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树德中学高 2025 级高一下学期 4 月阶段性测试数学试题 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
考试时间：120分钟 满分：150分 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．计算下列各式，结果为 3的是（ ）
第一部分（选择题 共 58分）
tan30
1 tan15
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 A． 2 sin15 2 cos15 B． cos
215 sin15 cos75 C． D．
1 tan 2 30 1 tan15
目要求的. 10．下列说法正确的是（ ）
1．已知平面向量 a 1, x ,b 3, 1 ，若 a⊥b，则 x A．已知 | a | 1， | b | 2，则b a 2b 的最小值为 6
1 1
A． 3 B．3 C． D． B．在 ABC中，若 AB BC 0 ， 则3 3
A B C 为 钝角 三 角 形
9π 9π C．在 ABC中，若点 P满足 PA PB PB PC PC PA，则 P为 ABC的垂心2．点 A (tan ,cos )在平面直角坐标系中位于 5π 3 r
5 5 D．若 | a | 2 3， | b | 2， a与b的夹角为 ，则 a在b方向上的投影向量为- b
A 6 2．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
π 11．数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数
y Asin x . 像我们
3．下列四个函数中，以 π为最小正周期，且在区间 ( , π)上单调递减的是
2 平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发
x 声体在全段振动，产生频率为 f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部
A． y tanx B． y sin C． y | sinx | D． y cos2x
2 分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如
2 f , 3 f , 4 f 等，这些音叫谐音，因为振
4 1 1．下列命题 中 正确的是 幅较小，我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是 y sin x sin 2x sin3x ，
A．若 | a | | b | 2 3，则 与 的方向相同或相反
a b n 1 *
B．若 a//b， 记 f (x) sin kx n N ，则（ ） b//c，则 a//c n k 1 k
C．若 A B= DC， 则 A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点
D．若 a b，则 a//b
5．在直角梯形 ABCD中， AB / /CD,AB AD,AB 2DC, E为腰 BC边的中点，F为对角线 AC上的

点，且 AF 2FC,若以 AB a,AD b,则向量FE
5 1 5 A a b B a 1
1 1 1 1
． ． b C． a b D． a b
12 6 12 6 3 2 3 2
sin( π) 3 cos 1 sin(2 π6．已知 ，则 )的值是
3 3 6
1 1 7
A． B．
7
C． D．
3 3 9 9
π 3 π π
7．如图为函数 y sin(2x ) y = f (x)的图象， P,R,S为图象与 x轴的三个交点，Q为函数图象在 y轴右侧部 A． 2 的最大值为 B． y f3(x)在 , 上单调递增
3 2 6 6

C y f (x) 2π D n N* QP QR QR QS ． 4 的周期为 ． , fn (x) n x分上的第一个最大值点，则 的值为
第二部分（非选择题 共 92分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
π
12．已知圆心角为 的扇形面积等于3π，则该扇形的弧长为___________.
6
A． π 2 B． π 4 C． π2 2 D． π2 4 13．已知函数 f (x) 2 cos( x
π
)是奇函数，则 tan 的值为___________.
3
8．已知函数 f (x) sin(2x
π
) 5π π ，若 , ，总存在唯一实数 0,m

，使得 f ( ) f ( ) 012 4 ， 14．已知向量 a 1,0 ，b 0,1 ， c cos ,sin ， 0,2π6 .若 a b [a c] [b c]（其中 x 表示不
则实数m的取值范围为 超过 x的最大整数，如： 3.1 3， 1.7 2，则 | a b 2c |的取值范围为___________.
π , π π π 5πA． B．[ ,
5π) [π , πC． ) D ． ,
4 3 4 12 4 3 4 12
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. f x 3sin(2 x π ) 2sin2 ( x π π18．(17分)已知数 ) 1（ 0）的相邻两对称轴间的距离为 .
15 (13 ) xOy A( 3 , 1
6 12 2
． 分 如图，在平面直角坐标系 中，锐角 的终边与单位圆交于点 )，射线OA绕点O
2 2 (1)求 f x 的解析式；
按逆时针方向旋转 后交单位圆于点 B，点 B的横坐标为 f ( )． (2)将函数 f x π 1的图象向右平移 个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），
(1)求 f ( )
2π 6 2
的表达式，并求 f ( )的值；
3 y g x π 2π π 得到函数 的图象，求 g x 在 x , 上的单调递增区间；
(2) f ( π) 5若 ， π，0 ，求 tan( ) 6 3的值．
6 5 4 g x 4 x π , 4π (3)记方程 在 6 3 上的根从小到大依次为 x1， x2，…， xn，3
若m x1 2x2 2x3 2xn 1 xn，试求 n与m的值.

16．(15分)已知 a 1,1 ,| b | 1, a与b的夹角 45 ．
(1)求 | a 2b |的值；

(2)若向量 2a b 与 a 3b 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
19．(17分)已知平面直角坐标系中，点 A(a, 0),B(0,b)（其中 a,b为 常 数 ， 且 ab 0 ），点O为坐标原点．
(1)已知点 P在线段 AB上靠近 B点的四等分点上，请用向量OA ,OB表示OP .
17．(15分)在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在 (2)线段 AB的n等分点按与 A的距离由近到远分别记为 P , P
1 2
, P3 , , Pn 1，其中 n N ,n 2．
涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度 y
x OA OP与时间 的关系表： (i)当 n 2026时，求 1 OP2 OPn 1 OB 的值（用含 a,b的式子表示）；

x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 (ii)当 a b 1, n 8时，求OPi (OPi OPj ) 1 i n 1,1 j n 1, i, j N 的最小值．
y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
(1)若某天这个港口的水面深度 y与时间 x的函数关系可用
y Asin( x π ) B, A 0, 0, 0, 这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； 2
(2)依照(1)中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4米，安全条例规定至
少要有 2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使
该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？
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树德中学高 2025 级高一下学期 4月阶段性测试数学试题参考答案
17．【详解】（1）根据表中数据可画出如图所示的散点图，
1-8. BBCDA CDB 9.AD 10. ACD 11.BCD
12． π 13. 3 14. 10, 2 2 或 10, 6 4 2 3
1
15 3
π
．【详解】（1）由题意知， sin ，
2 cos
，因为 为锐角，所以 .
2 6
因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转 后交单位圆于点 B，
π
所以 f cos cos 6 . 由已知数据结合图象可得 A 2.5，B 5
2π π
，T 12， ，
T 6
f 2π 2π π 5π π π 3 π cos cos cos3 3 6 6
π cos . ............5分6 6 2 故 f (x) 2.5sin

x

5 . 6
2 f π 5 cos π π 5（ ）若 ，则 cos ， 又 f (0) 2.5sin 5 5，可取 0，
6 5 6 6 5
所以
2
因为 π,0 ，所以 sin 1 cos2 1 5 2 5 ，所以 tan
sin
2 . ............8分
5 5 cos f x 2.5sin
π
x 5； ............5分
6
π
π tan tan 4 2 1 1 π
π 1
则 tan π . ............13
（2）由题意可得 y 2.5sin x 5 6.25 sin x 分
4 1 2 3 6
，化简得 ， ............8分 6 2
1 tan tan
4 π
所以 2kπ
π x 5π 2kπ,k Z，解得1 12k x 5 12k， k Z，
6 6 6
16. 【详解】（1） a 1 1 2, a b 2 1 2 1 又0 x 24，取 k 0可得：1 x 5，取 k 1，可得13≤ x≤17， 分
2 ............12
2 所以该船可以 1点进港，5点离港，或 13点进港，17点离港，a 2b a 2b a 2 4a b 4b 2 2 4 4 10 ............6分
所以卸货最多只能用 4小时时间. ............15分
（2）因为向量 2a b 与 a 3b 的夹角为锐角，
2a b a 3b 0 2a
π 2 π π π
所以 ，且 b a 3b 18．【详解】（1） f x 3 sin 2 x 2sin x 1 3 sin 2 x cos 2 x 与 不共线， 6 12 6 6
2a b 3 π 1 对于 a 3b 0， 2 sin 2 x cos 2 x π π π 2 6 2 6 2sin 2 x 2sin 2 x 6 6
2 a 2 2 6 a

得 b 3 b 2 4 2 6 3 0，解得1 6， ............12分 T π 2π

∵ ∴T π又∵T π，∴ 1 ∴ f x 2sin 2x ............4分
若 2a b a 3b 2 2 2 与 共线，
f x 2sin 2x π（2） 向右平移 个单位，得 y 2sin π 2 x

2sin
2x π ;
2 6 6

3


则存在 2a b a 3b ，得 ，解得 3 6， 再把横坐标缩小为原来的 1（纵坐标不变），得 g x 2sin 4x π 2 3 ............7分

所以若向量 2a b 与 a 3b 的夹角为锐角，实数 的取值范围为 1, 6 6,6 . ............15分
x π , 2π 4x π π , 7π∵ ，可得

6 3 3
，
3 3
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π π π 3π 7π （ii）当 a b 1, n 8时，求增区间，则 4x , , , ，3 3 2 2 3 8 i i OP OA OB,OP 8 j OA j

i j OB，
g x π , 5π , 11π , 2π
8 8 8 8
∴ 的单调递增区间 ............10分
6 24 24 3 16 i j
∴OPi OP OA
i j
j OB ，8 8
（3）由方程 g x 4 ，即 2sin 4x
π

4
，即 sin 4x
π

2
,
3 3 3 3 3 OP OP OP 8 i i 16 i j i j ∴ i i j OA OB8 8 OA OB
x π 4π
8 8
因为 , ，可得 4x
π

π π
,5π ,设 4x
π
，其中

,5π

，即 sin
2 ，
6 3 3 3 3 3 3 8 i 16 i j i i j i 4 j i2 12i 64 ，
结合正弦函数 y sin x
2 π 64 32
的图象，可得方程 sin 在区间 ,5π 有 5个解，即 n 5，3 3 i 4 j i2 12i 64
令 ，
其中 1 2 3π
M j
， 2 3 5π， 3 4 7π

， 4 5 9π， 32
4x π π π π i 4 7 i
2 12i 64 2
即 1 4x2 3π 4x 4x 5π i 1, 2, 3 M j M 7
i 5i 36
， 2 3 ， 当 时， ，3 3 3 3 32 32
4x π3 4x
π
4 7π 4x
π 4x π 9π i 2 15，3 3 4 3 5
，
3 当 或 3时，上式有最小值为 ，16
x x 11π x x 17π x x 23π
2
解得 1 2 ， 2 3 ， 3 4
29π
， x4 x ， i 4 M j 4 12 4 6412 12 12 5 12 当 时， 1，32
m x 20π
2
所以 1 2x2 2x3 2x4 x5 x x i 11i 60 151 2 x2 x3 x3 x4 x4 x5 3 当 i 5, 6, 7时M j M 1 ，当 i 5或 6时，上式有最小值为 ．32 16
20π
综上， n 5，m . ............17分 15
3 综上，OPi OPi OPj 的最小值为 ． ............17分16
3
19．【详解】（1）证明：已知点 P在线段 AB上靠近 B点的四等分点上，则 AP AB，则4

OP 3 OA OB OA4 ,

OP 1 3 OA OB . ............4分
4 4

OP 2025

（2）（i）由题意得， 1 OA
1
OB，
2026 2026

OP 2024
2 1 2025
2 OA OB, ,OP2025 OA OB，∴OP1 OP2025 OA OB，2026 2026 2025 2026
对任意正整数m , n，且m n 2026，
2026 m m 2026 n n OPm OA OB,OPn OA OB，有OPm OP2026 2026 2026 2026 n
OA OB，

∴OA OP OP OP OB 2027

1 2 2025 OA OB2 ，

∴ OA OP1 OP2 OP OB
2027 2027
OA OB a2 b2 ． ............9分2025 2 2
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