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2026年中考数学重点专题专练：反比例函数-江苏适用
一、单选题
1．下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．点A在反比例函数的第一象限的图象上，B为线段的三等分点，过点B作轴，交该反比例函数的图象于点C，交x轴于点D，，，则k的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
4．已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　）
A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧
C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧
6．如图，平行四边形顶点O为原点，点A在x轴正半轴上，点在反比例函数第一象限图象上，双曲线交边于点E，延长交y轴于点D，若，平行四边形的面积为6，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的顶点，都在第一象限，，都在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，点在边上，反比例函数的图象过点．若的面积为2，则的值为（ ）
A．10 B． C． D．8
8．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．拉力的大小与符合反比例函数关系
B．当的长增大时，拉力在减小
C．的长每增大，所施加的拉力就减小
D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了
9．如图，线段是直线的一部分，点A是直线与y轴的交点，点B的纵坐标是8，曲线是双曲线的一部分，已知点C的横坐标为4，由点C开始不断重复的过程，形成新的函数图像，若点在新的函数图像上，则符合条件的点P共有（ ）个
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，在函数（是常数且，）的图像上任取两点和（在左侧），分别过、作两条坐标轴的平行线，得到矩形（在左侧），连接、、，作直线分别交轴、轴于点、．在下列说法中，一定正确的是（ ）
①、、三点共线；②；③若，则；④四边形和四边形的面积都等于．
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
11．已知反比例函数当时，随的增大而增大，写一个满足条件的反比例函数解析式_______．
12．写出一个具有性质①②的函数__________．
①当时，；
②当时，y的值随x值的增大而减小．
13．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，则动力关于自变量动力臂的函数解析式为_____．

14．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形，顶点与在函数的图象上，轴，垂足为，则的值为________．
15．如图，已知经过原点的直线与反比例函数的图象交、两点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点坐标为________．
16．如图，在反比例函数的图象上有动点A，连接，的图象经过上的动点B，过点B作轴交函数的图象于点C，过点C作轴交函数的图象于点D，交x轴点E，连接，，．则的最大值为 _____．[参考公式：]
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A；直线：与x轴交于点B，且与直线交于点C．
(1)求点A、点B、点C的坐标；
(2)若反比例函数经过点C，求反比例函数解析式．
18．某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
19．在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象交于点和．
(1)当时，求反比例函数的解析式；
(2)要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，求应满足的条件以及的值的范围；
(3)设二次函数的图象的顶点为，当是以为斜边的直角三角形时，求的值．（参考：两点间距离公式）
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求一次函数的表达式；
(2)根据函数的图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若P是x轴上一点，且，求点P的坐标．
21．如图1，在矩形中，，．动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，、两点同时停止运动．设点、的运动时间均为秒（），记的面积为，与的面积之比为．
(1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
22．反比例函数图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称中心为原点，对称轴为一、三或二、四象限的角平分线所在的直线．请利用它的对称性解决下列问题：
(1)直线与双曲线交于点两点，则___．
(2)如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点是反比例函数的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，求这个反比例函数的解析式．
(3)如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是___________．
《2026年中考数学重点专题专练：反比例函数-江苏适用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D C C B C A D
1．B
【详解】解：∵反比例函数的定义为形如（为常数，）的函数，
∴对各选项分析如下：
A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，不合题意；
B、符合反比例函数的形式，是反比例函数，符合题意；
C、分母不是单独的，不符合反比例函数定义，不合题意；
D、不符合反比例函数定义，不合题意；
∴答案选B．
2．B
【分析】本题利用反比例函数的性质解题，先根据函数解析式判断比例系数的符号，得到函数在第三象限的增减性，再结合的大小关系比较的大小．
【详解】解：反比例函数中，，
函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
，
点、都在第三象限的函数图象上，
．
3．B
【分析】根据轴且，得、横坐标均为，由在反比例函数上得纵坐标，再分为靠近原点和靠近的两种三等分情况，利用坐标比例关系得到、坐标，结合长度列方程求解．
【详解】解：∵ 轴，，在轴上，
∴ 、的横坐标均为，
∵ 在上，
∴ 点坐标为，
设点坐标为，
∵ 在反比例函数上，
∴ ．
为的三等分点，分两种情况讨论：
情况1：，
∵ 在上，从原点出发的线段上点的坐标成比例，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，
代入得，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
解得；
情况2：，
同理得 ，，
∵ ，
∴ ，
代入得，
∴ ，
由得 ，
解得 ，
综上，的值为或．
4．D
【分析】根据函数图像上点的坐标特征得，，，结合已知等式逐步推导，即可求出的值．
【详解】解：∵点，在图像上，
∴，，
∵点在图像上，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
5．C
【分析】利用反比例函数的性质得到比例系数的符号，求解得到的取值范围，再结合数轴上数的大小关系判断点的位置即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴，
∵数轴上点表示的数为，
∴点一定在的左侧．
6．C
【分析】作轴于，轴于，利用平行四边形的面积以及，求得矩形的面积为9，根据反比例函数系数的几何意义得到，进一步求得，得出，，从而求得，设，则，代入反比例函数解析式得到关于的方程，解方程求得的值，从而求得点的坐标．
【详解】解：如图，作轴于，轴于，
四边形为平行四边形，
，
，
，
∴四边形为矩形，
点在反比例函数第一象限图象上，
，
，平行四边形的面积为6，
矩形的面积为9，
，
反比例函数为，
，解得，
，
，，
矩形为正方形，
，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
设，
，
点在反比例函数的图象上，
，
解得（负数舍去），
．
7．B
【分析】设正方形和正方形的边长分别为和，表示出等各点坐标，用待定系数法求出直线的解析式，求出与边的交点，将沿分割为和，以为底和分别为高求出两个三角形面积之和，由求出，再由两点在上得，求出值．
【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
，
设直线的解析式为，
将代入，得，
将代入，得，
，
直线的解析式为，
设交于点，
所在直线为，
将代入，得，
，
，
以为底，
点到的距离为，点到的距离为，
，
，
，
在反比例函数的图像上，
即，
将代入，得，
解得，，
，
，
．
8．C
【分析】仔细观察图象，得出与的积为定值，从而得出满足反比例函数关系，利用函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：由图象中数据发现：
，
拉力与距离的乘积不变，
拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意；
由图象可得，当的长增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意；
由图象知，当时，，当时，，当时，，
，
的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意；
当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意．
9．A
【分析】先求出点，，即可求出双曲线的解析式为，从而求出，即可得出新的函数图像是周期为4的分段函数，由图像的平移可得，，根据点，得出所有P都在直线上，且直线过点，由此得出直线在上方，画出图像，根据图像可得直线与新的函数图像有6个交点，即可求解．
【详解】解：在直线中，
令得，即，
∵B在直线上，纵坐标为8，
代入得，解得：，即，
∵B在上，
则，
故双曲线为，
∵C横坐标为4，代入双曲线得，即，
∵函数重复，
∴新的函数图像是周期为4的分段函数，
由图像的平移可得，
，
∵点，
令，则，
代入得，
即所有P都在直线上，
令得，
∴直线过点，
当时，，
∵，
故直线在上方，
画出图像如图：
根据图像可得直线与新的函数图像有6个交点，
即若点在新的函数图像上，则符合条件的点P共有6个．
10．D
【分析】先设反比例函数上点、，由题意确定矩形顶点，，①通过待定系数法求直线的正比例函数解析式，验证点坐标满足解析式，、、三点共线；②用待定系数法求直线的一次函数解析式，分别求出其与坐标轴交点、的坐标，通过两点间距离公式证明，进而得到；③利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合推导出等腰三角形，再结合平行线性质、三角形外角定理证明；④判断两个四边形为梯形，确定对应底和高，代入梯形面积公式化简，结合反比例函数的性质，证明两个四边形面积均等于．
【详解】解：设反比例函数（是常数且，）上的点，（在左侧，故），
∵点、在反比例函数图像上，
∴，，即，，
∵过、作坐标轴的平行线，得矩形（在左侧），
∴矩形顶点坐标为，，
①设直线的解析式为，将代入得
，
∴，即直线：，
将 代入，得 ，
∴点在直线上，
∴，，三点共线；
故①正确；
②设直线：，代入，得
，
解得，
∴直线：，
令，得，令，得，
∴， ，
∴，
，
∴；
故②正确；
③如图，设，交于点，
∵四边形是矩形，
∴，对角线互相平分，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，且，
∴；
故③正确；
④，
，
故④正确；
综上，正确的有①②③④．
故选：D．
11．
（答案不唯一）
【详解】解：设反比例函数解析式为，
根据题意，当时，随的增大而增大，可得，
取，可得反比例函数解析式为（答案不唯一）．
12．（答案不唯一）
【分析】根据常见函数的性质，构造同时满足两个条件的函数即可，任意写出一个符合要求的函数即可．
【详解】解：构造反比例函数，
将，代入解析式得：
，
解得，
得函数，
根据反比例函数的性质，当时，函数在每个象限内随的增大而减小，
当时，，该函数满足随的增大而减小，符合题目要求．
13．
【分析】根据“阻力阻力臂动力动力臂”列式求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故答案为：．
14．4
【分析】过点B作轴交于点E，根据等腰直角三角形的性质可得，，，从而得到点，，进而得到，，再由，可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作轴交于点E，
∵轴，
∴，
∵等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴点，，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
15．
【分析】利用“一线三垂直”，证明从而求得C点坐标．
【详解】设：，反比例：
将点A代入可得：
；
联立可得：
过点B作y轴的平行线l，过点A、点C作l的垂线，分别交于D，E两点，
则
，，
∴点C的横坐标为点C的纵坐标为
∴．
16．
【分析】设，则的中点B为，即可求得，进而表示出C、E、D的坐标，即可利用三角形面积公式求出、、及的值，从而求出的值．
【详解】解：动点A在反比例函数的图象上，
设，
的中点B为，
函数的图象经过点B，
，
，
经过点B的函数表达式为，
过点B作轴交函数的图象于点C，
点的纵坐标为，
把代入得，，
、，
把代入得，，
，
、，
、，
，
，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．(1)，，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、两直线的交点及反比例函数的待定系数法.解题的关键是掌握求直线与坐标轴交点的方法及联立方程组求交点坐标．
（1）先分别求出两条直线与轴的交点坐标，再联立两条直线的方程组求出交点的坐标，先令求出与轴交点，再联立方程组求出两直线交点；
（2）设反比例函数解析式为，将点的坐标代入求出的值，从而得到反比例函数解析式．
【详解】（1）解：对于直线，
令, 得，
解得，
，
对于直线，
令, 得，
解得，
，
联立两直线方程：，
解得，，
；
（2）解：设反比例函数解析式为，
反比例函数经过点，
，
解得，
反比例函数解析式为．
18．(1)反比例函数的解析式为；
(2)气体的体积应不小于．
【分析】（）设其函数表达式为，由点在函数图象上可得，然后求出的值即可；
（）根据当时，气球会爆炸，则有，即，然后求出的范围即可．
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，
由点在函数图象上可得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，气球会爆炸，
∴，
∴，解得：，
因此，为了安全起见，气体的体积应不小于．
19．(1)
(2)且
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的解析式、二次函数的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数和二次函数的增减性以及直角三角形斜边中线的性质．
（1）本题考查了待定系数法求反比例函数解析式将代入得，设反比例函数为，代入点坐标求；
（2）本题考查了反比例函数和二次函数的增减性反比例函数当时 在每一象限内随增大而增大；将二次函数配方得顶点式，确定对称轴，结合确 定的范围；
（3）本题考查了二次函数的顶点坐标、直角三角形的性质以及勾股定理，先求出顶点，利用关于原点对称得原点平分，由直角三角形斜边中线性质得，利用两点间距离公式列方程求解．
【详解】（1）解：当时，，
点在反比例函数图象上，
设反比例函数的解析式为，
将代入得：，
解得：，
反比例函数的解析式为；
（2）解：要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，
对于反比例函数，需(此时在每一象限内随增大而增大)，
二次函数，
对称轴为直线，
当时，二次函数开口向下，在对称轴左侧随增大而增大，
即时，随增大而增大，
综上所述，且；
（3）解：由(2)可得：，
是以为斜边的直角三角形，且与关于原点对称，
原点平分，
(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)，
，
，
，
，
解得，．
20．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）先求得点、点的坐标，再代入一次函数解析式即可求解；
（2）观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可，注意等号；
（3）首先求出的面积，再设，然后根据题意得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵，在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，，
∴，，
把，代入一次函数得，
解得，
∴一次函数解析式为．
（2）解：观察图象，不等式的解集为或．
（3）解：如图，连接，，
当时，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
解得，
∴或．
21．(1)，
(2)图见解析，对于，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，对于，当时，随着的增大而减小；
(3)
【分析】（1）勾股定理求出的长，分和，求出，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出；
（2）列表，描点，连线画出函数图象即可；
（3）图象法求出不等式的解集即可．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∴当点在上运动时，，此时，作于点，
则，
∴；
当点在上运动时，，则，
∴；
由题意，，则；
综上：，；
（2）解：列表如下：
1 3 5 7 9
6
6 3 0
9 3 1
作图如下：
由图象可知：对于，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，对于，当时，随着的增大而减小；
（3）解：由图象可知：时，．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点关于原点对称，可得，，进而即可求解；
（2）根据反比例函数的对称性可得阴影部分的面积和正好为正方形面积的，由此求出正方形的边长，进而得出点P的坐标，代入反比例函数解析式即可求解；
（3）先求出点A，B的坐标，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数图象与点C相交时，k取最小值，设反比例函数与线段相交于点时k值最大，列出k关于m的二次函数关系式，结合m的取值范围，即可求出k的最大值．
【详解】（1）解：直线与双曲线交于点两点，
点关于原点对称，，
，，
（2）解：∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的，
设正方形的边长为b，则，
解得，
∵正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，
∴点P的横坐标，
∴，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴这个反比例函数的解析式为．
（3）解：∵点，轴，轴，
∴当时，，
当时，，解得，
∴点A、B的坐标分别为，，
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数图象与点C相交时，最小，
设反比例函数与线段相交于点时k值最大，
则，
∵，
∴当时，k取最大值9，
此时交点坐标为，
∴k的取值范围是．
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