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10.1 二元一次方程
一、单选题
1．若是方程的一组解，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．将50名学生分成4人或6人的学习小组，随着分配方案的不同，4人组可能有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
5．为了丰富学生的课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员会为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，两种跳绳都买的话，共有（　　）种购买方案．
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
6．二元一次方程的正整数解是______．
7．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则_______．
8．若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________．
9．小明只带2元和5元面值的人民币若干张，他要买一件29元的商品，若商店没有零钱找，那他付款时这两种面值的人民币共有_________种不同的组合方式．
10．某校准备举办“创文知识”竞赛，计划用200元购买单价分别为16元/件，24元/件的A，B两种奖品奖励获胜者，则不同的购买方案有__________种．
三、解答题
11．若关于x，y的二元一次方程（k为常数）．
(1)当，时，求k的值；
(2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解．
12．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：．根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出方程的一组正整数解______．
(2)若为正整数，则满足条件的正整数x的值有______个．
(3)2022-2023学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？
13．已知二元一次方程．
(1)写出它所有的正整数解：________________________________．
(2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为
14．已知方程．
(1)用关于a的代数式表示b；
(2)求当，1时，对应的b值，并由此写出方程对应的两个解．
15．对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“和谐值”；若，则称或为方程的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若，则称为方程的“和谐值”.
(1)当时，此方程的“和谐值”是_____，二元一次方程的“和谐平衡值”是_____；
(2)若二元一次方程的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解；
参考答案
一、单选题
1．D
解：代入方程，得：
整理，得
解得：
故选：D．
2．A
解：设可分成每小组4人的小组组，每小组6人的小组组，
依题意得：，
．
又，均为自然数，
或或或，
共有4种分组方案，其中4人组可能有或或或．
故选：A．
3．A
解：由是方程的一组解，
得，
变形得，
．
故选：A．
4．B
解：∵是关于x、y的二元一次方程的一个解，
∴，解得：．
故选B．
5．C
解：设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，依题意有：
，即，
∵x，y均为正整数，
∴或或或，
共有4种购买方案．
故选：C．
二、填空题
6．或或
解：∵，
∴，
∵是正整数，
∴或或，
故答案为：或或．
7．11
解：把代入可得，
，
故答案为：11．
8．0
解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴，
∴，
∴．
9．3
解：设元的人民币张，元的人民币张，
根据题意得：，
∵，都是正整数，
∴或，或，，
则他的付款方式有3种，
故答案为：3．
10．4
解：设购买x件A种奖品，y件B种奖品，
根据题意得：，
∴．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或，
∴共有4种不同的购买方案．
故答案为：4．
三、解答题
11．（1）解：当，时，，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，
，
，
，
，
二元一次方程的固定的解是．
12．（1）解：∵，
∴，
∴当时，，
∴原方程的一组正整数解为；
（2）解：∵是正整数，
∴是18的正因数，
∴或或或或或，
∴满足条件的正整数x的值有6个，
故答案为：6；
（3）解：设购买m本笔记本，n支钢笔，
依题意得：，
∴，
又∵m，n均为正整数，
∴或或或，
∴共有4种购买方案．
答：共有4种购买方案．方案一：2本笔记本，11支钢笔；方案二：4本笔记本，8支钢笔；方案三：6本笔记本，5支钢笔；方案四：8本笔记本，2支钢笔．
13．（1）解：由方程，得．
当时，；
当时，；
当时，．
故方程所有的正整数解为或或
（2）解：∵把代入式子，得，
∴满足条件的二元一次方程可以是（答案不唯一）．
14．（1）解：（1），
，
；
（2）当时，；
当时，，
∴方程对应的两个解为，．
15．（1）解 ：当时，则，
，
，即，
，
当时，此方程的“和谐值”是；
二元一次方程有“和谐平衡值”
，
，
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上可知，二元一次方程的“和谐平衡值”是或，
故答案为：1；或；
（2）解：若二元一次方程的“和谐值”为5，
①当时，，解得：，
，
5是二元一次方程的“和谐值”，符合题意，此时方程的解为；
②当时，，解得：，
，
5是二元一次方程的“和谐值”，符合题意，此时方程的解为；
③当时，，解得：，
，
4是二元一次方程的“和谐值”，不符合题意；
④当时，，解得：，
，
1是二元一次方程的“和谐值”，不符合题意；
综上可知，所有满足条件的方程的解为、；

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