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2025-2026学年砺成中学九年级下学期返校考试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．的相反数是（　　）
A． B．5 C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．打开电视机，它正在播广告
C．购买一张彩票，中奖 D．从只装有红球的布袋中，任意摸出一个球，恰是白球
6．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．某校九年级有11名同学参加“庆祝二十大”党知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
8．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，PQ、PB、QC是⊙O的切线，切点分别为A、B、C，点D在上，若∠D＝100°，则∠P与∠Q的度数之和是（ ）
A．160° B．140° C．120° D．100°
10．已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题4分，共24分）
11．
12．某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击次，计算他们的平均成绩及方差如表所示：射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______ ．
甲 乙 丙
环
13．如图，小明和小红在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点．支柱高．当小明的一端着地时，小红到地面的高度为______m．
14．若是方程的两个实数根，则的值为______．
15．如图，、是第二象限内双曲线上的点，、两点的横坐标分别是、，线段的延长线交轴于点，若，则的值为______．

16．如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是______．
三、解答题(共86分）
17．（8分）
18．（8分）解不等式组，并在数轴上表示其解集。
19．（8分）如图，在△ABC和中，与交于点E，且．证明：．

20．（8分）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）2026年春节档电影票房火爆，电影《飞驰人生3》、《镖人》、《熊猫计划》深受观众喜爱．甲、乙两人从这三部电影中任意选择一部观看．
(1)甲选择《飞驰人生3》的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两人选择同一部电影的概率．
22．（8分）如图，与的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，，CE是的直径．
（1）求证：AB是的切线；
（2）若求AC的长．
23．（10分）已知a，b，c均为正数，满足如下三个条件：
①，②，③．
(1)小明探究发现结论：，
证明如下：由①②，得④
由④③，得．
小红探究发现结论：，
证明如下：由①②，得④，
请你将小红的证明过程补充完整；
(2)请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出a和c的值．
24．（12分）已知：如图，在中，，将绕点逆时针旋转一个角度得到，连接．
(1)如图①，当时，求证：；
(2)如图②，当时，点在的延长线上，延长交于点，求的度数；
(3)如图③，当时，延长交于点，求证：点是线段的中点．
25．（14分）如图1，抛物线交轴于、，交轴于，是第一象限内抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，相交于点，令，当的值最大时，求点的坐标；
(3)如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，直线、分别与对称轴交于点、，与的面积分别为、．设点的横坐标为，当时，的值是否变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由
2025-2026学年砺成中学九年级下学期返校考试卷
数学答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B B D C A D A C
10．C
【详解】解：∵二次函数的图像经过，，
∴对称轴x=，即x=，
∵对称轴x=b，
∴=b，化简得c=b-1，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△=
=
=
=
∴b=2，c=1，
∴b+c=3，
故选：C．
二．填空题
11．
12．丙
13．1
14．
15．
16．
【详解】解：如图，在上分别截取，使，连接，则四边形是正方形，以与的交点为圆心，以长为半径作圆，则圆为正方形的外接圆．
，，
是等腰直角三角形，，
在中，所对圆周角均等于，，
则所有符合条件的点P形成的区域为矩形中空白部分，
矩形中空白部分的面积为，
，，，，
，
故答案为：．
17．【详解】解：原式＝3++2﹣
＝3++2﹣
＝5；
18．【详解】解：
由①得，x＞﹣1，由②得，x≤1，
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤1．
在数轴上表示为：
．
19．【详解】证明：∵，
∴在和中，
，
∴，
∴．
20．，
【详解】解：
，
当时，原式．
21．【详解】（1）解：由题意可知：
甲选择《飞驰人生3》的概率是，
故答案为：；
（2）解：A表示《飞驰人生3》、B表示《镖人》、C表示《熊猫计划》，
画树状图如下：
共由9种等可能的结果，其中，甲、乙两人选择同一部电影的结果有3种，
∴甲、乙两人选择同一部电影的概率为：．
22．【详解】证明：连接OD、CD，
∵CE是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴OA垂直平分CD，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵AC是切线，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵OD是半径，
∴AB是的切线；
（2）解：∵BD是切线，易证△BED∽△BDC，
∴，
设，∵
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∵AD、AC是的切线，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故AC的长为6．
23．【详解】（1）证明：由①②，得④，
由，得，
∴
∴，
又∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，即，
解得：或（舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意．
24．【详解】（1）证明：将绕点逆时针旋转一个角度得到，
根据旋转的性质得，，，，
，
（2）解：在中，，，
，
由旋转性质得，，，
，，
与互为对顶角，
（3）
证明：过点E作于点M，过点C作，交的延长线于点N，
由旋转的性质可知，， ，
，，，
，
，
，
，，
，
，
即点是线段的中点．
25．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：．
（2）解：如图，过点作轴，交的延长线于点，过点作轴交于点．则，
当时，，
∴，
设直线解析式为，
把、代入得，
，
解得，，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
，
，
∴，
∴当最大时，最大，
设，则，
∴，
当时，最大，即最大，
∴，
∴；
（3）解：为定值，理由如下：
如图，过点作轴交轴于点．
∵，，对称轴是直线，
∴，
设，
则，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴

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