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重庆一中高 2027 届高二下期月考 数学试题卷
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的.
1. 已知 ,则 可表示不同的点的个数是
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
2. 抛掷两枚质地均匀的骰子, 观察两枚骰子出现的点数, 事件“两个骰子点数之和是 5”的概率等于
A. B. C. D.
3. 已知数列 的首项 ,且满足 ,则
A. B. C. 10 D. 12
4. 在 的展开式中,系数为有理数的项有
A. 6 项 B. 5 项 C. 4 项 D. 3 项
5. 某单位有 5 名员工(记为 、 、 、 、 )，需将这 5 人全部分配到甲、乙、丙 3 个不同的部门，要求每个部门至少分配 1 人，且员工 A、B 必须分配到同一部门，则不同的分配方案共有
A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 60 种
6. 已知 为样本空间中两个随机事件,其中 ,则下列说法正确的是
A. 事件 与 互斥 B. 事件 与 不独立
C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与 的左、右两支分别交于 两点. 若 为等边三角形,则 的离心率为
A. B. C. 2 D.
8. 已知函数 ,若不等式 恒成立,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目 要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有错选的得 0 分.
9. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是
A. 若甲、乙必须相邻，则不同的排法有 24 种
B. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有 20 种
C. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有 36 种
D. 若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有 42 种
10. 已知抛物线 的焦点 ， 为抛物线上两个动点， 为线段 的中点， ，则 A.
B. 若 ，则点 的横坐标为 4
C. 当 取最小值时， 的斜率为 1
D. 若 ，则
11. 已知函数 ,则
A. 若 ，则直线 为曲线 的一条切线
B. 若 ，则
C. 若函数 有 3 个零点 ,且 ,则
D. 若函数 在 的切线与 的图像交于另一个点 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知等差数列 前 项和为 ,则 _____.
13. 已知 ，且 恰能被 6 整除，则 的最小正整数取值为_____.
14. 一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，16 次后停止跳跃,记 为第 次跳跃后对应数轴上的数字 ,则满足 的跳跃方法有_____种.
四、解答题:共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
设数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16. (本小题满分 15 分)
“2026 重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了 100 名侯选者的面试成绩， 并分成五组: 第一组[45,55), 第二组[55,65), 第三组[65,75), 第四组[75,85), 第五组[85,95], 绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知第一、二组的频率之和为 0.3 , 第一组和第五组的频率相同.
(1)求 的值；
(2)若面试成绩前百分之 34 的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分；
(3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取 20 人，担任本次宣传者.若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 62 和 30 , 第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 80 和 40 , 据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差.
17. (本小题满分 15 分)
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束,设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各自投篮互不影响.
(1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率；
(2)求甲获胜的概率.
18.(本小题满分 17 分)
在平面直角坐标系 中,已知点 ,点 满足直线 与直线 的斜率之积为 ,点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)已知过点 且斜率不为 0 的直线 与曲线 交于 两点，求四边形 面积的最大值；
(3)直线 与 轴的正半轴和 轴分别交于 两点，与椭圆分别交于 两点，且 ， ,若 ,证明: 直线 经过定点,并求出该定点的坐标.
19.(本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若过原点的直线与曲线 相切于点 ，证明: 为定值；
(2)已知 恰有两个零点 ， 恰有两个零点 ，且 .
(i) 求实数 的取值范围;
(ii) 证明: .
重庆一中高 2027 届高二下期月考 数学参考答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D A 8 A C C D A
8. 因为 ,由 可得 ,即函数 的定义域为 ,
可得 ,
即 ,
构造函数 ,其中 ,则 ,故函数 在 上单调递增,
所以 ,可得 ,则 ,
即 ,其中 ,令 ,其中 ,
则 ,当 时, ,此时函数 单调递增,
当 时, ,此时函数 单调递减所以, .
所以, 故选: A.
二、多项选择
9 10 11
BD ABD ACD
11. 选项 A:当 时， ， ，
令 ,解得 或 . 当 时, ,
曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ,
所以直线 为曲线 的一条切线. 故 A 正确;
选项 B:当 时， ， ，
关于 中心对称,
令
令
时 . 故B错误:
选项 C:因为 是 三个零点。
则
. 故 正确:
选项 D: 在 的切线方程为
联立 整理得: . 故 正确.
故选:ACD
三、填空题 -
12 13 14
2 5 792
14. 由 ，得到 或 ，
若 ，即前 9 次跳跃，7 次向左，2 次向右，
后面 7 次跳跃全部向右，有 种；
若 ，即前 9 次跳跃，7 次向右，2 次向左，
后面 7 次跳跃 5 次向左，2 次向右，有 种，
所以跳跃方法共有 种.
四、解答题
15 题. (1)当 时， ，得 .
当 时, . -2 分
两式相减得 ，则 . 5 分
当 时， 符合上式，所以 . 6 分
(2)由(1)得 ， 9 分
所以 ,
故 . 13 分
16 题. ( 1 )由题意可知， ，解得 4 分
(2)由(1)可知每组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
故优秀成绩的最低分 ，所以 ，
可得 ，所以优秀成绩的最低分为 731 9 分
(法二: 所求即为 66 百分位数: )
(3)设第二组、第四组的平均数分别为 ，方差分别为 ，
且各组频率之比为: ,
所以月分层抽样的方法拍取第二组面试者 人，
第四组面试者 人，
对第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数: , 12 分第二组、第四组面试者的面试成绩的方差:
,
故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是 . 15 分
17 题. (1)设事件 “甲在第 次投篮投中”，事件 “乙在第 次投篮投中”， ，
由题可知 相互独立,且 ,
记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件 ，则 ， 3 分
可得 ,
所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 . -7 分
(2)记“甲获胜”为事件 ，则 ， 10 分
显然，事件 两两互斥，因此:
所以甲获胜的概率为 . 15 分
18 周。(1)设 ，则 且 ，
所以点 的轨迹曲线 的方程为 且 . -4 分
(2)设 ，直线 ，
将 代入 ，整理得 ，
-7 分
设 ，则 ，
在区间 上单调递减， 当 ，即 时， 取得最大值，
且 ， 四边形 面积的最大值为 6. 10 分
(3)法一:设 ， ， ，由题知 ，
由 ,
由 ,
而 ① 13 分
联立 ，消去 并整理
由 ,有
代入①式: 16 分
因为 在正半轴上,所以 ,
所以 ,所以 过定点 . 17 分
法二: 设
13 分
在椭圆上，代入方程得
同理可得方程: -②
①-②式整理得:
,且 ,代入上式整理得: -16 分
又 在正半轴，即 ，即直线过定点 .17 分
19 题. (1) 因为 .
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,
由该切线过原点，得 ，
整理得 ，即 为定值； 4 分
(2)(1)解法一:令 ，得 ，令 ，得 ，
设 ,则 .
由 ,得 单调递增,由 ,得 单调递减;
由 ,得 单调递增,由 ,得 单调递减;
故 的极大值为 的极大值为 ; -7 分
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,当 时, ;
既 ,即 . .9 分
解法二: .
令 ,得 单调递增,令 ,得 单调递减;
故 的极大值为 ,
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,当 时, , -7 分
若 恰有两个零点,则 ,得 ; 由 ,
可得 恰有两个零点等价于 恰有两个零点. 且 ,
故 ; 9 分
(II) 由 (I) 得 ,所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,
同理得 ,故 . -11 分因为 .
又因为 ,所以 ,得 ,
则 .
所以 ; 13 分
下面先证: ,
法一:要证 ,只需证 ,因为 ,所以 ,
而 在 上单调递减，所以只需证 ,即证 。 设 ,则
因为 ,所以 ,得 ,
而 ，所以 ，
得 在 上单调递增,所以 ,
则 ，即 ，得证 15 分
令
得 在 上单调递增,
所以 ,
故 . .17 分
附:法二:要证 ，因为 ，令 ，则 ，
由 ,
所证
,令
,下面只需证明 时恒有
,而 ,
故 在 上单增, ,故 在 上单增,因此 时,恒有 ,
即 ,得证: 15 分
其余同法一后半段的证明步骤。

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