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10.5 用二元一次方程组解决问题
一、单选题
1．萌萌用8个相同的小长方形拼成图1那样的大长方形，小红用它们七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”设树的数量为x，乌鸦的数量是y，下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文．某加密规则为：明文对应加密文，如明文对应加密文．若接收到的加密文为，则发送的明文是______．
4．如图，将张相同的长方形纸片不重叠的放在长方形内，已知小长方形纸片的长为，宽为，且，若未被覆盖的两个长方形周长相等，则与的数量关系用等式可表示为_____．
5．新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生人，搬桌子学生人，则可列出方程组______．
三、解答题
6．某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价．
7．一次知识竞赛，共设20道选择题，每题必答．下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 93
C 18 2 86
(1)在这次比赛中，答对一道题得 分，答错一道题扣 分；
(2)同学G说他得了82分，你认为可能吗？通过列方程计算说明理由．
8．某公司购买了一批物资．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要运往唐山，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案．
9．因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，现决定向租赁公司同时租用甲，乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
租金（单位：元/台时） 挖掘量（单位：/台时）
甲型挖掘机 100元
乙型挖掘机 120元
(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？
(2)如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？
10．2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品．
(1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？
(2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由．
11．用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完．
(1)求医用口罩和消毒液的单价；
(2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ．
12．团体购买公园门票票价如下：
购票人数 100人以上
每人门票（元） 13元 11元 9元
今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人．
若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．
(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人．
(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？
13．快乐公司决定按如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A．已知这三个工厂生产的产品A的优等品率如表所示．
甲 乙 丙
优等品率 80％ 85％ 90％
(1)快乐公司从甲厂购买______件产品A；
(2)快乐公司购买的200件产品A中优等品有_______件；
(3)根据市场发展的需要，快乐公司准备通过调整从三个工厂所购买的产品A的比例，提高所购买的200件产品A中的优等品的数量．若从甲厂购买产品A的比例保持不变，那么应从乙、丙两工厂各购买多少件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件．
14．阅读材料：
小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
解决问题：
(1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ；
(3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．
15．我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，利用图①可得：．基于此，请解答下列问题：
【知识生成】
（1）如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为，宽为）围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：______；
【类比应用】
（2）已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为，宽为，求(a-b)2的值．
【知识迁移】
（3）如图③所示，某校计划在一块面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池（其中，），并将长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，求和的长．
参考答案
一、单选题
1．D
解：设每个小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
，
则每个小长方形的面积为．
故选：D．
2．C
解：设树的数量为x，乌鸦的数量是y，依题意可得：
，
故选：C．
二、填空题
3．
解：设明文为，由加密规则得方程组：
，
解得：，
∴明文为：，
故答案为：
4．
解：依题意，小长方形纸片的长为，宽为，
如图所示，
长方形的周长为：，
长方形的周长为：，
长方形的周长与长方形的周长相等，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．
解：根据题意得：，
故答案为：．
三、解答题
6．解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选①②；
根据题意得：，
解得：．
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元；
选①③：根据题意得：，
解得：．
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元；
选②③：根据题意得：，
解得：．
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元．
7．（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，
由题意得：，
解得：，
即答对一道题得5分，答错一道题扣2分，
故答案为：5；2；
（2）解：同学G不可能得82分，理由如下：
假设同学G得了82分，
设同学G答对了m道题，则答错了道题，
根据题意得：，
解得，
又∵m为自然数，
∴不符合题意，舍去，
∴假设不成立，
即同学G不可能得82分．
8．（1）解：设1辆小货车一次可满载运输x件物资，1辆大货车一次可满载运输y件物资，
由题意得：
解得：
答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．
（2）解：设租用小货车a辆，大货车b辆，
由题意得：，
∴．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
9．
（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．
依题意得：，
解得 ．
答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）解：设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机．
依题意得：，
化简得：．
∴，
∴方程的解为或．
当，时，支付租金：元元，符合要求；
当，时，支付租金：元元，符合要求．
答：两种租用方案，第一种甲、乙两种挖掘机各需1台，6台；第二种甲、乙两种挖掘机各需5台，3台．
10．（1）解：设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品，
依题意得：，
解得：，
答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品．
（2）解：该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下：
设租用小货车辆，大货车辆，
依题意得：
又，均为正整数，
当，；当，；
或
共有2种租车方案，
方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为；
方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为；
；；
该组委会计划支出4000元用于租车，够用．
11．（1）解：设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶，
由题意可得：，
解得：，
∴医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶；
（2）解：由题意可得：，
整理可得：，
∵，均为正整数，且，
∴为的倍数，
∴或．
12．（1）解：假设乙团人数也少于50人，
因为甲团人数少于50人，
所以两团分开购票，票价均为13元。则总花费为元。
可得两团总人数为，不是整数，与实际不符。
所以假设不成立，乙团的人数超过50人。
（2）解：由（1）知乙旅行团的人数超过50，
设甲旅行团有人，乙旅行团有人，则
当时，
，
，不是整数，故
，
解得，
答：甲旅行团有36人，乙旅行团有84人．
13．（1）解：快乐公司从甲厂购买产品A的数量为（件）．
故答案为：50．
（2）解（件）．
答：快乐公司购买的200件产品A中优等品有171件．
故答案为：171．
（3）解：设应从乙、丙两工厂各购买x件、y件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件．
根据题意，得：
，解得：．
答：应从乙工厂购买20件产品A，应从丙工厂购买130件产品A，才使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件．
14．（1）解：由题意得，
解得，
每个小长方形的面积为：；
（2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
根据题意，得，
解得，
则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：，
故答案为：20；
（3）解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得，
解得，
∴阴影部分的面积为：．
15．（1）解：，
（2）依题意得：，，
，
，
（3）设，，
由题意可知：
，即，
∴，
又∵，
∴，
联立可得：，
解得，
答：和的长分别为 、．

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