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姓名_____
太原市2026年初中学业水平模拟考试(一) 数 学
(考试时间:上午 )
注意事项:
1. 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分. 全卷共 8 页, 满分 120 分, 考试时间 120 分钟
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.
3. 答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分. 在每个小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1. 根据综合气象信息, 2026 年马年春节当天太原市部分县区的最低气温如下表所示:
县区 迎泽区 小店区 阳曲县 古交市
最低气温 -10°C -12°C -13°C
其中当天最低气温最高的县区是
A. 迎泽区 B. 小店区 C. 阳曲县 D. 古交市
2. 青铜器是商周时期的文化瑰宝，其纹样与造型蕴含对称美. 下列青铜器纹样图案中，属于中心对称图形的是
3. 下列计算正确的是
A. B.
C. D.
4. 高铝拱角砖是专为拱形结构设计的耐火材料，耐火温度可达到 2000℃以上. 如图是一种高铝拱角砖的示意图，其形状为五棱柱. 若其主视图为五边形，则它的左视图为
(第4题图)
5. 已知点 , 都在反比例函数 的图象上,则 与 的关系为
(第 6 题图)
A. B. C. D.
6. 如图， 是 的外接圆， 为 的直径， 与 相切于点 . 若 ，则 的度数为
A. 25° B.
C. 45° D. 55°
7. 若关于 的一元一次不等式 的解集是 ,则一次函数 的图象可能是
如图， 中， ，将 沿 方向平移得到 ，其中点 的对应点分别为点 . 若 ，则平移的距离为
A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
9. 根据下列表格中的信息, 代表的分式可能是
... -2 -1 0 1 2 ...
... 0 无意义 * 无意义 * ...
A. B. C. D.
10. 如图，扇形纸片 的半径 ， . 将该扇形纸片对折，使得 和 完全重合，折痕与 交于点 ，然后展平纸片；再沿过点 的直线折叠扇形纸片，使点
(第 10 题图)
与点 重合,折痕与 交于点 ,则图中阴影部分的面积为
A. B.
C. D.
第 II 卷 非选择题 (共 90 分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)将答案写在答题卡相应的位置.
11. 计算 的结果为_____▲_____.
12. 如图是一个由量角器和直尺组成的测角仪器, 用它测量一个三角形零件中残缺的内角 ,则 的度数为 。
13. 2026年央视春晚节目《贺花神》构建了“一月一人一景，一花一态一观”的视觉叙事，生动演绎了中华优秀传统文化.小宁据此制作了六张卡片(除正面外完全相同)，其中三张正面分别是代表正月、二月、三月的梅花、杏花、桃花;另外三张正面依次是这三个月的花神林逋、陆游、息国君夫人、他将六张卡片分两组背面朝上分别洗匀，先从三张花卉卡片中随机抽取一张，再从三张花神卡片中随机抽取一张，则两张卡片恰好是同一个月的花卉和花神的概率为_____▲_____.
14. 植树节来临之际, 学校组织320 名学生进行植树活动, 计划种植杨树和松树两种树苗, 已知种植 1 棵杨树需要 3 名学生, 种植 1 棵松树需要 5 名学生. 若要种植的两种树苗总棵数不少于 100 棵，则种植杨树的学生至少_____▲_____人.
15. 如图，在四边形 中， ，对角线 平分 ， 且 . 点 是 上一点,连接 ，若 ，则 的面积为_____▲_____.
(第 15 题图)
三、解答题(本大题共8个小题，共75分. 解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤)
16.(本题共2个小题，每小题5分，共10分)
(1)计算: ;
(2)解方程组:
17. (本题 8 分) 操作与探究:如图,在 中, .
动手操作:(1)用直尺和圆规按要求作图:①作 的垂直平分线 交 于点 ; ②以点 为圆心 长为半径作 ; ③连接 并延长交 于点 ，连接 (要求:保留作图痕迹，标明字母).
猜想证明: (2)在(1)所作的图形中:
①判断点 与 的位置关系，并说明理由;
②判断四边形 的形状，并说明理由.
18.(本题9分)为丰富学生的地理知识，学校举办中国地图拼图挑战赛. 初赛阶段九年级遴选出甲、乙、丙、丁四名优秀队员晋级总决赛，赛前带队教练为评估实战水平, 对四名晋级队员最近 10 次测试成绩 (单位:s，精确到 0.1s ) 的数据进行整理、描述和分析. 下面给出了部分信息:
信息1:甲、乙两名队员10次测试成绩的折线图:
信息2:丙队员10次测试成绩:
信息3:四名队员10次测试成绩的平均数、中位数、方差:
队员 统计量 甲 乙 丙 丁
平均数 14.5 14.5 14.5
中位数 14.5 14.8 14.45
方差 0.056 0.034 0.056
(1)表中 的值为_____▲_____， 的值为_____▲_____，
(2)乙的方差 与甲的方差 0.056 的关系为: _____▲_____° 0.056(填“>”“=”或“<”)；
(3)根据这 10 次测试成绩，带队教练按如下方式评估这四名队员的实力强弱:
首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则 10 次测试中测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强. 按以上方式评估，这四名队员按实力由强到弱的顺序依次为_____▲_____.
19.(本题 6 分)2025 年中国粮食再获丰收，我国小麦种植在“藏粮于地, 藏粮于技”战略推动下实现稳定增产. 某农业研究所培育出高产小麦新品种, 该品种小麦每亩产量比普通小麦的 2 倍少 100 公斤、已知甲、乙两农户分别种植新品种小麦和普通小麦，甲农户种植面积是乙农户的 2 倍, 收获时甲农户总产量为 8000 公斤, 乙农户总产量为 2250 公斤. 求新品种小麦的亩产量.
20. (本题 8 分)综合与实践
某校开展校园手绘平面图测绘活动,数学实践小组为标注教学楼前人工湖内小岛两端点 之间的距离,进行了数据测量. 如图,该小组测量方案和相关数据如下:
步骤一:甲同学在教学楼五层某教室窗边安装测倾器，从测倾器顶部点 处测得小岛一端 处的俯角 ；
步骤二:乙同学在该教学楼三层相同位置教室窗边安装测倾器，从测倾器顶部点 处测得小岛另一端 处的俯角 ；
步骤三:测得测倾器高为 ；
步骤四:每相邻两层楼地板之间的距离为 ，可求得点 到水平地面的距离 ,点 到水平地面的距离 .
已知图中所有点均在同一竖直平面内,且点 在同一铅垂线上,点 在同一水平线 上.
(1)补全“步骤四”中“▲”处的结果；
(2)请根据上述测量方案和数据计算小岛两端C，D之间的距离(结果精确到 ，参考数据:
21. (本题 8 分)阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容, 请认真阅读,并完成相应的任务.
差直角三角形
【研究背景】
在研究三角形、四边形等几何图形的过程中, 我们积累了一定的研究经验. 运用这些经验和方法, 可以研究其他的特殊图形
【定义对象】
有两个内角的差为 的三角形,叫做差直角三角形. 如图 1,在 中, ,则 是一个差直角三角形.
图 1
由定义可知,差直角三角形一定是_____▲_____三角形.
【定义运用】
定义一一性质:
问题 1: 已知差直角三角形 中， ，则 的度数为_____▲_____。
定义一一判定:
问题 2: 如图 2,已知 中, 是对角线， ，点 是 边上一点， 交 于点 .
若 ,则图中 是差直角三角形.
理由如下: 四边形 是平行四边形,
, (依据:_____▲_____)
.
,
任务:
(1)“定义对象”部分“▲”处为_____▲ (填“锐角”“由角”或“钝角”)；
“定义运用”部分问题 1 的“▲”处为_____，_____、
问题 2 的“▲”处为_____，
(2)补全上述报告中问题 2 的推理过程；
(3)如图3，已知 中， ，点 在 边上. 若 是差直角三角形，则 的长为_____▲_____.
22.(本题 13 分)综合与实践
问题情境:如图 1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形, 主门顶部造型设计为抛物线形.
工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题.
方案分析:在图 1 中,具体结构与数据如下:
①抛物线造型 w 两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点 处,其跨度 (即主门宽度) 为 ,抛物线造型最高点 到水平线 的距离为 .
②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为4m，立柱宽 ，侧门宽 .
建立模型:以点 ， 所在水平直线为 轴， 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系.
(1)求主门顶部抛物线造型 对应的函数表达式；
问题解决:(2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型 外侧增加一条抛物线造型 ，它的两端落在门卫室顶部的点 ， 处，它的顶点为 . 为稳定结构， 内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架 ， 连接. 为节约建材,将现有的一根长为 的钢筋全部用来制做支架 (损耗与接口忽略不计).
①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以 为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径;
②若要在抛物线造型 上安装两个监控摄像头,为保证监控范围与效果,要求摄像头离地面的高度不超过 ,请直接写出两个摄像头之间水平距离 的最小值 (结果保留根号).
图 1
图 2
23.(本题 13 分)综合与探究
问题情境:数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题. 已知矩形纸片 .
操作证明: (1) 如图 1,小聪先从特殊情形入手,折叠矩形纸片 ,使点 与点 重合, 折痕分别交 边于点 ，点 的对应点为点 . 请猜想此时线段 与 的数量关系,并说明理由;
拓展延伸: (2)如图2,小慧沿过点 的直线折叠该矩形纸片,使点 的对应点 落在对角线 的延长线上,折痕交线段 于点 ,交 于点 ,点 的对应点为点 .
① 求此时线段 的长；
②小慧沿平行于 的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段 于点 ， 交线段 于点 . 请你借助备用图进行分析，直接写出 是等腰三角形时,点 到 的距离.
图 1
图2
备用图
2026 年太原市初中学业水平模拟考试(一) 数学参考答案及评分细则
一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B B D D B D A
二、填空题(本大题共 5 道小题, 每小题 3 分, 共 15 分)
11.2 12.40
13. 14.270
15.
三、解答题(本大题共 8 道小题, 满分 75 分)
16.(本题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分)
(1)解:原式 3 分
=-4+4 4 分
; 5 分
(2)解:②-①，得 ， 1 分
. 2 分
将 代入 ①，得 ， 3 分
. 4 分
所以原方程组的解是 5 分
17. (本题 8 分)
解:(1)如图即为所求. 2 分
(2)①点 在 上.
理由如下: 垂直平分 于点 ,
点 是 的中点,
. 3 分
在 Rt 中, 是斜边 上的中线,
. 4 分
.
是 的半径,
点 在 上. 5 分
②四边形 是矩形.
理由如下: 由作图可知,点 在 上,
. 6 分
， ，
四边形 是平行四边形. 7 分
,
是矩形. 8 分
18.(本题 9 分)
解:(1)14.5; 14.7; 4 分
; 6 分
(3)乙、丁、甲、丙. 9 分
19.(本题 6 分)
解: 设普通小麦的亩产量为 公斤,则新品种小麦的亩产量为 公斤. 1 分
数学答案第 2页
由题意，得 3 分
解,得 . 4 分
经检验, 是原方程的解. 5 分
当 时, .
答: 新品种小麦的亩产量为 800 公斤. 6 分
20. (本题 8 分)
解:(1)15.6；8.6； 2 分
(2)由题意，得 .
,
.
在 Rt 中, , 3 分
,
. 4 分
在 Rt 中, , 5 分
,
. 6 分
. 7 分
答: 小岛两端 之间的距离约为 . 8 分
21. (本题 8 分)
解:(1)钝角；30；平行四边形的定义. 3 分
(2) ，
. 4 分
,
.
,
. 5 分
,
即 .
是差直三角形. 6 分
(3) 5 或 3.5. 8 分
22. (本题 13 分)
解: (1) 由题意,得 轴垂直平分 , 所以, .
图 1
因为点 在 轴的正半轴上,
所以，点 的坐标为 1 分因为抛物线顶点 在 轴正半轴上,且点 到 的距离为 ,
所以,点 的坐标为 2 分
设抛物线 的函数表达式为 , 3 分
将点 代入 ，得 .
解,得 .
所以,抛物线 的函数表达式 . 4 分
(2)①由题意，得 .
因为 ，所以， . 因为 轴,
所以，点 的坐标为 5 分
因为 ,所以, .
因为点 在 轴的正半轴,
所以,点 的坐标为 . 6 分
设抛物线 的函数表达式为 , 7 分
将点 ，点 代入 ，
得 解,得 8 分
所以,抛物线 的函数表达式为 . 9 分当 时， ，
所以， . 10 分
由(1)得 ，所以， .
答: 圆形校徽直径的为 . 11 分
② . 13 分
23. (本题 13 分)
解: (1) . 1 分
证明: 四边形 是矩形,
， 2 分
图1
.
由折叠可得, ,
.
. 3 分
.
， ，
即 . 4 分
由折叠可得, ,
. 5 分
(2) 四边形 是矩形,
.
，
由勾股定理,得 . 6 分由折叠可得, 垂直平分 于点 ,
. 7 分
,
. 8 分
,即 .
. 9 分
.
，
. 10 分
② 或 2 或 . 13 分
【说明】上述解答题的其他解法, 请参照此标准评分.

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