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11.2一元一次不等式的概念
一、单选题
1．下列数中，能使不等式5+x＞10成立的x的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．下列各数中，能使不等式x+2≥4成立的是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．用不等式表示图中的解集，下列正确的是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
4．无论n取何值，代数式n﹣1的值总是（　　）
A．比1大 B．比1小 C．比n大 D．比n小
5．若有理数a＜0，则a与3a的大小关系是（　　）
A．a＜3a B．a＝3a C．a＞3a D．不能确定
6．用求差法比较大小，就是根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法．若a＞b，m＜n，试比较P＝n+3a与Q＝m+3b的大小关系为（　　）
A．P＜Q B．P＞Q
C．P＝Q D．P与Q的大小不确定
7．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　）
A．1＞2 B．x2＞8 C．2x+y≤6 D．x﹣3＜0
8．下列式子中是一元一次不等式的是（　　）
A． B．x﹣3＝0 C． D．x（x+1）＜0
9．定义一种新运算：a@，下列说法：
①若x@2＝﹣3，则x1＝﹣5，x2＝﹣1；
②若|x﹣2|@2≥0，则该不等式的解集为x≤0或x≥4；
③代数式|[（﹣2）@x]﹣1|+|[（﹣1）@（﹣x）]﹣2|有最小值6；
④若关于x，y的二元一次方程组的解为，则a的值为0或4．
以上结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（　　）
A．2x＜6 B．﹣2x＞﹣6 C．﹣x≤3 D．﹣2x≥﹣6
二、填空题
11．下列不等式：①x2+3＞2x；②﹣3＜0；③x﹣3＞2y；④5π；⑤3y＞﹣3，其中一元一次不等式有 　 　 （填序号）．
12．已知xk﹣2+1＜0是关于x的一元一次不等式，则k的值为　 　 ．
13．写出一个符合不等式2x＞3的x的值：　 　 ．
14．如图，根据数轴所示，关于x的不等式可以表示为 　 　 ．
15．已知（m﹣3）x|m|﹣2﹣2＞6是关于x的一元一次不等式，则m＝　 　．
16．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为x，则a的取值范围是 　 　 ．
17．写出不等式x﹣3＜0的一个正整数解　 　．
三、解答题
18．在，1，3，5，7中，能使不等式x+2＜3成立的值有哪些？
19．已知（b+1）x|b|＜﹣3是关于x的一元一次不等式，求b的值．
20．关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出相应的解集．
（1）
（2）
（3）
21．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x+5＜8； （2）； （3）6x≥2x﹣3．
22．已知代数式x2，4x，10﹣x．
（1）比较x2与4x的大小；
（2）当x2＜4x＜10﹣x时，x的取值范围为　 　 ．
23．阅读材料，解决下列问题．
【阅读材料】
已知x﹣y＝2，且x＞1，求y的取值范围．
解：由x﹣y＝2，得x＝y+2，
∵x＞1，∴y+2＞1，
解得y＞﹣1，∴y的取值范围是y＞﹣1．
【问题探究】
（1）已知x+y＝﹣3，且x＜4，求y的取值范围；
（2）已知x﹣y＝1，且﹣1＜x＜3，求y的取值范围；
（3）已知﹣x+y＝3，且x≤3，y≥0，设a＝x+y﹣3，直接写出a的取值范围．
24．（1）已知x＞y，利用不等式的性质比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小；
（2）若（2m+1）x＞2m+1的解集为x＜1，求m的取值范围．
25．【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如|x|＝|x﹣0|表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x﹣1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式|x﹣1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在﹣1和3之间（包含﹣1和3两个点），这样我们就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集为﹣1≤x≤3．
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
（1）不等式|x|≤6的解集为 　 　．
（2）求不等式|x﹣2|≥3的解集．
（3）求不等式4|x+1|﹣5＜3的解集．
26．已知不等式mx﹣3＞2x+m．
（1）若它的解集是x，求m的取值范围；
（2）若它的解集与不等式2x﹣1＞3﹣x的解集相同，求m的值．
27．在某中学八年级数学社团活动中，老师提出了如下问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数．我们把这个不等式叫作绝对值不等式．求绝对值不等式|x|＜a（a＞0）和|x|＞a（α＞0）的解集．
小江同学的探究过程如下：
先从特殊情况入手，求|x|＞3和|x|＜3的解集．
（1）请将小江的探究过程补充完整；
①确定|x|＞3的解集过程如下：先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于3的所有点所表示的数．在数轴上确定范围如图1，所以，|x|＞3的解集是x＞3或 　 　．
②再来确定|x|＜3的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于3的所有点所表示的数，并在图2数轴上用笔画线标明范围．所以，|x|＜3的解集为：　 　 ．
③经过大量特殊实例的实验，小江得到绝对值不等式|x|＞a（a＞0）的解集为 　 　 ，|x|＜a（a＞0）的解集为 　 　．
参考答案
单选题
1．解：5+x＞10，
x＞10﹣5，
x＞5，
只有选项D符合这个范围，
故选：D．
2．解：能使不等式x+2≥4成立的是得x≥2；
故选：D．
3．解：由数轴知，该数轴表示的是x≥﹣1，
故选：B．
4．解：n﹣1﹣1＝n﹣2，无法判断其与0的大小关系，则A，B不符合题意，
n﹣1﹣n＝﹣1＜0，则代数式n﹣1的值总是比n小，则C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
5．解：A．如0＜3，a＜0，则a＞3a（理由：不等式的两边同时乘一个负数，不等号的方向改变），故选项A错误；
B．如0＜3，a＜0，则a＞3a（理由：不等式的两边同时乘一个负数，不等号的方向改变），故选项B错误；
C．如0＜3，a＜0，则a＞3a（理由：不等式的两边同时乘一个负数，不等号的方向改变），故选项C正确；
D．如0＜3，a＜0，则a＞3a（理由：不等式的两边同时乘一个负数，不等号的方向改变），故选项D错误．
故选：C．
6．解：P﹣Q＝n+3a﹣（m+3b）＝n+3a﹣m﹣3b＝n﹣m+3（a﹣b），
∵a＞b，m＜n，
∴n﹣m+3（a﹣b）＞0，
∴P﹣Q＞0，
∴P＞Q，
故选：B．
7．解：A、该选项不是一元一次不等式，不符合题意；
B、该选项不是一元一次不等式，不符合题意；
C、该选项不是一元一次不等式，不符合题意；
D、该选项是一元一次不等式，符合题意．
故选：D．
8．解：A、，因为是分式，
所以不满足一元一次不等式的定义，不符合题意；
B、x﹣3＝0是等式，不是不等式，不符合题意；
C、，含有一个未知数x，未知数的次数是1，并且是用大于号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，符合题意；
D、x（x+1）＜0，可得x2+x＜0，未知数x的最高次数是2，不是1，不满足一元一次不等式的定义，不符合题意，
故选：C．
9．解：①由题意，x@2＝﹣3，
当x≥0时，x﹣2＝﹣3，则x＝﹣1，不符合题意，舍去．
当x＜0时，x+2＝﹣3，则x＝﹣5，符合题意．
综上，若x@2＝﹣3，则x＝﹣5，故①错误．
②|x﹣2|@2≥0，且|x﹣2|≥0，
∴|x﹣2|﹣2≥0．
∴|x﹣2|≥2．
∴x≤0或x≥4，故②正确．
③|[（﹣2）@x]﹣1|+|[（﹣1）@（﹣x）]﹣2|
＝|（﹣2）+x﹣1|+|（﹣1）+（﹣x）﹣2|
＝|x﹣3|+|x﹣（﹣3）|，
又∵|x﹣3|+|x﹣（﹣3）|表示为数轴上表示x的数与到数轴上表示3及﹣3的数的距离之和，且|x﹣3|+|x﹣（﹣3）|的最小值为6，
∴|[（﹣2）@x]﹣1|+|[（﹣1）@（﹣x）]﹣2|的最小值为6，故③正确．
④由题意，当a≥0时，原方程组可化为，
将代入①得a﹣2﹣（﹣1+2）＝1，
∴a＝4．
当a＜0时，原方程组可化为，
将代入①得a+2﹣（﹣1+2）＝1，
∴a＝0，不合题意．
综上，a＝4，故④错误．
故选：B．
10．解：A．2x＜6，解得：x＜3，解集不符合，不改变不等式的符号，故该选项不符合题意；
B．﹣2x＞﹣6，解得：x＜3，解集不符合，故该选项不符合题意；
C．﹣x≤3，解得：x≥﹣3，解集不符合，故该选项不符合题意；
D．﹣2x≥﹣6，解得：x≤3，系数为负数，改变不等式的符号，故该选项符合题意；
故选：D．
二、填空题
11．④⑤
解：①存在二次项，不是一元一次不等式；
②没有未知数，不是一元一次不等式；
③有两个未知数，所以不是一元一次不等式；
④⑤是一元一次不等式．
所以一元一次不等式有④⑤．
故答案为：④⑤．
12．3．
解：由题意得，k﹣2＝1，
∴k＝3，
故答案为：3．
13．　2（答案不唯一）　 ．
解：不等式2x＞3的解集为x＞1.5，
符合不等式2x＞3的x的值可以为2（答案不唯一），
故答案为：2（答案不唯一）．
14． x 2　 ．
解：如图，根据数轴所示，关于x的不等式可以表示为x 2，
故答案为：x 2．
15．﹣3．
解：由题意得：|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，
解得：m＝±3且m≠3，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
16．a＜3
解：∵（a﹣3）x＞1的解集为x，
∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3．
故答案为：a＜3．
17．x＝2（答案不唯一）．
解：不等式的x﹣3＜0的解集为x＜3，
则不等式的x＜3的一个整数解为x＝2，
故答案为：x＝2（答案不唯一）．
三、解答题
18．解：解不等式x+2＜3，
解得：x＜1，
故符合题意的有：﹣1，，，0，．
19．解：根据题意得|b|＝1且b+1≠0，
解得b＝1．
20．解：（1）关于x的不等式的解集为x≥﹣2．
（2）关于x的不等式的解集为x＜3．
（3）关于x的不等式的解集为﹣1＜x≤4．
21．解：（1）不等式两边同时减去5，x+5﹣5＜8﹣5，
∴x＜3；
（2）不等式两边同时乘﹣6，
得2×（﹣6），
∴x＜﹣12；
（3）不等式两边同时减去2x，
∴4x≥﹣3，
不等式两边同时除以4，得．
22．解：（1）x2﹣4x＝x（x﹣4），
当x＞4时，x2＞4x；
当0＜x＜4时，x2＜4x；
当x＜0时，x2＞4x；
当x＝0，x＝4时，x2＝4x；
（2）当x2＜4x时，由（1）可知0＜x＜4，
当4x＜10﹣x时，x＜2，
∴0＜x＜2时，x2＜4x＜10﹣x，
故答案为：0＜x＜2．
23．解：（1）由x+y＝﹣3，得x＝﹣y﹣3，
∵x＜4，
∴﹣y﹣3＜4，
解得：y＞﹣7，
∴y的取值范围是y＞﹣7；
（2）由x﹣y＝1，得x＝y+1，
∵﹣1＜x＜3，
∴，
解得：﹣2＜y＜2，
∴y的取值范围是﹣2＜y＜2；
（3）由﹣x+y＝3可得x＝y﹣3，
∵x≤3，
∴y﹣3≤3，
解得：y≤6，
∵y≥0，
∴y的取值范围是0≤y≤6，
∵a＝x+y﹣3＝y﹣3+y﹣3＝2y﹣6，
∴﹣6≤2y﹣6≤6，
∴﹣6≤a≤6．
24．解：（1）∵x＞y，
∴不等式两边同时乘以﹣3得：﹣3x＜﹣3y，
∴不等式两边同时加上5得：﹣3x+5＜﹣3y+5；
（2）∵（2m+1）x＞2m+1的解集为x＜1，
∴2m+1＜0，
解得，
即m的取值范围是．
25．解：（1）∵|x|≤6，
∴﹣6≤x≤6，
故答案为：﹣6≤x≤6；
（2）∵|x﹣2|≥3，
∴x﹣2≥3或x﹣2≤﹣3，
∴x≥5或x≤﹣1；
（3）∵4|x+1|﹣5＜3，
4|x+1|＜8，
|x+1|＜2，
∴﹣2＜x+1＜2，
﹣2﹣1＜x+1﹣1＜2﹣1，
﹣3＜x＜1．
26．解：mx﹣3＞2x+m，
mx﹣2x＞m+3，
（m﹣2）x＞m+3，
（1）∵它的解集是x，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2；
（2）2x﹣1＞3﹣x，
解得：x，
∵它的解集是x，
∴，且m﹣2＞0，
解得m＝17．
27．解：（1）①|x|＞3的解集是x＞3或x＜﹣3，
故答案为：x＜﹣3；
②|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3，
故答案为：﹣3＜x＜3；
③|x|＞a（a＞0）的解集为x＞a或x＜﹣a，
|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a；
故答案为：x＞a或x＜﹣a，﹣a＜x＜a；
（2）|x+1|﹣3＜1，
整理得|x+1|＜4，
﹣4＜x+1＜4，
∴﹣5＜x＜3．

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