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8.2特殊的平行四边形中的最值模型----将军饮马、遛马、造桥模型
一、单选题
1．如图，正方形中，，点为线段上一点，且，点为上的任意一点，则的最小值为（　　）
A．5 B． C．7 D．4
2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，点是边的中点，连接，．若，，则最小值为（ ）
A．5 B． C．10 D．
3．在菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．2 D．10
二、填空题
7．如图，在菱形中，，，连接，点为上的动点，连接并延长至点，使得，连接，则 BCH周长的最小值为 ．
8．如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，．

（1）的长为 ；（2）的最小值为 ．
9．如图，在正方形中，边长，点为边的中点，连接对角线，在上截取线段，使，连接，，则的最小值为 ．
10．如图，四边形是矩形，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，，点M，N分别是，的中点，连接，，，点E在边上，则 ，P在运动过程中，，则的最小值是 ．
11．如图，矩形中，，，点E、F分别是、上的动点，，则的最小值是 ．
12．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为 ．
13．如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ．
14．如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为 ．

三、解答题
15．在平行四边形中，连接，若，点为边上一点，连接，交于点．如图，若，，点在边上，，且平分，线段（点在点的左侧）在线段上运动，且，连接，，请直接写出的最小值．
16．如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，求DE+BF最小值.
17.如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，求的最小值.
18.【综合实践活动】
【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？
【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：
如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小．
画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求．
证明：和关于直线对称 直线垂直平分
________，
根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点．
【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）．
【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．
参考答案
一、单选题
1．A
解：如图，作点P关于的对称点，连接， 则的长即为的最小值，
，，
，则的最小值为5，故选：A
2．A
解：连接交于，连接．
∵四边形是菱形，，
∴垂直平分，∴，∴此时最小，最小值为，
∵，∴是等边三角形，∴，即最小值为5，故选：A．
3．B
过作于交于点，过作于点，则此时的P、E满足最小，
∵四边形是菱形，∴且、互相平分，平分，∴，
∵垂线段最短，∴，即的最小值为线段的长度，
∵，，∴，，∴，
∴，∴菱形的面积为：，
∴，∴，∴的最小值为．故选：B．
4．A
解：依题意，可知四边形是平行四边形，延长至点P使得，过点G作垂线，垂足为点Q，连接，当时最小，
∵，，∴，，
∴．故选：A．
5．A
解：六边形为正六边形，点B关于直线的对称点为点F，
如图，连接交于点P，连，，
由“两点之间线段最短”知，此时最小，
六边形为正六边形，和都为等边三角形，
，，，
∴的最小值是10，故选：A．
6．B
解：∵四边形是正方形，∴，
又∵，∴，∴，
∴，
∵点M是的中点，∴；如图所示，在延长线上截取，连接，

∵，∴，
∴，∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，∴，∴，
在中，由勾股定理得，∴的最小值为5，故选：B．
二、填空题
7．
解：连接并延长至点，使，记与的交点为，连接，连接，连接，过点作直线垂直，则： 直线是线段的垂直平分线，
∵菱形中，∴，，，∴是的中位线，
∴，∴，∴点在直线上，∴，
∵是定长，∴ BCH周长的最小值为，
∴当点在上时， BCH的周长最小，为，
∵在菱形中，，∴，，
∴是等边三角形，∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∴ BCH周长的最小值为，故答案为：．
8．
解：（1）正方形的边长为2，，，
是的中点，，，故答案为：；
（2）过作于，则，，

，，
，，，
将沿方向平移至，连接，则，，，
当、、三点共线时，的值最小，
此时，的最小值为，故答案为：．
9．
解：如图，以为腰在正方形的左侧作等腰直角三角形，取的中点，连接，过点作于点，
∵四边形是正方形，，∴，
∵等腰直角三角形，∴，
∴∴ ∵∴
∴四边形是平行四边形，∴
∴ ∴的最小值为
∵， ∴ ∴，
∵是的中点∴∴，
在中，
∴的最小值为，故答案为：．
10．
解：∵四边形是矩形，，
∴，，，
∵点M，N分别是，的中点，∴，，，，
∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∴，∴的最小值就是的最小值，
找到点C关于直线对称点Q，连接、，，
当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是，
在中，，，，
∴的最小值，故答案为：；．
11．20
解：如图，延长至点，使得，连接，，
∵矩形中，，∴∠B=90 ，，，
∵，∴四边形是矩形，∴，∴，
∵∠B=90 ，，∴，
又∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
即的最小值为20，故答案为：20．
12．4
解：过点P作于点G，交于点F，作于点H，
∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，
∴，，∴四边形是矩形，，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∴平分，∴，∵，，
∴，∴，∵，∴，
∴当与重合且与重合时，取得最小值4，故答案为：4．
13．
解：如图，取的中点，连接，四边形是菱形
在和 APE中
连接 当共线时，最大，图中处
作于
．即的最大值为．
14．2
过点A作的对称点，连接，则，
∴，∴当点，E，F共线时，最小，即最小，
此时，，
在中，，∴，，
∴，∴是等边三角形，
∴，∴，∴，∴，故答案为2．

三、解答题
15．解：如图3中，过点作，交于点，过点作于点，延长到，使得，连接，， ，，
平分，，，，
，，，，，
，，，
，，，，，
，，，四边形是平行四边形，，
，，，，，
，当，，三点共线时的值最小，
，，，
，，，
的最小值为．
16．解：如图，作DMAC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，
∵DM＝EF，DMEF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°
∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，
∵BD⊥AC，DM∥AC，∴BD⊥DM，在Rt△BDM中，BM＝＝
∴DE+BF的最小值为．故答案为．
17.解：在边长为1的菱形中，，，，
将沿射线的方向平移得到，，，
四边形是菱形，，，，，，
四边形是平行四边形，，的最小值的最小值，
点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，
则的长度即为的最小值，在中，，，
，，，，
，，
．故答案为：．
18.，①，；解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短；
解：【迁移应用】如图所示，过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，
∵关于直线对称点，∴，，,
∴，
在△中，由勾股定理得，
∴， 故步行观光路线的最短长度为米．

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