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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第七章 统计与概率
7.2 概率
1．能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率．
2．知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．
1．随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为________．现实生活中的事件有必然事件、不可能事件和________．必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率在________之间．
2．概率的定义与计算
（1）定义：对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为．
（2）概率计算：如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率．
（3）用列表法或画树状图法求概率：
概率的理论计算方法有：①树状图法；②列表法．用这两种方法求概率时务必使各种情况出现的可能性相等．
（4）概率的应用：
①用计算概率来评判游戏是否公平．
③评判哪种方式更合算．
3．用频率估计概率
在次重复试验中，如果事件发生的次数为，当越来越大时，频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫作事件的概率，记为．在大量重复试验中，事件出现的频率为，我们可以估计事件发生的概率大约为，即．
4．方法技巧
（1）列举法求概率的方法选择
①当所有可能的结果较多且杂乱时，用列表格的方法能清晰全面地列出各种可能的结果，且所有结果有规律排列，易于找出某个事件中包含的所有可能性．
②列举法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目．
（2）树状图法列举求概率
①当事件涉及三个或三个以上元素时，用列表法不易列举出所有可能，用树状图可以依次排列组合列出所有可能的结果，再分别找出某个事件中包含的所有可能的结果，从而求出概率．
②用树状图列举时应注意同时取出还是取出后放回再抽取，两种方法不一样．
■考点一 事件与概率
◇典例1：（2025·青海西宁·中考）下列说法正确的是（ ）
A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件
C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖
◆变式训练
1．（2026·湖南长沙·二模）小玉参加“阖家闹元宵，讲成语故事”活动，从卡片背面分别写着“老马识途”“守株待兔”“走马观花”“画龙点睛”的4张卡片中随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有“马”字的概率是_____．
2．（2026·安徽亳州·一模）如图，在等腰中，，，以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点，交于点，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
■考点二 概率的计算
◇典例2：（2025·山东潍坊·中考）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2026·山西太原·一模）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，的三件物品中，随机选取两件分别放置在两个托盘上，则天平恢复平衡的概率为___________．
2．（2026·山东聊城·一模）2025年12月，我国首个深远海风光同场漂浮式光伏项目在海南建成，标志着我国海上可再生能源开发取得新突破．为增强青少年环保意识与科技创新兴趣，某校举办了“清洁能源与可持续发展”知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析．
七年级：64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；
八年级：62，70，79，83，85，87，87，90，97，100．
统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 86 c
八年级 84 86 b 118.6
(1)上述表格中，________，________，________；
(2)若该校七年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中七年级学生成绩超过90分的人数；
(3)若从本次知识竞赛成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加市级比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是八年级学生的概率．
A 基础达标练
1．（2025·海南·中考）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
A．出现点数为6的概率是
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件
D．出现点数为奇数是不可能事件
2．（2025·山东东营·中考）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
a b c d
a
b
c
d
3．（2026·河南周口·一模）端午佳节，妈妈为小明准备了豆沙粽2个、红枣粽2个、腊肉粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取2个粽子，恰好都是甜粽的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026·广东广州·一模）如图，一个小球从A点沿指定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等的结果，小球最终到达H点的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·山东滨州·一模）甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D．一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率
6．（2025·四川雅安·中考）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______．
7．（2026·河南开封·模拟预测）如图为高铁上相邻的三个座位．甲、乙、丙三人随机就坐，那么甲、乙两人座位不相邻的概率是______．
8．（2026·甘肃兰州·一模）研究发现，生物的性状是由基因决定的，如豌豆豆荚的性状（饱满或褶皱）是由一对等位基因和决定的，这对基因一个来自父本，一个来自母本，当基因组成为时豌豆豆荚的性状是褶皱；其余基因组成时豌豆豆荚的性状是饱满，假设父本与母本的基因组成都是，它们的两个等位基因和会等可能地遗传给其子代，则子代的豆荚性状是褶皱的概率是______________．
9．（2026·安徽安庆·一模）2026年央视春晚，宇树科技、松延动力等企业的机器人惊艳亮相某校生物兴趣小组想研究仿生学在机器人设计中的应用，收集了四款机器人模型：A．宇树人形机器人（属于仿生机器人）、B．松延动力机器人（属于仿生机器人）、C．工业机械臂（属于工业机器人）、D．物流分拣机器人（属于服务机器人），该小组从四款模型中随机选取两款进行研究，则选中的两款模型都属于仿生机器人的概率为____________．
10．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____．
B 强化提升练
11．（2025·四川雅安·中考）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图．
请你根据图中的信息解答下列问题：
(1)求该班此次调查的学生人数；
(2)求的值，并补全条形统计图；
(3)开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率．
12．（2026·四川成都·二模）某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与且只做一件家务．九（1）班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)九（1）班学生共有 人；在扇形统计图中，“洗衣”对应的扇形圆心角度数为 ；
(2)若该校共有初中学生1500人，请估计该校初中学生中参与“做饭”的人数；
(3)九（1）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
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2026年中考一轮复习
7.2 概率
统计与概率
第7章
“—”
1．能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率．
2．知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．
1．随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为________．现实生活中的事件有必然事件、不可能事件和________．必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率在________之间．
随机事件
随机事件
0～1
2．概率的定义与计算
（1）定义：对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为．
（2）概率计算：如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率．
（3）用列表法或画树状图法求概率：
概率的理论计算方法有：①树状图法；②列表法．用这两种方法求概率时务必使各种情况出现的可能性相等．
（4）概率的应用：
①用计算概率来评判游戏是否公平．
③评判哪种方式更合算．
3．用频率估计概率
在次重复试验中，如果事件发生的次数为，当越来越大时，频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫作事件的概率，记为．在大量重复试验中，事件出现的频率为，我们可以估计事件发生的概率大约为，即．
4．方法技巧
（1）列举法求概率的方法选择
①当所有可能的结果较多且杂乱时，用列表格的方法能清晰全面地列出各种可能的结果，且所有结果有规律排列，易于找出某个事件中包含的所有可能性．
②列举法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目．
（2）树状图法列举求概率
①当事件涉及三个或三个以上元素时，用列表法不易列举出所有可能，用树状图可以依次排列组合列出所有可能的结果，再分别找出某个事件中包含的所有可能的结果，从而求出概率．
②用树状图列举时应注意同时取出还是取出后放回再抽取，两种方法不一样．
B
B
C
A 基础达标练
A
D
C
C
D
B 强化提升练
35
Thanks!
2
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第七章 统计与概率
7.2 概率
1．能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率．
2．知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．
1．随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．现实生活中的事件有必然事件、不可能事件和随机事件．必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率在0～1之间．
2．概率的定义与计算
（1）定义：对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为．
（2）概率计算：如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率．
（3）用列表法或画树状图法求概率：
概率的理论计算方法有：①树状图法；②列表法．用这两种方法求概率时务必使各种情况出现的可能性相等．
（4）概率的应用：
①用计算概率来评判游戏是否公平．
③评判哪种方式更合算．
3．用频率估计概率
在次重复试验中，如果事件发生的次数为，当越来越大时，频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫作事件的概率，记为．在大量重复试验中，事件出现的频率为，我们可以估计事件发生的概率大约为，即．
4．方法技巧
（1）列举法求概率的方法选择
①当所有可能的结果较多且杂乱时，用列表格的方法能清晰全面地列出各种可能的结果，且所有结果有规律排列，易于找出某个事件中包含的所有可能性．
②列举法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目．
（2）树状图法列举求概率
①当事件涉及三个或三个以上元素时，用列表法不易列举出所有可能，用树状图可以依次排列组合列出所有可能的结果，再分别找出某个事件中包含的所有可能的结果，从而求出概率．
②用树状图列举时应注意同时取出还是取出后放回再抽取，两种方法不一样．
■考点一 事件与概率
◇典例1：（2025·青海西宁·中考）下列说法正确的是（ ）
A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件
C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖
【答案】B
【分析】本题考查了事件的概率，随机事件的分类，方差等知识的综合运用，理解概率，事件分类，方差的概念是解题的关键．
根据概率，事件的分类，方差的概念，逐一分析即可求解．
【详解】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意；
B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意；
C、∵，
∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ；
D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意；
故选：B ．
◆变式训练
1．（2026·湖南长沙·二模）小玉参加“阖家闹元宵，讲成语故事”活动，从卡片背面分别写着“老马识途”“守株待兔”“走马观花”“画龙点睛”的4张卡片中随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有“马”字的概率是_____．
【答案】
【分析】确定所有等可能的结果总数，再找出符合成语含有“马”字条件的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意，从4张卡片中随机抽取1张，所有等可能的结果总数为，
其中成语含有“马”字的结果有种，分别为“老马识途”和“走马观花”，
∴该卡片背面的成语含有“马”字的概率是．
2．（2026·安徽亳州·一模）如图，在等腰中，，，以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点，交于点，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，利用勾股定理可求得的长，根据切线的性质可得，利用等腰三角形三线合一结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长，从而可求得，，最后根据求解即可．
【详解】解：在等腰中，，，
，
如图，连接，
以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点，
，
是等腰直角三角形，
点是的中点，
，
，，
小球停在图中阴影部分的概率是．
■考点二 概率的计算
◇典例2：（2025·山东潍坊·中考）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键．
【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种，
∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，
∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是，
故选：．
◆变式训练
1．（2026·山西太原·一模）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，的三件物品中，随机选取两件分别放置在两个托盘上，则天平恢复平衡的概率为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了列表法求概率，
先列表得出所有可能出现的结果，再根据概率公式得出答案．
【详解】解：列表如下：
一共有6种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中能恢复平衡的结果有和，共2种，
∴天平恢复平衡的概率是．
故答案为：．
2．（2026·山东聊城·一模）2025年12月，我国首个深远海风光同场漂浮式光伏项目在海南建成，标志着我国海上可再生能源开发取得新突破．为增强青少年环保意识与科技创新兴趣，某校举办了“清洁能源与可持续发展”知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析．
七年级：64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；
八年级：62，70，79，83，85，87，87，90，97，100．
统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 86 c
八年级 84 86 b 118.6
(1)上述表格中，________，________，________；
(2)若该校七年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中七年级学生成绩超过90分的人数；
(3)若从本次知识竞赛成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加市级比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是八年级学生的概率．
【答案】(1)85，87，95.2
(2)240人
(3)
【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解即可；
（2）用800乘以七年级学生成绩超过90分的人数所占的比例即可；
（3）七年级95分以上学生有2人，分别记为，，八年级95分以上学生有2人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵七年级10名学生的成绩从小到大排列后排在第5和第6位的数分别是84和86，
∴，
∵八年级10名学生的成绩中出现次数最多的是87，出现了2次，
∴，
；
（2）解：人；
（3）解：七年级95分以上学生有2人，分别记为，，八年级95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下：
总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是八年级学生的结果有2种，
∴P（所选两名学生恰好都是八年级学生）．
A 基础达标练
1．（2025·海南·中考）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
A．出现点数为6的概率是
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件
D．出现点数为奇数是不可能事件
【答案】A
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A．出现点数为6的概率是，正确，符合题意；
B．出现点数为0是不可能事件；
C．出现点数为偶数是随机事件；
D．出现点数为奇数是随机事件；
故选A．
2．（2025·山东东营·中考）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列表法求概率，通过列举所有可能的抽取结果，再找出两人抽到卡片图案相同的结果，最后根据概率公式计算出相应概率．
【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下：
a b c d
a
b
c
d
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种，
∴所求概率为，
故选：D．
3．（2026·河南周口·一模）端午佳节，妈妈为小明准备了豆沙粽2个、红枣粽2个、腊肉粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取2个粽子，恰好都是甜粽的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列表得到所有等可能性的结果数，再确定恰好选中两个甜粽的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】解：由题意得，甜粽一共有个，不是甜粽有2个，
用A、B、C、D分别表示4个甜粽，E、F分别表示两个非甜粽，列表如下：
由表格可知，一共有30种等可能性的结果数，其中小明任意选取2个粽子，恰好都是甜粽的结果数有12种，
∴小明任意选取2个粽子，恰好都是甜粽的概率为．
4．（2026·广东广州·一模）如图，一个小球从A点沿指定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等的结果，小球最终到达H点的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把题中图形看作树状图，则可得到有4种等可能的结果，小球最终到达H点的结果数为1，于是根据概率公式可计算出小球最终到达H点的概率．
【详解】解：共有4种等可能的结果，其中小球最终到达H点的结果数为1，
所以小球最终到达H点的概率．
5．（2026·山东滨州·一模）甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D．一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率
【答案】D
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
【详解】解：由图可得该试验的概率在之间
对于A，骰子上共有6个数，出现6点的概率为 ，故A选项错误；
对于B，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故B选项错误；
对于C，任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故C选项错误；
对于D，摸到黄球的概率为 ，故D选项正确.
6．（2025·四川雅安·中考）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______．
【答案】/度
【分析】用360度乘以落在一等奖区域的概率即可得到答案．
【详解】解：，
∴一等奖区域所对的圆心角度数为．
7．（2026·河南开封·模拟预测）如图为高铁上相邻的三个座位．甲、乙、丙三人随机就坐，那么甲、乙两人座位不相邻的概率是______．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图，列举出所有等可能情况，再选出符合题意的结果数，进而求得概率．
【详解】依据题意画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中甲、乙两人座位不相邻的结果数为2，
∴甲、乙两人座位不相邻的概率为．
8．（2026·甘肃兰州·一模）研究发现，生物的性状是由基因决定的，如豌豆豆荚的性状（饱满或褶皱）是由一对等位基因和决定的，这对基因一个来自父本，一个来自母本，当基因组成为时豌豆豆荚的性状是褶皱；其余基因组成时豌豆豆荚的性状是饱满，假设父本与母本的基因组成都是，它们的两个等位基因和会等可能地遗传给其子代，则子代的豆荚性状是褶皱的概率是______________．
【答案】/0.25
【分析】先列举出父本与母本遗传基因的所有等可能结果，再确定子代基因组成为，即豆荚性状为褶皱的结果数量，根据概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意，父本可遗传的基因为和，母本可遗传的基因为和，列举所有等可能的基因组合如下：，，，，共有种等可能的结果，其中子代豆荚性状为褶皱，即基因组成为的结果有种，
∴子代豆荚性状是褶皱的概率为．
9．（2026·安徽安庆·一模）2026年央视春晚，宇树科技、松延动力等企业的机器人惊艳亮相某校生物兴趣小组想研究仿生学在机器人设计中的应用，收集了四款机器人模型：A．宇树人形机器人（属于仿生机器人）、B．松延动力机器人（属于仿生机器人）、C．工业机械臂（属于工业机器人）、D．物流分拣机器人（属于服务机器人），该小组从四款模型中随机选取两款进行研究，则选中的两款模型都属于仿生机器人的概率为____________．
【答案】
【分析】先求出从四款机器人中随机选两款的所有等可能结果数，再得到选中两款均为仿生机器人的结果数，根据概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意，四款机器人中仿生机器人共有款，分别是、．
利用列举法列出所有等可能的选取结果如下：
，
共有种等可能的结果，其中选中的两款都属于仿生机器人的结果有种，
根据概率公式可得：．
10．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____．
【答案】
【分析】本题考查几何概率，三角形中位线定理以及中点四边形的性质．根据中点四边形的性质以及三角形中位线定理得出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的中位线，
∴，，
∴，
同理，
∴，
同理，
∴，
∴，
同理，，
∴飞镖命中阴影区域的概率为．
故答案为：．
B 强化提升练
11．（2025·四川雅安·中考）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图．
请你根据图中的信息解答下列问题：
(1)求该班此次调查的学生人数；
(2)求的值，并补全条形统计图；
(3)开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率．
【答案】(1)该班此次调查的学生人；
(2)
，见解析；
(3)恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为：
【分析】（1）根据非遗传承人的人数和占比求解即可；
（2）根据（1）求出的总学生和今天我当家的人数求出，再求出选择“运动打卡师”假期实践作业的人数，进而补全条形统计图即可；
（3）根据题意，用树状图法列出所有等可能结果，进而计算概率即可．
【详解】（1）解：（人），
答：该班此次调查的学生人；
（2）解：∵，
∴，
选择“运动打卡师”假期实践作业的人数为（人），
补全条形图如下：
（3）解：把“甲、乙、丙、丁”分别记为，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好选到“甲”和“乙”两位同学的结果有种，
∴恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为：．
12．（2026·四川成都·二模）某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与且只做一件家务．九（1）班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)九（1）班学生共有 人；在扇形统计图中，“洗衣”对应的扇形圆心角度数为 ；
(2)若该校共有初中学生1500人，请估计该校初中学生中参与“做饭”的人数；
(3)九（1）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
【答案】(1)，
(2)人
(3)
【分析】（1）用条形统计图中“刷碗”的人数除以扇形统计图中“刷碗”的百分比可得九（1）班学生人数；用乘以“洗衣”的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数；
（2）先求出九（1）班参与“做饭”的人数，根据用样本估计总体，用乘以“做饭”的人数所占的百分比，即可得解；
（3）画树状图表示所有等可能的结果，得到总结果数和所选同学中有男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：九（1）班学生共有（人），
扇形统计图中，“洗衣”对应扇形的圆心角度数为；
（2）解：九（1）班参与“做饭”的人数为（人），
（人）；
答：估计该校初中学生中参与“做饭”的人数约有人；
（3）解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中所选同学中有男生的结果有种，
所选同学中有男生的概率为．
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