华选择的是 “几何” 题且得 3 分的概率为 ，得 6 分的概率为 ， 李华选择的是 “代数” 题且得 4 分的概率为 ,得 6 分的概率为 ,
则 ,
由题意可知, . 12 分
所以 ,又 ,
所以
所以 ,即 ,
又因为 ,所以 ,
整理得 ,
因为 ,
所以 ,所以 ,
由累加法可知, ,所以 ,
........15 分
所以做第 个题目时,
得分的期望 ,
所以 . 17 分法二:
设 表示第 题选择几何题的概率,且 ,则选代数题的概率为 ,
由题意可知 , 12 分
所以 ,
所以 ,即 , 15 分
所以做第 个题目时,
得分期望
所以 .
19.(本题满分 17 分)
解:
(1)因为 ,
故所求切线方程为 . 4 分
(2)由 ，得 ， 5 分
因为 , 6 分
又 ， ，故 ， ，所以 ，
所以 与 同号，
所以 在 单调递增,
所以 在 处取到最小值 , 8 分
所以 的取值范围是 . 9 分
证明:
(3)当 时，令 在 单调递增,
又 ,
由零点存在定理知,存在唯一的 ,使得 ,
12 分
因为
① 当 时，
此时 在 上单调递增, 上单调递减, 上单调递增,
注意到极大值 ,
故此时 有唯一零点且在 内, 14 分
② 当 时，此时 ， 在 上单调递增，
又 ,
故此时 有唯一零点且在 内, 15 分
③ 时，此时 ，
在 单调递增， 单调递减， 单调递增，
此时
,由 可知
,又由 可知
,再由 可知 ,又 ,
故此时 有唯一零点且在 内,
综上可知,当 时, 有且仅有一个零点. ..........17 分

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