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第18章 等腰三角形 章节复习卷 (培优)答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分52分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
A
A
D
D
B
C
B
C
图1
图2
A
A
D
E
A
E
P
B D
C
C
B
C
F
D
B
图1
图2
Q
图3
E
A
D
B
A
E
D
B
C
A
D
F
B
C
E
A
F
E
G
B
C
D第18章 等腰三角形 章节复习卷 (培优)
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C B B C C D
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答．
【解答】解：∵点到三角形三个顶点的距离相等，
∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．（2分）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠BDF＝75°，则∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°．
【解答】解：由条件可知，
∴，
∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键．
3．（2分）如图，已知等腰△ABC的一腰AB长为4厘米，过底边BC上任意一点D作AC、AB的平行线，分别交AB、AC于点E、F，则四边形AEDF的周长为（　　）
A．4厘米 B．8厘米 C．12厘米 D．16厘米
【分析】根据等腰△ABC可得AB＝AC＝4，再由AB∥DF，AC∥DE，可求出BE＝DE，FC＝DF，即可解答．
【解答】解：由条件可知AB＝AC＝4，∠B＝∠C，
∵AB∥DF，AC∥DE，
∴∠B＝∠CDF，∠C＝∠EDB，
∴∠B＝∠BDE，∠C＝∠FDC，
∴BE＝DE，FC＝DF，
∴四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF＝AE+BE+CF+AF＝AB+AC＝8（cm）．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质定理和等腰三角形的性质．熟练掌握以上知识点是关键．
4．（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【分析】根据尺规作图可得OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，再根据SSS定理即可得．
【解答】解：由尺规作图可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，
在△COD和△C'O'D'中，
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
即这两个三角形全等的依据是SSS，
故选：C．
【点评】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
5．（2分）等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（　　）
A．4厘米 B．8厘米
C．4厘米或8厘米 D．不确定
【分析】设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，分别表示出分成的两个三角形的周长，根据周长之差为2厘米，从而得方程，即可求得x．
【解答】解：设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，由题意得：，
即|x﹣6|＝2，
∴x﹣6＝2或x﹣6＝﹣2，
解得x＝8或x＝4，
当x＝8时，该三角形的三边长分别为8厘米，8厘米，6厘米，
∵8+6＞8，
∴此时能构成三角形；
当x＝4时，该三角形的三边长分别为4厘米，4厘米，6厘米，
∵4+4＞6，
∴此时能构成三角形；
综上所述，等腰三角形的腰长为4厘米或8厘米，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形中线的定义，构成三角形的条件，熟练掌握以上知识点是关键．
6．（2分）如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD，可判断①正确；
利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，利用8字形可得∠AGB＝∠ACB＝60°，可判断②正确；
证明△BCF≌△ACH，得BF＝AH，可判断③正确；
由CF＝CH和∠ACH＝60°，根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形，可判断④正确．
【解答】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CE＝CD，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF＝∠CAH．
∵∠BFC＝∠AFG，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，故②正确；
在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF＝CH，BF＝AH；故③正确；
∵CF＝CH，∠ACH＝60°，
∴△CFH是等边三角形；故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　60°或120°　 ．
【分析】分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，则可求得其邻补角为60°；当顶角为锐角时，可求得顶角为60°；可得出答案．
【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°；
当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°；
综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°．
故答案为：60°或120°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等及直角三角形两锐角互余是解题的关键．
8．（3分）已知△ABC是等腰三角形，若AB＝5cm，AC＝3cm，那么△ABC的周长是　13或11　 cm．
【分析】分两种情况讨论：当等腰三角形三边分别为5cm，5cm，3cm时；当三边分别为3cm，3cm，5cm时，然后分别计算对应的三角形的周长．
【解答】解：当AC是底时，三边分别为5cm，5cm，3cm，能构成三角形，
则△ABC的周长为5+5+3＝13（cm）；
当AB是底时，三边分别为3cm，3cm，5cm，能构成三角形，
则△ABC的周长为3+3+5＝11（cm）；
故答案为：13或11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，则BD的长是　4　 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD＝3，再由BD＝BC﹣CD即可得出结论．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，
∴AD＝CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
10．（3分）定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为k．如果△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，那么边BC的高比系数k＝　　 ．
【分析】AD为△ABC的高，由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝30°，BC＝2BD，由30°直角三角形的性质得到AB＝2AD，由勾股定理得到，最后得到边BC的高比系数．
【解答】解：如图，AD为△ABC的高，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴根据等腰三角形的性质得，∠ABC＝∠ACB＝30°，BC＝2BD，
∴AB＝2AD，
∴，
∴，
∴，即边BC的高比系数为．
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　1.8　 ．
【分析】连接AD，AE，根据三角形的中线定义可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，然后利用面积法进行计算即可解答．
【解答】解：连接AD，AE，
∵D为BC中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∵DP⊥AB，EM⊥AB，EN⊥AC，
∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积，
∴2△ABD的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积，
AB DP 2AB EMAC EN，
∵AB＝AC，
∴2DP＝EM+EN，
6＝4.2+EN，
解得：EN＝1.8，
故答案为：1.8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为 　3　 ．
【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．判断出∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，判断出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，
∴BD＝DF＝4，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，平行线段性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等．
13．（3分）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 　②或③　 处剪断．（可多选，填写序号）
【分析】分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可．
【解答】解：分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论如下：
当4为腰时，则底为14﹣2×4＝6，此时能组成三角形，
∴第二次可以在②处剪断，
当4为底时，则腰为，此时能组成三角形，
∴第二次可以在③处剪断，
在①处剪断时，三段的长分别为2、2、10，不能组成三角形，
在④处剪断时，三段的长分别为4、7、3，不能组成三角形，
综上，第二次可以在②或③处剪断，
故答案为：②或③．
【点评】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握该知识点是关键．
14．（3分）在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 　60°　 ．
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD＝DC，根据等边对等角得到∠DAC＝∠C＝35°，根据内角和定理求得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，最后根据角度的和差关系即可得到答案．
【解答】解：由作图可知：MN为线段AC的垂线平分线，
∴AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　7　 ．
【分析】根据角平线的性质和平行线的性质可得∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠NCE，从而可得BM＝EM，NE＝NC，进而得到MN＝ME+NE＝BM+CN＝7．
【解答】解：由条件可知∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NCE＝∠NEC
∴BM＝EM，NE＝NC，
∵BM+CN＝7，
∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，I是三角形三条角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的度数是 　125°　 °．
【分析】连接CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OC，进而得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可解答．
【解答】解：如图，连接CO，
∵∠AOB＝140°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°，
∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°，
∵O是三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCA+∠OCB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴，∠IBA∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA（∠CAB+∠CBA）＝55°，
∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°，
故答案为：125°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
17．（3分）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是30度，那么这个等腰三角形的顶角等于 　60或120　 度．
【分析】分两种情况，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，即可求解．
【解答】解：当等腰三角形的高在三角形的内部时，
如图：AB＝AC，BD是△ABC的高，∠ABD＝30°，
∵BD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣30°＝60°；
当等腰三角形的高在三角形的外部时，
如图：AB＝AC，BH是△ABC的高，∠ABH＝30°，
∵BH是△ABC的高，
∴∠AHB＝90°，
∴∠BAC＝∠ABH+∠AHB＝30°+90°＝120°，
综上所述，这个等腰三角形的顶角等于60°或120°．
故答案为：60或120．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为4cm/s，点N的速度为6cm/s，当点M、N第一次相遇时间时停止运动．设点M、点N的运动时间为t（t＞0）秒，当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时，t的值为 　或或或　 ．
【分析】由题易得0＜t≤6；然后分四种情况讨论：①当线段MN的垂直平分线经过点A时，AM＝AN；②当线段MN的垂直平分线经过点B时，BM＝BN，进而AN＝CM；③当线段MN的垂直平分线经过点C时，CM＝CN，④第一种情况的MN位置互换，分别建立方程求解即可．
【解答】解：由题可知当M和N第一次相遇时，6t﹣12＝4t，
解得t＝6，
即0＜t≤6；
①当线段MN的垂直平分线经过点A时，如图，
此时△AMN为等边三角形，
∴AM＝AN，
∴12﹣6t＝4t，
解得t；
②当线段MN的垂直平分线经过点B时，如图，
此时BM＝BN，
∵∠A＝∠C，AB＝CB，
∴△ABN≌△CBM（SAS），
∴AN＝CM，
即6t﹣12＝12﹣4t，
解得t；
③当线段MN的垂直平分线经过点C时，如图，
此时CN＝CM，
即24﹣6t＝4t﹣12，
解得t；
④当线段MN的垂直平分线经过点A时，
∴CE＝BE，NE＝ME，
∴CN＝BM，
∴24﹣4t＝6t﹣24，
解得t；
综上，t的值为或或或；
故答案为：或或或．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
19．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．
【分析】根据线段垂直平分线求出AE＝BE，推出∠B＝∠EAB，根据已知和三角形内角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B＝90°，求出∠B，即可得出答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∵∠C＝90°，∠CAE＝∠B+30°，
∴∠B+30°+∠B+∠B＝90°，
∴∠B＝20°，
∴∠AEB＝180°﹣20°﹣20°＝140°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是得出关于∠B的方程，题目比较好，难度适中．
20．（5分）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且BE＝ED．
（1）求证：ED∥BC；
（2）当∠A＝70°，∠ADE＝30°时，求∠EDB的度数．
【分析】（1）由BD是∠ABC的平分线可知∠DBC＝∠EBD，由BE＝ED得∠EDB＝∠EBD，等量代换可得到一组内错角相等，则结论可证；
（2）由三角形内角和定理可推出∠AED＝80°，由平行的性质可知∠ABC＝∠AED＝80°，再利用角平分线和平行线的性质，可得∠DBC＝∠EDB＝40°．
【解答】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC＝∠EBD，
∵BE＝ED，
∴∠EDB＝∠EBD（等边对等角），
∴∠EDB＝∠CBD（等量代换），
∴ED∥BC（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：∵∠A＝70°，∠ADE＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵ED∥BC，
∴∠ABC＝∠AED＝80°且∠DBC＝∠EDB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴，
∴∠EDB＝∠DBC＝40°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
21．（6分）已知线段AB＝a、CD＝b如图所示：
（1）请按要求用直尺、圆规完成作图
①画射线OM；
②在射线OM上顺次截取OE＝EF＝a；
③在射线FO上截取FP＝b；
（2）根据（1）中所作图形，可知OP＝　2a﹣b （用含有a、b的代数式表示）．
（3）根据（1）中所作图形，若点P恰为OE的中点，则AB＝　　 CD．
【分析】（1）先作射线OM，以点O为圆心，线段a的长为半径画弧交射线OM于点E，再以点E为圆心，线段a的长为半径画弧交射线OM于点F，最后以点F为圆心，线段b的长为半径画弧交射线FO于点P；
（2）根据线段的和差关系求解即可；
（3）由点P恰为OE的中点得到，然后求解．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由（1）得OP＝OE+EF﹣FP＝a+a﹣b＝2a﹣b，
故答案为：2a﹣b；
（3）若点P恰为OE的中点，
∴2a﹣ba，
∴ab，
∴ABCD，
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，列代数式，正确地作出图形是解题的关键．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
23．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADB＝∠EDF，
∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
24．（10分）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”．
已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上．
（1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”；
（2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数；
（3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 　45°或　 ．
【分析】（1）由等边对等角得到∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，则∠ABC＝∠BDC，再由三角形的外角性质即可求证；
（2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到∠A＝180°﹣2∠C，再由外角性质得到∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C，然后再分类讨论即可；
（3）分两种情况讨论，当∠DBC＝∠BAC时，由三线合一得到AE⊥BC，BE＝CE，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x，可得AE垂直平分BC，则∠DBC＝∠FCB＝2x，然后根据外角性质表示出∠DFC＝∠DCF＝4x再由三角形内角和定理得到∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°；当∠ABD＝∠BAC时，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x，则∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x，由△ABF≌△ACF（SAS），以及等腰三角形性质得到∠DFC＝∠DCF＝2x，在△DFC中由三角形内角和定理建立方程求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABD，
∴∠A＝∠DBC，
∴BD是△ABC的“等角分割线”；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣2∠C，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠BDA＝90°，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BDA＝∠DBC+∠C，
∴∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C，
∵BD是△ABC的“等角分割线”，
∴①∠A＝∠ABD，180°﹣2∠C＝2∠C﹣90°，
解得：∠C＝67.5°；
②∠A＝∠DBC，180°﹣2∠C＝90°﹣∠C，
解得：∠C＝90°（舍去），
综上：∠C＝67.5°；
（3）解：记∠BAC的平分线与BC交于点E，
①当∠DBC＝∠BAC时，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BE＝CE（等腰三角形三线合一），
设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x
∵AE⊥BC，BE＝CE，
∴AE垂直平分BC，
∴FB＝FC，
∴∠DBC＝∠FCB＝2x，
∴∠DFC＝∠FBC+∠FCB＝2x+2x＝4x，
∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF＝4x，
∴∠ACE＝∠DCF+∠FCB＝4x+2x＝6x，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，
∴x+6x+90°＝180°，
解得：，
∴；
②当∠ABD＝∠BAC时，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE（角平分线的定义），
设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x，
∴∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x，
在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝2x，
∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF＝2x，
∵∠FDC+∠DFC+∠DCF＝180°，
∴4x+2x+2x＝180°，
解得：x＝22.5°，
∴∠BAC＝2×22.5°＝45°，
综上：∠BAC的度数为45°或，
故答案为：45°或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点．
25．（12分）【问题提出】
（1）如图1，△ABD、△ACE都是等边三角形，求证：BE＝DC；
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即△ADC≌△ABE．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】
（2）等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，若点D在边BC上，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．求证：CE+CF＝CD；
（3）如图3，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点D是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ最小值为　2　 ．
【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）过点E作EG∥AB，交BC于点G，构造“手拉手”基本图形，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）以CD为边，在BC的下方作等边三角形CDM，连接MQ，构造“手拉手”基本图形，再利用全等三角形的判定与性质求得∠PCD＝∠QMD＝90°，则∠CMQ＝90°﹣∠CMD＝30°，利用垂线段最短的性质可知：当CQ⊥MQ时，CQ取得最小值CM2．
【解答】（1）证明：∵△ABD、△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB．AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝DC．
（2）证明：过点E作EG∥AB，交BC于点G，如图，
∵△ABC、△DEF都是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AC＝BC，∠DEF＝∠EDF＝60°，ED＝EF，
∵EG∥AB，
∴∠GEC＝∠A＝60°EGC＝∠B＝60°，
∴∠GEC＝∠EGC＝∠ACB＝60°，
∴△CEG为等边三角形，
∴CE＝CG＝EG，
∵∠DEF＝∠GEC＝60°，
∴∠DEG＝∠FEC．
在△DEG和△FEC中，
∴△DEG≌△FEC（SAS），
∴DG＝CF．
∵CD＝DG+CG，
∴CE+CF＝CD．
（3）解：以CD为边，在BC的下方作等边三角形CDM，连接MQ，如图，
∵AC＝BC＝8，点D是BC的中点，
∴CD＝BD＝4．
∵△PSQ、△DCM都是等边三角形，
∴∠PDQ＝∠CMD＝∠CDM＝60°，DP＝DQ，DC＝DM＝CM＝4，
∴∠PDQ﹣∠CDQ＝∠CDM﹣∠CDQ，
∴∠PDC＝∠QDM，
在△PDC和△QDM中，
，
∴△PDC≌△QDM（SAS），
∴∠PCD＝∠QMD＝90°，
∴∠CMQ＝90°﹣∠CMD＝30°．
∴当CQ⊥MQ时，CQ取得最小值CM2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形大排档与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法构造“手拉手”基本图形，并熟练运用是解题的关键．第18章 等腰三角形 章节复习卷 (培优)答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分52分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
A
A
D
D
B
C
B
C
图1
图2
A
A
D
E
A
E
P
B D
C
C
B
C
F
D
B
图1
图2
Q
图3
E
A
D
B
A
E
D
B
C
A
D
F
B
C
E
A
F
E
G
B
C
D本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
绝密★启用前
第18章 等腰三角形 章节复习卷 (培优)
2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册
考试范围：18.1~18.4等腰三角形；考试时间：100分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
2．（2分）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3．（2分）如图，已知等腰△ABC的一腰AB长为4厘米，过底边BC上任意一点D作AC、AB的平行线，分别交AB、AC于点E、F，则四边形AEDF的周长为（　　）
A．4厘米 B．8厘米 C．12厘米 D．16厘米
4．（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
5．（2分）等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（　　）
A．4厘米 B．8厘米
C．4厘米或8厘米 D．不确定
6．（2分）如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　 　 ．
8．（3分）已知△ABC是等腰三角形，若AB＝5cm，AC＝3cm，那么△ABC的周长是　 　 cm．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，则BD的长是　 　 ．
10．（3分）定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为k．如果△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，那么边BC的高比系数k＝　 　 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　 　 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为 　 　 ．
13．（3分）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 　 　 处剪断．（可多选，填写序号）
14．（3分）在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 　 　 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　 　 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，I是三角形三条角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的度数是 　 　 °．
17．（3分）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是30度，那么这个等腰三角形的顶角等于 　 　 度．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为4cm/s，点N的速度为6cm/s，当点M、N第一次相遇时间时停止运动．设点M、点N的运动时间为t（t＞0）秒，当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时，t的值为 　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分52分）
19．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．
20．（5分）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且BE＝ED．
（1）求证：ED∥BC；
（2）当∠A＝70°，∠ADE＝30°时，求∠EDB的度数．
21．（6分）已知线段AB＝a、CD＝b如图所示：
（1）请按要求用直尺、圆规完成作图
①画射线OM；
②在射线OM上顺次截取OE＝EF＝a；
③在射线FO上截取FP＝b；
（2）根据（1）中所作图形，可知OP＝　 　 （用含有a、b的代数式表示）．
（3）根据（1）中所作图形，若点P恰为OE的中点，则AB＝　 　 CD．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
23．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
24．（10分）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”．
已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上．
（1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”；
（2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数；
（3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 　 　 ．
25．（12分）【问题提出】
（1）如图1，△ABD、△ACE都是等边三角形，求证：BE＝DC；
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即△ADC≌△ABE．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】
（2）等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，若点D在边BC上，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．求证：CE+CF＝CD；
（3）如图3，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点D是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ最小值为　 　 ．
第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页
第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
绝密★启用前
第18章 等腰三角形 章节复习卷 (培优)
2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册
考试范围：18.1~18.4等腰三角形；考试时间：100分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
2．（2分）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3．（2分）如图，已知等腰△ABC的一腰AB长为4厘米，过底边BC上任意一点D作AC、AB的平行线，分别交AB、AC于点E、F，则四边形AEDF的周长为（　　）
A．4厘米 B．8厘米 C．12厘米 D．16厘米
4．（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
5．（2分）等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（　　）
A．4厘米 B．8厘米
C．4厘米或8厘米 D．不确定
6．（2分）如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　 　 ．
8．（3分）已知△ABC是等腰三角形，若AB＝5cm，AC＝3cm，那么△ABC的周长是　 　 cm．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，则BD的长是　 　 ．
10．（3分）定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为k．如果△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，那么边BC的高比系数k＝　 　 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　 　 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为 　 　 ．
13．（3分）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 　 　 处剪断．（可多选，填写序号）
14．（3分）在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 　 　 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　 　 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，I是三角形三条角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的度数是 　 　 °．
17．（3分）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是30度，那么这个等腰三角形的顶角等于 　 　 度．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为4cm/s，点N的速度为6cm/s，当点M、N第一次相遇时间时停止运动．设点M、点N的运动时间为t（t＞0）秒，当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时，t的值为 　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分52分）
19．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．
20．（5分）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且BE＝ED．
（1）求证：ED∥BC；
（2）当∠A＝70°，∠ADE＝30°时，求∠EDB的度数．
21．（6分）已知线段AB＝a、CD＝b如图所示：
（1）请按要求用直尺、圆规完成作图
①画射线OM；
②在射线OM上顺次截取OE＝EF＝a；
③在射线FO上截取FP＝b；
（2）根据（1）中所作图形，可知OP＝　 　 （用含有a、b的代数式表示）．
（3）根据（1）中所作图形，若点P恰为OE的中点，则AB＝　 　 CD．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
23．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
24．（10分）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”．
已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上．
（1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”；
（2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数；
（3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 　 　 ．
25．（12分）【问题提出】
（1）如图1，△ABD、△ACE都是等边三角形，求证：BE＝DC；
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即△ADC≌△ABE．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】
（2）等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，若点D在边BC上，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．求证：CE+CF＝CD；
（3）如图3，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点D是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ最小值为　 　 ．

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