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期中素养评估(第8、9章)
(120分钟 150分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
一、单项选择题(共6小题,每小题4分,共24分.每小题的四个选项中只有一项正确)
1.下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中不正确的是( )
A.四条边都相等的四边形是菱形
B.有一个角是直角的平行四边形是矩形
C.正方形的对角线相等
D.对角线相等的四边形是矩形
3.若+有意义,则(-n)2的平方根是( )
A. B. C.± D.±
4.如图,点E是矩形ABCD外一点,连接AE,过点E作EG⊥AE交AD,BC分别于点F,G,∠2=118°.则∠1的度数为( )
A.12° B.18° C.22° D.28°
5.菱形ABCD的周长是20,对角线AC,BD相交于点O,若BD=8,则菱形ABCD的面积为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
6.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且 ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为( )
A.48 B.36 C.40 D.24
二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分.每小题的4个选项中,有多项正确,全部选对得5分,部分选对得3分,有错选的不得分)
7.若ab>0,a+b<0,则下列各式中正确的是( )
A.= B.×=1
C.÷=-b D.()2=-ab
8.如图,Rt△ABC≌Rt△DCB,其中∠ABC=90°,AB=3,BC=4,O为BC中点,EF过点O,交AC,BD于点E,F,连接BE,CF,则下列结论正确的是( )
A.四边形BECF为平行四边形
B.当BF=3.5时,四边形BECF为矩形
C.当BF=2.5时,四边形BECF为菱形
D.四边形BECF不可能为正方形
9.如图,正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=10厘米,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,点E在边AB上,且AE=4厘米,如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动,设运动时间为t秒.当△BPE与△CQP全等时,t的值为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
10.如图,在四边形ABCD中,AB与CD不平行,M,N分别是AD,BC的中点,AB=4,DC=2.对于MN的长,给出了四种猜测:
①MN=4; ②MN=3; ③MN=2; ④MN=1.
猜测错误的是( )
A.① B.② C.③ D.④
三、填空题(共4小题,每小题4分,共16分.只写最后结果)
11.如图,两条笔直的公路l1,l2相交于点O,C村庄的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B,D.已知四边形OBCD是菱形,C村庄到公路l1的距离为4 km,则C村庄到公路l2的距离是 km.
12.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.如果AC=2,BD=3,那么四边形OCED的周长是 .
13.如图,在正方形ABCD中,若对角线的长为10 cm,P是CD上任意一点,过点P分别作PE⊥BD,PF⊥AC,垂足分别为E,F,则PE+PF= cm.
14.如图,在正方形纸片ABCD上进行如下操作:第一步:剪去长方形纸条AEFD,AE=3;第二步:从长方形纸片BCFE上剪去长方形纸条CFGH,CH=4.若长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等,则AB的长度为 .
四、解答题(共8小题,共90分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(10分)计算:
(1)+12x-x2;　　　　　　　(2)÷3ax÷(a<0).
16.(9分)(1)计算:(+)-;
(2)已知a=+1,b=-1,求代数式a2-b2的值.
17.(10分)已知:如图,在平行四边形ABCD中,∠ADC的平分线交AB于点E,∠ABC的平分线交CD于点F.求证:BF=DE.
18.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,点M在线段BC上,EM⊥AM交AD的延长线于点E,∠BAM=∠CME.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若AB=12,BM=5,求ME的长.
19.(12分)如图,在等腰△ABC中,AB=BC,BO平分∠ABC,过点A作AD∥BC交BO的延长线于D,连接CD,过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E.
(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)若AB=4,∠ABE=120°,求DE的长.
20.(12分)如图,已知AC垂直平分BD,DF⊥BD,∠ABC=∠DCF.
(1)求证:四边形ACFD是平行四边形;
(2)若DF=CF=5,CD=6,求BD的长.
21.(12分)(2025·烟台福山区期末)如图,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止.点P,Q的速度都是1 cm/s,连接PQ,AQ,CP,设点P,Q运动的时间为t(s).
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形
(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形 求出此时菱形AQCP的面积.
22.(13分)【三角形中位线定理】
已知:如图①,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点.直接写出DE和BC的关系;
【应用】
如图②,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,若BC=5,CD=3,EF=2,∠AFE=45°,求∠ADC的度数;
【拓展】
如图③,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点E,点M,N分别为AD,BC的中点,MN分别交AC,BD于点F,G,EF=EG.
求证:BD=AC.期中素养评估(第8、9章)
(120分钟 150分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
一、单项选择题(共6小题,每小题4分,共24分.每小题的四个选项中只有一项正确)
1.下列各式是最简二次根式的是(D)
A. B. C. D.
2.下列说法中不正确的是(D)
A.四条边都相等的四边形是菱形
B.有一个角是直角的平行四边形是矩形
C.正方形的对角线相等
D.对角线相等的四边形是矩形
3.若+有意义,则(-n)2的平方根是(D)
A. B. C.± D.±
4.如图,点E是矩形ABCD外一点,连接AE,过点E作EG⊥AE交AD,BC分别于点F,G,∠2=118°.则∠1的度数为(D)
A.12° B.18° C.22° D.28°
5.菱形ABCD的周长是20,对角线AC,BD相交于点O,若BD=8,则菱形ABCD的面积为(C)
A.6 B.12 C.24 D.48
6.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且 ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为(A)
A.48 B.36 C.40 D.24
二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分.每小题的4个选项中,有多项正确,全部选对得5分,部分选对得3分,有错选的不得分)
7.若ab>0,a+b<0,则下列各式中正确的是(BC)
A.= B.×=1
C.÷=-b D.()2=-ab
8.如图,Rt△ABC≌Rt△DCB,其中∠ABC=90°,AB=3,BC=4,O为BC中点,EF过点O,交AC,BD于点E,F,连接BE,CF,则下列结论正确的是(ACD)
A.四边形BECF为平行四边形
B.当BF=3.5时,四边形BECF为矩形
C.当BF=2.5时,四边形BECF为菱形
D.四边形BECF不可能为正方形
9.如图,正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=10厘米,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,点E在边AB上,且AE=4厘米,如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动,设运动时间为t秒.当△BPE与△CQP全等时,t的值为(CD)
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
10.如图,在四边形ABCD中,AB与CD不平行,M,N分别是AD,BC的中点,AB=4,DC=2.对于MN的长,给出了四种猜测:
①MN=4; ②MN=3; ③MN=2; ④MN=1.
猜测错误的是(ABD)
A.① B.② C.③ D.④
三、填空题(共4小题,每小题4分,共16分.只写最后结果)
11.如图,两条笔直的公路l1,l2相交于点O,C村庄的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B,D.已知四边形OBCD是菱形,C村庄到公路l1的距离为4 km,则C村庄到公路l2的距离是 　4　km.
12.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.如果AC=2,BD=3,那么四边形OCED的周长是 　5　.
13.如图,在正方形ABCD中,若对角线的长为10 cm,P是CD上任意一点,过点P分别作PE⊥BD,PF⊥AC,垂足分别为E,F,则PE+PF=　5　cm.
14.如图,在正方形纸片ABCD上进行如下操作:第一步:剪去长方形纸条AEFD,AE=3;第二步:从长方形纸片BCFE上剪去长方形纸条CFGH,CH=4.若长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等,则AB的长度为　12　.
四、解答题(共8小题,共90分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(10分)计算:
(1)+12x-x2;　　　　　　　(2)÷3ax÷(a<0).
【解析】(1)原式=×3+12x×-x2×
=2x+3x-
=(5x-1);
(2)原式=-×÷
=-××
=-.
16.(9分)(1)计算:(+)-;
(2)已知a=+1,b=-1,求代数式a2-b2的值.
【解析】(1)(+)-
=(3+2)-2
=6+4-2
=6+2;
(2)a2-b2
=(a-b)(a+b)
=(+1-+1)(+1+-1)
=4.
17.(10分)已知:如图,在平行四边形ABCD中,∠ADC的平分线交AB于点E,∠ABC的平分线交CD于点F.求证:BF=DE.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,∠ADC=∠ABC.
∵DE,BF分别是∠ADC,∠ABC的平分线,
∴∠ADE=∠ADC,∠CBF=∠CBA.
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(ASA).
∴DE=BF.
18.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,点M在线段BC上,EM⊥AM交AD的延长线于点E,∠BAM=∠CME.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若AB=12,BM=5,求ME的长.
【解析】(1)∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵EM⊥AM交AD的延长线于点E,
∴∠AME=90°,
∵∠BAM=∠CME,
∴∠BAM+∠AMB=∠CME+∠AMB=180°-∠AME=90°,
∴∠B=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
(2)∵∠B=90°,AB=12,BM=5,
∴MA===13,
∵∠AME=∠B,∠EAM=∠AMB,
∴△EAM∽△AMB,
∴=,
∴ME===,
∴ME的长是.
19.(12分)如图,在等腰△ABC中,AB=BC,BO平分∠ABC,过点A作AD∥BC交BO的延长线于D,连接CD,过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E.
(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)若AB=4,∠ABE=120°,求DE的长.
【解析】(1)四边形ABCD是菱形,
理由:∵AB=BC,BO平分∠ABC,
∴AO=CO,
∵AD∥BE,
∴∠DAO=∠ACB,∠ADO=∠CBO,
∴△ADO≌△CBO(AAS),
∴DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)∵BO平分∠ABC,∠ABE=120°,
∴∠DBC=∠ABE=60°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD=AB=4,
∴△BCD是等边三角形,
∴BD=BC=4,
∵BD⊥DE,
∴∠BDE=90°,
∴∠E=90°-∠DBC=30°,
∴BE=2BD=8,
∴DE===4,
∴DE的长为4.
20.(12分)如图,已知AC垂直平分BD,DF⊥BD,∠ABC=∠DCF.
(1)求证:四边形ACFD是平行四边形;
(2)若DF=CF=5,CD=6,求BD的长.
【解析】(1)∵AC垂直平分BD,
∴AB=AD,BC=DC,
在△ABC与△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠ABC=∠ADC,
∵∠ABC=∠DCF,
∴∠ADC=∠DCF,∴AD∥CF,
∵AC⊥BD,DF⊥BD,
∴DF∥AC,∴四边形ACFD是平行四边形;
(2)∵四边形ACFD是平行四边形,DF=CF=5,
∴ ACFD是菱形,∴AD=5,
设CE=x,则AE=5-x,∴CD2-CE2=AD2-AE2,
即62-x2=52-(5-x)2,解得:x=3.6,即CE=3.6,
∴DE===4.8,∴BD=2DE=9.6.
21.(12分)(2025·烟台福山区期末)如图,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止.点P,Q的速度都是1 cm/s,连接PQ,AQ,CP,设点P,Q运动的时间为t(s).
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形
(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形 求出此时菱形AQCP的面积.
【解析】(1)由题意,得:BQ=t,DP=t,
∵四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=8,
∴CD=AB=4,AD=BC=8,
∴AP=8-t,
当四边形ABQP是矩形时,BQ=AP,
∴t=8-t,解得:t=4,
∴当t=4时,四边形ABQP是矩形;
(2)∵AB=4,BQ=t,∠B=90°,
∴AQ==,
当四边形AQCP是菱形时,AP=AQ,
∴=8-t,解得:t=3,
当t=3时,BQ=3,
∴CQ=BC-BQ=5,
菱形AQCP的面积为CQ·AB=5×4=20(cm)2.
22.(13分)【三角形中位线定理】
已知:如图①,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点.直接写出DE和BC的关系;
【应用】
如图②,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,若BC=5,CD=3,EF=2,∠AFE=45°,求∠ADC的度数;
【拓展】
如图③,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点E,点M,N分别为AD,BC的中点,MN分别交AC,BD于点F,G,EF=EG.
求证:BD=AC.
【解析】【三角形中位线定理】DE∥BC,DE=BC;
理由:∵点D,E分别是边AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=BC;
【应用】连接BD,如图所示,
∵E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EF∥BD,BD=2EF=4,
∴∠ADB=∠AFE=45°,
∵BC=5,CD=3,
∴BD2+CD2=25,BC2=25,
∴BD2+CD2=BC2,
∴∠BDC=90°,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°;
【拓展】取DC的中点H,连接MH,NH.
∵M,H分别是AD,DC的中点,∴MH是△ADC的中位线,
∴MH∥AC且MH=AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半),
同理可得NH∥BD且NH=BD.
∵EF=EG,∴∠EFG=∠EGF,
∵MH∥AC,NH∥BD,
∴∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM,
∴∠HMN=∠HNM,∴MH=NH,∴AC=BD.

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