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湖北省襄阳市枣阳一中2025-2026学年高三（下）学情调研数学试卷（4月份）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，那么( )
A. B. C. D.
4.具有相关关系的变量与的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数不会发生改变的是( )
参考公式：相关系数
A. B. C. D.
5.已知三棱锥中，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
6.已知，为双曲线的左、右焦点，点在上，若，，的面积为，则的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，其中则下列说法正确的是( )
A. 函数必有零点
B. 若，则的对称中心为
C. 若有两个极值点，则的取值范围是
D. 存在实数，使得在上单调递减
10.已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列为等差数列
C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，点在内含边界且，则以下结论正确的是( )
A. 异面直线与所成的角是
B. 与平面所成的线面角的正切值为
C. 点的运动轨迹长度为
D. 点到平面距离的取值范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，，，这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于的概率为 结果用数值表示．
13.在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
14.若关于的方程至少有个不同的根，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点．
证明：平面；
若，求点到平面的距离．
16.本小题分
根据国家学生体质健康标准，高三男生和女生立定跳远单项等级如下单位：
立定跳远单项等级 高三男生 高三女生
优秀 及以上 及以上
良好
及格
不及格 及以下 及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下精确到
男生
女生
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
Ⅰ分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率
Ⅱ从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望
Ⅲ从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件判断与是否相互独立结论不要求证明
17.本小题分
设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为．
求的单调递增区间；
求在上的值域；
将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，．
若，求函数的单调区间；
若恒成立，求的取值范围；
若有两个零点，，且，求证：．
19.本小题分
已知为坐标原点，点为：和的公共点，，与直线相切，记动点的轨迹为．
求的方程；
若，直线：与交于点，，直线：与交于点，，点，在第一象限，记直线与；的交点为，直线与的交点为，线段的中点为．
证明：，，三点共线；
若，过点作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：连接，，
因为是等边三角形，可得，
又因为平面平面，，
，且，平面，所以平面，
而平面，所以，
平面平面，平面，
所以平面；
解：由可得，，两两垂直，四边形为菱形，可得为等边三角形，，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
可得，，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，
可得，
所以，，
所以到平面的距离．
即到平面的距离为．
16.解：Ⅰ样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．
Ⅱ由题设，的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
．
Ⅲ，
，
，
，所以与相互独立．
17.解：，
由题意，可得，
又由于，
可得，
可得，
令，，解得，，
所以的单调递增区间为；
因为，，
由于，可得，可得
可得在上的值域为；
因为，令，得，
所以或，，即或，，
所以所有的正零点需满足或，得为正整数，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以
．
18.解：当时，函数，求导得，
当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是．
不等式，
令，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上递增，在上递减，
因此，则，
所以的取值范围是．
由，得，
由知，，是直线与函数图象的两个交点的横坐标，
而，当时，恒成立，因此有两个零点时，，
由两边取对数得，于是，
则，整理得，
令，由，得，即有，
则，解得，由，得，
因此，令，求导得，
令，求导得，即在上单调递增，
当时，，即，函数在上单调递增，
，于是，
所以．
19.解：设，切点为，则，所以，
化简得，
所以的方程为：；
证明：因为，可设，，
又因为，
所以，，三点共线，同理，，三点共线，
所以，，三点共线；
设，，，，
中点为，中点为，将代入可得：，
所以，，
所以，同理均在定直线上，
因为，所以与面积相等，与面积相等，
所以四边形面积等于四边形面积，
设，，
直线，即，
整理得：直线，又因为，
所以，
同理，直线，，
所以，
所以，
所以四边形面积，
当且仅当，
即，即时取等号，
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