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10.1分式的概念
一、单选题
1．下列各式： 中，是分式的共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·月考）根据下列表格信息，y可能是（　　）
x … 0 1 2 …
y … * 无意义 * * 0 …
A． B． C． D．
4．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（ ）
A．辆 B．辆 C．辆 D．辆
5．对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
6．式子，，，，中，分式有_________个
7．（1）＝，括号内应填入_____；
（2）＝，括号内应填入_____．
8．若，则_____ ．
9．已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则_____．
10．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数的值为_______．
三、解答题
11．已知分式，请解决以下问题．
(1)当x取何值时，该分式无意义？
(2)当x为何值时，该分式的值为1？
12．假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：；
根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值．
13．已知，，，，，，
当为大于的奇数时，；
当为大于的偶数时，；
(1)求；（用含的式子表示）
(2)_____；（用含的式子表示）
(3)计算．
14．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：
；
；
(1)请根据以上信息，任写一个真分式；
(2)将分式化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式的值为整数，求的整数值．
15．【教材呈现】
a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以．
【类比分析】
（1）若，且…，求证．
【学以致用】
（2）若x，y，z都不为0，且，求的值．
参考答案
一、单选题
1．A
解： ∵分式的定义是分母中含有字母，
∴检查每个表达式：
：分母是3，是数字，不是分式；
：分母是，是字母，是分式；
：分母是2，是数字，不是分式；
：分母是，是常数，不是字母，不是分式；
：分母是2，是数字，不是分式；
：分母是，含有字母，是分式；
∴ 是分式的有2个；
故选：A.
2．A
解：由题意，，且为正整数，为非负整数，
必为正整数．
为的正因数，可能为，，，，
为非负整数，
可能为，，．
又为正整数，
或或均符合题意，共种可能．
故选：A．
3．B
解：A．当时，分母，不合题意；
B．当时，分母，当时，分子，符合题意；
C．当时，分子，不合题意；
D．当时，分母，不合题意；
故选：B．
4．B
解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为．
故选：B．
5．B
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这列数6个数为一个周期，循环出现，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵ 周期乘积，
，
∴，
∴，故③错误；
∵，，
∴，，
∴，
∵的值为整数，
∴，，，，
∴满足条件的整数共有8个．
又，，即，，，
故满足条件的整数共有6个．故④正确，
故选：B．
二、填空题
6．3
∵ ，中，分母不含字母，
∴不是分式；
∵中，分母中含有字母a,b，
∴是分式；
∵中，分母中含有字母y，
∴是分式；
∵中，分母中含有字母x，
∴是分式；
共有3个，
故答案为：3．
7．
解：（1）；
（2）；
故答案为：，．
8．
解：
原式
．
故答案为：．
9．
解：∵当时，该分式没有意义，
∴，
∴，
∵当时，该分式的值为0，
∴，此时，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
解：
，
∵分式的值为整数，
∴的值为整数，
∴的值为整数，
∵为整数，
∴为整数，
要使的值为整数，则为分子1的约数，
∴或，
解得或 ，
当 时原分式分母为零，无意义，
∴舍去，
当时，此时原分式分母均不为零，且值为整数，
验证：当 时，，为整数，满足题意，
∴整数的值为．
故答案为：．
三、解答题
11．（1）解：当时，分式无意义，
所以时，分式无意义；
（2）由题意得，
解得，
经检验，是原方程的根，
即当时，分式的值为1．
12．解：
∵分式的值为整数，且是整数，
∴必须为整数，即是的整数约数．
的整数约数为，，分情况讨论：
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得.
综上，的整数值为，，，，
答：的整数值为，，，.
13．（1）解：，，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
每个一循环，
，
，
故答案为：；
（3）
，
．
14．（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”
∴分式是真分式，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：
；
（3）解：
=
∵分式的值为整数，x为整数，
∴或，
解得或或或，
∴当或或或时，分式的值为整数．
15．（1）证明：设，则，，…，，
…，
，
；
（2）解：设，则，，，
所以．

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