资源简介

山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高一第三次质量检测数学试题
一、单选题
1．对于平面向量，，，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若与是单位向量，则
C．若，则 D．若，，则
2．若，则z的虚部为（ ）
A． B．3 C． D．
3．如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B．5 C． D．8
5．某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：）

A． B． C． D．
6．在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．已知向量，，，设与方向相同的单位向量为，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
8．在中，，，所对的边分别是，，，，，且满足，则该三角形的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若复数的共轭复数为，则
B．若是关于的方程的一个根，则
C．若复数满足，则的最大值为
D．已知是方程在复数域的一个根，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知平面向量，，若夹角为钝角，则实数的取值范围是．
B．已知，，则的最小值为6．
C．若，，，则面积为．
D．若，则为钝角三角形．
11．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ）
A．三个内角满足关系
B．的周长为
C．若为的中点，，与交于点，则的长为
D．若为的外心，则
三、填空题
12．是虚数单位，则，则的值为______．
13．在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为________.
14．已知为锐角三角形，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若，且，则______，边a的取值范围是______．
四、解答题
15．（1）若复数（）为纯虚数，求m的值；
（2）计算：．
16．已知向量，且．
(1)求的值；
(2)若与反向，，求与的夹角．
17．已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，且．
(1)求角；
(2)若，，求边和的值．
18．在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点．
(1)求角的大小；
(2)若是的角平分线，的周长为19，求的长度；
(3)若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围．
19．在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求△ABC的面积；
(2)求的值；
(3)求的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】对于A，若，此时，而且，故A错误，
对于B，因为与是单位向量，，
所以，故B正确，
对于C，当时，若，则，故C错误，
对于D，当时，满足，，而不一定有，故D错误.
故选：B
2．C
【详解】由，则，
所以z的虚部为.
3．B
【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则.
4．C
【详解】因为向量，，所以.
由于，所以，
所以，解得.
所以，所以.
故选：C.
5．A
【详解】，，
，则，
在中，，
，即.
所以该雕像的高度约为4m.
故选：A.
6．C
【详解】中，，则，
又，则，
由，可得，代入，
则有，则，则，
又，则的形状是等边三角形.
7．B
【详解】，
，又，
，
向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
8．D
【详解】，
，即，
又，由正弦定理可知，
，即，
由余弦定理及，得，解得，
由得，
.
故选：D.
9．ACD
【详解】对于A，设，则，对；
对于B，对于实系数方程存在复数根，则必为一对共轭复数，故，错；
对于C，令，由复数模的几何意义，可表示为，
即在圆心为，半径为1的圆上，数形结合易知的最大值为2，对；
对于D，，则有或，
所以为的一个根，即，且，
当时，，对.
故选：ACD
10．BD
【详解】选项A，夹角为钝角，则且与不共线，由，，
若与共线，则，即.
所以当夹角为钝角时，实数的取值范围是且.故A选项错误.
选项B，，当时，，B选项正确.
选项C，由题意，由正弦定理，，
又，或.
当时，，此时.
当时，，此时，故C选项错误.
选项D，，，由正弦定理可得：，即.
由余弦定理，又，为钝角，即为钝角三角形，D选项正确.
11．ABD
【详解】由题意，，不妨设.
由余弦定理可得，，，选项A正确.
又，.则.
的周长为，选项B正确.
如图所示，为的中点.
，.
设，.
，解得，，，选项C错误.
如图所示，取的中点，记为，是的外心.
，结合平面向量数量积的几何意义可知：
.
选项D正确.

12．
【详解】因为，
所以，所以.
故答案为：.
13．
【详解】由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
为菱形，设菱形的边长为，又，
，，，，
是的中点，，，
，即，
菱形的边长为，
故答案为：.
14． /
【详解】在锐角中，由，
得，即，
由正弦定理得，而，
则，
又，则有，得，，
由，解得，
由正弦定理得，而，
则，
由，得，即，于是，
所以，的取值范围是．
15．（1）；（2）
【详解】（1）由题意得，
由z为纯虚数，则，解得或（舍去），
（2）由题意得，，
则原式.
16．(1)或
(2)．
【详解】（1）根据题意得，
，
因为，所以，
解得或；
（2）由（1）时，，，所以，则与同向，舍去；
当时，，，所以，则与反向，
，
因为，
因为，
所以与的夹角为．
17．(1)；
(2)，.
【详解】（1）因为，所以，即，
由余弦定理得，所以，
又，所以．
（2）因为，，所以，
由正弦定理得，所以，解得.
又，
．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）且
，即.
.
又，则，结合，；
（2）而
为角的角平分线
.
即，；

（3）设，则；
设，则.
在中即
在中
即，
则.
又，而
，
由和差化积公式可得.
则.
，；
解法二：，
，
.
．
.
，
.

19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由余弦定理
结合可知，△ABC的面积
（2）因为，，所以，
由正弦定理，
所以，①
由于，
带入①式可知：
（3）解法1：
设BC中点为D，则
所以
如下图所示，
设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，故点A的运动轨迹为劣弧（不含端点），由正弦定理知圆O的半径，故
设，则，由余弦定理：
由于函数在时单调递减，，
所以
解法2：
由余弦定理②
由定义
所以
设，
则
由正弦定理：
其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知
注意到，
所以
所以，②式变形为，故
从而，
此时函数单调递减，而，
所以

展开更多......

收起↑