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第八章《四边形》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．5
5．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
6．如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点E为正方形的边上一点，且，连接，取的中点F，连接，若的长为，则正方形的面积为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．20
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（ ）
甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形． 乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．
A．甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是
10．如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．平分
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．如图，在中，平分，，，则的长是______．
12．的对角线相交于点O，当满足____时，四边形是矩形．（只添加一个条件）
13．如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，求的长是 _____．
14．如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________．
三、解答题（共11小题，共78分）
15．（本题6分）如图，在中，分别是的中点，．求的度数．
16．（本题6分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，过点作，、交于点，连接．若，求的长．
17．（本题6分）如图，，过点D作，垂足为M，E在边上，，．求证：．
18．（本题6分）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，．
(1)求证：．
(2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由．
19．（本题6分）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
20．（本题8分）如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若菱形的周长为16，，求的大小．
21．（本题8分）如图，已知菱形，E、F是对角线所在直线上的两点，且，连接．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求菱形的周长．
22．（本题8分）已知：如图，在 ABC中，平分，，垂足为，点是的中点．
(1)求证：；
(2)若，，则 ．
23．（本题8分）如图，是 ABC内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如果，，，求的长．
24．（本题8分）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将 ABC沿着翻折后得到，联结交于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：四边形是等腰梯形．
25．（本题8分）我们定义：在四边形中，一条边上的两个角称为邻角，如果一条边上的邻角相等，且这条边对边上的邻角也相等，则把这样的四边形叫做“完美四边形”
初步运用：在“平行四边形、矩形和菱形”这三种特殊的四边形中，一定是“完美四边形”的是___________．
问题探究：在完美四边形中，，，，，求该完美四边形的周长与面积．
应用拓展：请你类比研究平行四边形及特殊四边形的方法，写出“完美四边形”的其中三条性质．
参考答案
一、选择题
1.A
解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
2．B
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
的周长．
3．B
解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意；
、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意；
、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意；
、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意；
故选：．
4．B
解：∵四边形是矩形，
∴，．
在中，，
∴．
故选：B．
5．B
解：由折叠的性质及矩形的性质可得：，．
在 和 中，
，
．
设 ，则 ．
在 中，
解得：，
，
.
故选：B．
6．B
解：在菱形中，
，，，
，
，
，
．
故选：．
7．C
解：点E为正方形的边上一点，且，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
8．B
解：在矩形中，，
，
，
，
即点F是边的中点，
点是边的中点，
为的中位线，
．
故选：B．
9．A
解：甲中，如图，连接，
∵矩形，
∴，
∴、、、、分别是 ABC、、、的中位线，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，符合要求；
乙中，由折叠可知，，，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，符合要求；
故选：A．
10．D
解：过点分别作的垂线，垂足为点，
∵，
∴，
∵四边形是等腰梯形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明，
故D不符合题意，
故选：D．
二、填空题
11．5
解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
又平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
12．或或或等（答案不唯一）
添加，由对角线相等的平行四边形是矩形可判定是矩形；
添加，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定是矩形（答案不唯一）；
添加，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定是矩形（答案不唯一）；
添加，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定是矩形（答案不唯一）．
故答案为：或或或
13．
解：如图，连接，，
折叠矩形纸片，使点落在点处，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
14．1
解：取的中点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴是的中点．
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，且．
∵，是的中点，
∴，，
∴是的中点．
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．
三、解答题
15．解：四边形是平行四边形，
，．
，分别是，的中点，
，，
，．
四边形是平行四边形．
．
16．解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
∴，
四边形是矩形，
．
17．证明：，
∴，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
18．（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示：
∴，
∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下：
连接，如图所示：
∵四边形是正方形，点为对角线的中点，
∴，，
∴是等腰直角三角形
∵
∴
则
由（1）得
∴
由（1）得，矩形是正方形，
则．
19．（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，，，
，
在中，，
，
，
，
．
20．（1）证明：四边形为平行四边形，
，即 ，
，
∴四边形为平行四边形，
平分，
，
∵，
，
，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，
∵四边形为菱形，
∴，，
，，
，
∵菱形的周长为，
，
在中，
，
由勾股定理可得：，
．
21．（1）证明：连接，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与垂直且互相平分，
∴四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴菱形是正方形；
（2）解：∵菱形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长．
22．（1）解：延长交于，
平分，
，
，
，
在和中
，
，
∴CD=DM，
又点是中点，
是的中位线，
；
（2）解：∵，是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴．
23.（1）证明：，分别是，的中点，
，．
，分别是，的中点，
，，
，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，过点作，交于点．
在中，由，，得，
．
在中，由，，得，
，
．
24．（1）证明：∵梯形是等腰梯形，
∴，
由折叠得，，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由折叠得，
∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，四边形是梯形
∵，
∴,
∴,
∴，
∴四边形是等腰梯形．
25．解：初步运用：在“平行四边形、矩形和菱形”这三种特殊的四边形中，由于矩形的每个内角为直角，“完美四边形”的是矩形．
故答案为矩形；
问题探究：四边形是完美四边形，，，，
， ，
∵，
∴，
，
，四边形是等腰梯形，
，
，
，
，
在中，作于．
则，，
四边形的周长为，面积．
应用拓展：①“完美四边形”有一组对边平行；
②完美四边形”有一组对边相等；
③完美四边形”的对角线相等．

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