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第8章《 四边形》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在中，已知，，的平分线交于点，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（ ）
A． B． C．5 D．以上都不对
6．两张等宽的纸条按照如图方式交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，下列结论错误的是（ ）
A．四边形是菱形 B．
C．AC⊥BD D．四边形面积
7．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠B=90 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
9．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（ ）
A．1 B．1.5 C．3 D．5
10．如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接，，点G、H分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在中，若，则_______．
12．如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ___________．
第12题 第13题
13．如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若 BCF的面积为，则的面积是___________．
14．如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接EF，给出四种情况：
①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；
③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．正确的有______．
15．如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_______．
16．已知菱形中，，，边，上有点E、点F两动点，始终保持，连接，，取中点G，连接，则的最小值是_____ ．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（本题6分）如下图，在中，，，的平分线交于点．求的长．
18．（本题6分）如下图，的对角线和相交于点，交于点．求证：．
19．（本题8分）如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的度数．
20．（本题8分）如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接．
(1)若点恰好落在上，求的长；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
21．（本题8分）如图，矩形的对角线，相交于点，将 AOB沿直线翻折得到.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则菱形的面积为______．
22．（本题8分）如图，正方形的边长为6，分别是边上的点，且，将绕点顺时针旋转，得到．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
23．（本题8分）如图，在梯形中，，∠B=90 ，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发．
(1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？
(2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？
(3)多少秒后，梯形是等腰梯形？
24．（本题10分）如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形．
(1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称．
(2)如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明．
(3)如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论．
25.（本题10分）在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
(1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若四边形为矩形，求t的值；
(3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．
参考答案
一、选择题
1.B
解：四边形是平行四边形，，
，，
．
平分，
，
，
，
；
故选：B．
2．B
A. ，
添加，
又，
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形；
B. ，
添加，
无法判定，
则无法判定四边形是平行四边形；
C. ，
添加，
∵，
∴，
又，
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形；
D. ，
添加，
可得，
∵，
∴，
∴，且，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得是平行四边形．
故选：B．
3．B
解：∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：B ．
4．D
解：∵四边形为矩形，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
5．A
解：∵菱形的对角线交于点O，
∴，，
∴，
∵是菱形的高，
∴，即：，
∴．
6．D
解：设两张等宽的纸条的宽为h，
纸条的对边平行，
，，
∴四边形是平行四边形，
又
，
四边形是菱形，
，
A选项说法正确，故该选项不符合题意；
B选项说法正确，故该选项不符合题意；
菱形的对角线垂直且互相平分，
，
选项C正确，故该选项不符合题意；
、是菱形的对角线，
四边形ABCD面积，
D选项说法错误，故该选项符合题意；
故选：D．
7．B
解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
8．D
解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
（1）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，
（3）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，
无法判定两角是不是直角，故该选项符合题意；
故选：D．
9．B
解：延长，，相交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵D是的中点，，
∴．
故选：B．
10．C
解：连接并延长交于，连接，
四边形是正方形，
，，，
，分别是边，的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
点是的中点，，
．
故选：C．
二、填空题
11．45
解：∵四边形是平行四边形，
，，且，
（平行四边形邻角互补），
，
又，，
，即，
将代入，
得：，
，
．
12．
解：设与交于点，作于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
四边形是矩形，
，
，
由翻折变换的性质可知，，
，
，
在中，设，则，
由勾股定理得，
解得，即，
，
在中，，，
由得，
，
在中，由勾股定理得，
，
点的坐标为，
故答案为：．
13．
解：如图，连接，
四边形和四边形都是菱形，
，，，，
，，
，
，
，
，
和同底等高，
，
菱形的面积为， BCF的面积为，
，
，
故答案为：．
14．①②③④
解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴ 四边形是正方形，故正确；
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
即的值为定值，故正确；
∵，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，故正确；
∴正确的有，共个，
故答案为：①②③④．
15．27
解：过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接．
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在直角梯形中，
∵，
∴，
∴四边形为正方形．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
又，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：27．
16．
解：如图，过点D作交延长线于点H，延长交于点M，连接，
在菱形中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴当最小时最小，
根据点到直线的距离垂线段最短可知：的最小值即为，
在菱形中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的最小值为9，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
17．解：∵四边形是平行四边形，
，，
∴∠DAE=∠BEA．
平分，
，
，
，
．
18．证明：平行四边形的对角线互相平分，
．
又于点，
，
．
19．（1）证明：在矩形中，，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，
在矩形中，，
∴，
在中，．
20．（1）解： 如下图，
在矩形中，∠B=90 ，，，
，
由折叠得： ，
，，，
，，
设，则 ，，
在 中，由勾股定理得：，
，
解得：
；
（2）是直角三角形，理由如下：
，，
，，
由折叠得： ，，
，
在上，如图所示，
四边形是正方形，
，
是直角三角形．
21．（1）证明：是矩形，
，
沿直线翻折得到，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：是矩形，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
22．（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质，可得，
∴．
∴，
∵，
∴（）．
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴．
由旋转的性质，可得．
∵．
∴，
设，则．
∴，
在中，，
即，
解得．
∴的长为．
23．（1）解：根据题意得：，，则．
∵，
即，
∴当时，四边形为平行四边形，
即，
解得：，
即当运动6秒时，四边形为平行四边形；
（2）解：当时，四边形是直角梯形，
∴，
∴，
即当运动秒时，四边形是直角梯形．
（3）解：过D作于E，
则四边形为矩形，
∴，
∴，
当时，四边形为等腰梯形，如图所示：
过点P作于点F，
则四边形是矩形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
即当运动7秒时，四边形为等腰梯形．
24．（1）解：∵矩形、正方形的对角线相等，
故答案为：矩形；
（2）四边形是中母菱形，
证明：连接，
∵ ， 分别是 ，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是中母菱形；
（3）四边形是中母菱形，
证明：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ 四边形是中母菱形.
25．（1）解：四边形是平行四边形．
理由如下：
由题意得：，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵G，H分别是，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①当时，连接，如图，
由（1）得，，∠B=90 ，
∴四边形是矩形，
∴，
当四边形是矩形时，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，连接，如图，
当四边形是矩形时，
∵，，
∴，
∴，
综上，四边形为矩形时或．
（3）解：连接，，，设与交于，如图，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，即：，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，四边形为菱形．

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