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数 学
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，若 ，则
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
2. 已知向量 与 满足 ，且 ，则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知 ,则
A. B.
C. D.
4. 树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有
A. 8 种 B. 10 种 C. 12 种 D. 14 种
5. 已知 中, ,则 的面积为
A. B. C. D.
6. 已知等比数列 的首项 ，公比 . 若 是数列 的前 项积，则 取得最大值时 的值为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. 若经过点 的直线 既与曲线 相切,也与曲线 相切,则
A. B. 1 C. 2 D. e
8. 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高 (如图). 若球缺的底面半径为 ,高为 ,则球缺的体积 . 已知棱长为 2 的正方体 的各个顶点都在球 上,平面 将球 截成两部分,那么较小部分的体积为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分。
9. 已知随机变量 服从二项分布 ，随机变量 服从正态分布 ，则
A. B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系中,经过点 的直线交坐标轴于点 ,若点 满足 , 记 的轨迹为曲线 ,则
A. 曲线 的方程是 B. 直线 是曲线 的切线
C. 曲线 关于直线 对称
D. 曲线 关于点 对称
11. 已知数列 满足 ,则
A. 存在 ,使得 是常数列
B. 存在 ,使得 是递减的等比数列
C. 不存在 ,使得 是递增的等差数列
D. 存在 ,使得 ,且
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知复数 ，则 _____.
13. 已知 是偶函数，对任意 ， ， ；当 时， . 则 的表达式可以为_____. (写出满足条件的一个即可)
14. 已知抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，则以 ， 为邻边的平行四边形面积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)若曲线 关于直线 对称，求 以及 的值域.
16. (15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， .
(1)若 是棱 的中点，证明: 面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15 分)
已知函数 .
(1)讨论 在其定义域上的单调性；
(2)当 时，若 ，求实数 的取值范围.
18. (17 分)
小明拥有 1 个电动玩具, 厂家配备了一个装电池的盒子, 内装满原装 4 块电池, 其中 2 块为可充电电池, 2 块为一次性电池. 为了保证随时可玩耍, 小明又购买了 2 块可充电电池备用. 他每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出 1 块使用，若为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充 1 块可充电电池装入盒中；若为可充电电池, 则使用完毕后充电, 并放入盒中以备下次使用.
(1)记第 次使用后一次性电池剩余的块数为 ，求 的数学期望；
(2)记第 次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为 .
(i) 求 ;
(ii) 分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大.
19. (17 分)
已知 为坐标原点，椭圆 的右焦点为 ，短轴长为 2 .
(1)求 的离心率；
( 2 )已知 是以 为直径的圆上一点， 是射线 上一点，满足 .
(i) 求点 的轨迹方程;
(ii) 当点 在 轴上方时,过点 作 轴的垂线 ,若 与椭圆 在第一象限内有一个交点 ,直线 与 轴相交于点 ,求证: 的外接圆经过异于 的一个定点.
数学参考答案
一、选择题:
1 2 3 4 5 6 7 8
B C C D A B C A
1 题 ,所以 ;
2 题 ;
3 题由 即 ;
4 题分丁跑第一棒和乙或丙同学跑第一棒, ;
5 题因为 ,所以 为直角三角形,所以 , ;
6 题 ,由 ,要满足 ,则 ,因为 , 所以当 时满足要求;
7 题设曲线 的切点为 ,则由 ,切线方程为 , 故 ,解得 ,所以切线方程为 ,设曲线 的切点为 ,由 ,得 ,即 ,切线方程为 ,化简得 ;
8 题设外接球圆心为 ,平面 截外接球所得圆圆心为 ,由题意正方体外接球的半径 , 平面 截外接球所得圆的半径为 ， 到 的距离为 ，则球缺的高 ， 所以 .
二、选择题:
9 10 11
BC ACD ACD
9 题 ,则有 , 则有 ,所以选 BC.
10 题当 不重合时,设 ,则过 的直线满足 ,点 在直线上,则 ,由 ,所以 点坐标为 ,则有 点的轨迹方程满足 ,即 ,当 重合时, 也满足方程, 正确; 当且仅当 时, 与 相切, 错误; 若点 满足方程 ,则 也满足方程 ,所以曲线 关于直线 对称, 正确; 若点 满足方程 ,则 也满足方程 ,所以曲线 关于点 对称, D 正确.
11 题当 或 时, 是常数列, 正确; 若 是等比数列,则 ,即 , ,因为 是递减数列,所以 ,则 ,同理, , 从而 ,矛盾, 错误; 若 是递增等差数列,则 , ,因为 ,所以 ,同理 ,所以 ,矛盾, 正确; 当 时,令 ,其中 ,则 ,令 ,则 正确.
三、填空题:
12 13 14
5 (任意满足条件的即可)
12 题 ;
13 题 ,则 在 上满足指数函数性质,又 时, ,则 在 上是增函数,可取 ,因为 是偶函数,所以可取 . (任意满足条件的即可)
14 题由题意,设 为交点坐标,则 是 的解,则有 , 则以 为邻边的平行四边形面积 . 令 ,则 ,所以 时, 单调递增, 当 单调递减,所以当 最大,即 有最大值 .
四、解答题:
15.(13分)
解: (1) , 所以最小正周期 ; ...5 分
(2)由题意， ，即 ， ，得 ，
此时 ,符合题意, ...10 分
因为 ,所以 . 即 的值域为 . 13 分
16. (15 分)
解: (1) 设 与 的交点为 ,连接 ,因为 是菱形,所以 ,又 , 所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ； ** 4 分
(2)过 做 ，连接 ，所以 ，又 ，且 ， 所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,
所以 平面 , ...8 分
作 ,则有 平面 ,以 为原点, , 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系, 由题意知, ,所以 , ,则 ,
所有 ,
设平面 的法向量 ,则 ,
取 ，可得平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量 ,则 ,
取 ,可得平面 的一个法向量 , ...12 分
设平面 与平面 夹角为 ,所以 ,
综上,平面 与平面 夹角的余弦值为 . ...15 分
17. (15 分)
解: (1) 的定义域为 求导有 ,
令 ,则 ,
当 时, 在 上单调递增,当 时, 在 上单调递减,所以 ,则有 ,所以 在 单调递减; 分
(2)当 时， 等价于 ，即 ，
令 ,则 ,
①若 ，即 ，则 在 单调递减，所以 满足题意， 分 ②若 ，即 ，令 ，得 ，当 时， ， 在 单调递增,当 时, 在 单调递减,所以 ,令 ,
是减函数,又 ,所以 ,与条件矛盾,
综上,所以 . ...15 分
18.(17分)
解: (1) 的可能取值为0,1,2,所以 ,
,所以 ; ...5 分
(2)(i)记事件 :第一次取到一次性电池，事件 :取到可充电电池，事件 :第二次取到一次性电池， 由条件,假设第 次抽取时,事件 发生,概率 ,第 次抽取时,事件 发生, 概率 ,在事件 前面每次发生事件 的概率为 ,后面每次发生事件 的概率为 ,
则有
抽取次数 1 2 ... ... ... ...
事件 ... ... ... ...
所以 ,
...12 分
(ii) 令 ,即 ,所以 ,
所以第 3 次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大. 17 分
19. (17 分)
解: (1) 由条件知 ,且 ,所以 ,
所以 的离心率 ; ...4 分
(2)(i)以 为直径的圆: ，设 ， ，
由题意设 ①,且有 ②, ③,
将①带入②有 ，即 ④，
① 带入③有 ，即 ⑤，
联立④⑤有 ，即点 的轨迹方程为 ； ...9 分
(ii) 由题意,椭圆方程为 ,
设 的左焦点为 ,
直线 的方程为 ,所以 ,
线段 的垂直平分线方程为 ,此直线与 轴相交于点 ,
的外接圆方程为 ⑥,
将 带入方程⑥，得 ⑦，因为点 在椭圆 上，所以⑦恒成立，
即 四点始终在同一个圆上,故 的外接圆过点 . 17 分

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