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第8章《四边形》章节复习题
一、选择题
1．已知中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．4.8 D．
6．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（ ）
A． B． C．5 D．以上都不对
7．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（ ）
A．10 B．9 C． D．
9．如图，在复习特殊的平行四边形时，小明画出了下面关系图，并在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．如图，在四边形中，分别是的中点．已知，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题
11．如图，的周长为60，对角线、交于点O，交于点E，则的周长为______．
12．如图，在梯形中，，则_____．
13．如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则_______．
14．如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________．
15．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____．
16．如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______．
三、解答题
17．如图，在四边形中，，，，点从点出发，向以的速度运动，到点即停止．点从点出发，向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为
(1)用含t的代数式表示：_________；___________；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；请说明理由．
18．如图，在 ABC中，为 ABC的中线，为的中点，过点作，交延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，当 ABC满足不同条件时，四边形可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写 ABC应满足的条件，再进行证明．
结论①：当 ABC满足___________时，四边形是矩形；
结论②：当 ABC满足___________时，四边形是菱形．
19．如图，在正方形纸片中，，点E在边上，且，将 ADE沿所在直线折叠，点D的对应点为点F，延长交边于点G，连接．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)求证：．
20．如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形．
(1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称．
(2)如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明．
(3)如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1．A
解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
故选：．
2．D
A.已知，添加条件，则四边形有可能是等腰梯形，不符合题意；
B. 已知可得，故添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意；
C. 已知，添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意；
D. 已知可得,添加条件，则可得，由此可证得，因此可判定四边形为平行四边形，符合题意．
故选D．
3．A
解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵
∴．
在 中，，
∴ 为等腰三角形．
∵
∴．
∴．
故选：A．
4．C
解：如图，连接，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短，
此时，，
，
即最短时，，
的最小值，
故选：C．
5．C
∵矩形中，，，
∴，，，
根据折叠的性质，得，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，，
根据勾股定理，得，
解得，
故．
6．A
解：∵菱形的对角线交于点O，
∴，，
∴，
∵是菱形的高，
∴，即：，
∴．
7．B
解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
8．C
解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示：
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，和都是直角三角形，
在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故选：C．
9．A
解：A、平行四边形的对角相等，但不一定是矩形，故A符合题意；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形又是菱形，得到矩形的四条边相等，因此它是正方形，故C不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形又是矩形，得到菱形的四个角是直角，因此它是正方形，故D不符合题意．
故选：A
10．B
解：∵ ，分别是的中点，
∴ 是 ABC的中位线，
∴ ，．
∵ ，分别是的中点，
∴ 是的中位线．
∴ ，．
取的中点，连接．
∵ 是中点，是中点
∴ （三角形中位线定理）
∴ （两直线平行，同位角相等）
∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∴ ．
∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∴,
∴ ．
结合已知，得 ．
在中，由勾股定理得．
故选：．
二、填空题
11．30
解：且在中，，
为的垂直平分线，
，
，
即的周长为30．
12．11
解：∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
解：如图，连接，
由作图可知，，是的垂直平分线，
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴．
故答案为：
14．
解：取中点，连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点在上时，取得最小值为，
故答案为：．
15．24
解：菱形的对角线，相交于点，
、，
，，
四边形是平行四边形，
∵∠AOB=90 ，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
故答案为：24．
16．
解：∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
取的中点，连接，
，
，
，
，
∵点为的中点，点为线段靠近的四等分点，
，
∴是的中位线，
．
三、解答题
17．（1）解：∵点以的速度运动，点以的速度运动，
∴，，
故答案为：t cm，．
（2）解：∵，
∴，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，解得，
∴当时，四边形是平行四边形；
（3）解：∵，
∴，
∴当时，四边形是平行四边形，
∵，，
∴，解得：，
∴存在，当时，四边形是平行四边形．
18．（1）证明：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∵为 ABC的中线，
∴D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴ 四边形是平行四边形；
（2）解：连接，如图，
①当 ABC满足时，四边形是矩形，理由如下，
∵是中线，且，
∴，即 ，
由（1）知，且，
∵是中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
②当满足时，四边形是菱形，理由如下，
∵ ，是中线，
∴，
由（1）知，且，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
19．（1）证明：∵正方形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，，
又∵，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，
在中，由勾股定理，得：，
解得；
∴；
（3）解：由（2）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．
（1）解：∵矩形、正方形的对角线相等，
故答案为：矩形；
（2）四边形是中母菱形，
证明：连接，
∵ ， 分别是 ，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是中母菱形；
（3）四边形是中母菱形，
证明：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ 四边形是中母菱形.

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