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2026年中考数学重点专题专练：方程与不等式-江苏适用
一、单选题
1．不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10元，则该商品每件的进价为（ ）
A．100元 B．105元 C．110元 D．120元
4．已知一个不完整的题目：某工厂计划生产1800个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多生产5个，结果延期5天完成
B．每天比原计划多生产5个，结果提前5天完成
C．每天比原计划少生产5个，结果延期5天完成
D．每天比原计划少生产5个，结果提前5天完成
5．下列关于的方程有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
6．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（ ）．
A． B． C． D．
7．小明坐滴滴前去火车高铁站，可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟．若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（ ）
A． B． C． D．
8．为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校欲购进《论语》《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元；若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元．设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．若关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数且不为0），则下列说法：①当的值发生变化时，该二次函数恒过两个定点，且这两个定点的距离为；②若该二次函数的图象与轴有和两个交点，则的最小值为；③若当时，总有，则的取值范围是或．
其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．若代数式有意义，则的取值范围为________．
12．一元二次方程的根是____．
13．某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，则A型机器人每小时搬运物品___________．
14．若，满足方程组，则的值为______．
15．如图，矩形中，点M为上一点，连接，，若，在上截取，已知，，则的长为________．
16．如图，的顶点为坐标原点，点在轴的负半轴上，，点在第二象限，反比例函数的图象经过点，过点作的平行线交图象于点，若，则的值为__________．
三、解答题
17．解方程与解不等式组
(1)解方程：
(2)解不等式组：
18．定义：使成立的一对有理数、称为“相伴有理数对”，记作．例如：因为，所以是“相伴有理数对”．
(1)判断数对是否为“相伴有理数对”．并通过计算说明理由；
(2)若是“相伴有理数对”．求的值；
(3)若是“相伴有理数对”，求的值．
19．某公司重新装修会议室，计划购买两种型号壁纸．已知每张甲种型号壁纸比乙种型号壁纸贵15元．用1200元购买甲种型号壁纸与用900元购买乙种型号壁纸的张数相等．
(1)每张甲种型号壁纸与每张乙种型号壁纸的价格分别为多少元？
(2)该公司计划购买甲种型号壁纸与乙种型号壁纸共120张，总费用不超过6150元，那么最多能购买多少张甲种型号壁纸？
20．某电商销售同品牌的A电器和B电器，为了解销售情况，该电商持续两周对两种电器的销售情况进行跟踪调查，如下表：
A电器销售（件） B电器销售（件） 销售利润（元）
第一周 20 20 5000
第二周 30 15 5250
(1)请求出出售一件A电器和B电器的利润．
(2)该电商准备再次从厂家购进两种电器共100件，若B电器的进货件数不超过A电器进货件数的2倍，在（1）的条件下，请设计该如何进货，才能总利润最大；
(3)在实际进货中，厂家将A电器的价格下调了（）元，并规定每位电商最多则在A电器70件，若电商的销售价格不变，在（2）的条件下，该如何进货，才能利润最大．
21．矩形中，E为边上一点，F为矩形内一点，且，，延长与直线交于点Q，与直线交于点H，延长与直线交于G点．
(1)如图1，当E为中点时，
①求证：；
②若，，求长；
(2)如图2，若，当G恰好为中点时，求证：．
22．【观察思考】
【规律发现】
(1)第5个图案中“◎”的个数为_____；
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，．．．，第个图案中“★”的个数可表示为_____．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的3倍．
《2026年中考数学重点专题专练：方程与不等式-江苏适用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B D C D D B D
1．D
【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可，注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
不等式两边同时除以，不等号方向改变，得：，
因此不等式的解集为．
2．A
【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集，准确地解一元一次不等式是解题的关键．先求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案．
【详解】解：∵，
∴，
不等式的解集在数轴上表示为：．
故选：A．
3．A
【分析】找准等量关系“利润实际售价进价”，设未知数列方程即可求解．
【详解】解：设该商品每件的进价为元，
由题意得，
解得．
因此该商品每件的进价为100元．
4．B
【分析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推得缺失条件．
【详解】解：∵设实际每天生产零件个，给定方程为，
∴原计划每天生产个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件，
∵工作时间，
∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为，
∵方程表示原计划时间减去实际时间等于天，
∴原计划用时比实际多天，即实际生产提前天完成，
因此题中缺失条件为每天比原计划多生产个，结果提前天完成．
5．D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值判断方程是否有实数根，若，则方程有实数根，否则无实数根，整式方程先化简再判断是否成立.
【详解】A选项：方程为，
，
，方程无实数根；
B选项：方程为，
，
，方程无实数根；
C选项：移项化简方程得，等式不成立，方程无实数根；
D选项：方程为，
，
，方程有实数根.
6．C
【分析】根据题中新定义的运算规则，将所求方程转化为常规分式方程，再按解分式方程的步骤求解，最后检验即可得到结果．
【详解】解：∵由新定义，
∴，
∵，
∴，
去分母得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
7．D
【分析】根据走路线B的全程能比走路线A少用15分钟列出分式方程即可．
【详解】解：设走路线A时的平均速度为千米/小时，
∵路线B全程比路线A多7千米，车速比路线A提高，
∴路线B的路程为千米，路线B的平均速度为千米/小时，
∵题目中速度单位是千米/小时，需要将15分钟转换为小时，即15分钟小时，
又∵走路线B比走路线A少用15分钟，
∴路线A的用时减去路线B的用时等于，根据时间路程速度，可得方程：
8．D
【分析】根据两次购买的等量关系，总费用等于两种图书的费用之和，据此列出方程组即可．
【详解】解：购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元，
可得；
购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元，
可得
因此可列方程组．
9．B
【分析】本题利用整体换元思想，对比两个二元一次方程组的结构，根据原方程组的解得到新方程组中对应整体的值，即可求解x，y．
【详解】解：∵ 原二元一次方程组的解为
待求解方程组与原方程组结构一致，
将和看作整体，可得
，解得．
10．D
【分析】本题考查二次函数的定点问题、最值问题和不等式恒成立问题，需要分别对三个说法逐一验证，用到因式分解、二次函数的性质、距离公式等初中知识点．
【详解】解：，
∵要恒过定点，令含的系数为0，
∴，解得或
当时，；
当时，，
∴两个定点为和，
两点距离为，
故①正确；
∵该二次函数的图象与轴有和两个交点，
∴令，两边乘得，方程的根是，
，，，
∴
，
∵当时，，
∴当时，最小值为，
故②正确；
当时，，，
∵
当时，，则，即不等式；
当时，的对称轴，此时抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，当时，值为，由可得，解得，
综上，或，
故③正确；
三个说法都正确，正确个数为3．
11．且
【分析】根据题意得到，解不等式组即可．
【详解】解：代数式有意义，
，
解得且．
12．
【详解】解：
或
解得．
13．100
【分析】设B型机器人每小时搬运物品，表示出A型机器人每小时的搬运量，根据A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，求解检验后即可得到A型机器人每小时的搬运量．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运物品，则A型机器人每小时搬运物品．
根据题意列方程得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义．
则．
即A型机器人每小时搬运物品．
14．
【分析】将方程组中的两个方程相加，再进行化简即可得出答案．
【详解】解：，
①＋②，得：，
∴，
即的值为．
15．
【分析】根据已知可得，由矩形的性质及三角形内角和定理可得，作于，根据全等三角形的判定与性质得，，设，则，，，最后由勾股定理可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
∴，
，
∴，
，
作于，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，，，
在中，，
，
，，
当时，，不符合题意，故舍去，
，，
，
．
16．
【分析】过作轴于点，过作轴于点，设，则，，再由平行证明，，解得，，则，把代入解方程即可．
【详解】解：过作轴于点，过作轴于点，则，
设，则，，
∵，
∴，
∵过点作的平行线交图象于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
把代入得，
整理得，
解得，
∵，
∴．
17．(1)
，
(2)
【分析】本题考查了解方程和解不等式组：
（1）用因式分解求解；
（2）求出每个不等式的解后，再取交集．
【详解】（1）解：
解得：，．
（2）解：
解不等式：，
得：，
解不等式：，
解得：，
不等式组的解为．
18．(1)
不是，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了对新定义的理解与应用、一元二次方程的求解以及代数式的化简求值，解题的关键是准确理解“相伴有理数对”的定义，将其转化为等式进行计算．
（1）根据定义，分别计算与的值，比较是否相等；
（2）将代入定义式，得到关于的方程，求解方程；
（3）由是“相伴有理数对”得到，再将所求代数式展开，代入该等式化简求值．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
不是“相伴有理数对”．
（2）解：是“相伴有理数对”，
，
即，
整理得，
即，
解得．
（3）解：是“相伴有理数对”，
，
．
19．(1)每张甲种型号壁纸价格为60元，则每张乙种型号壁纸的价格为45元
(2)该公司最多能购买甲种型号壁纸50张
【分析】（1）设每张乙种型号壁纸价格为元，则每张甲种型号壁纸的价格为元，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）设计划购买甲种型号壁纸张，则计划购买乙种型号壁纸张，然后根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每张乙种型号壁纸价格为元，则每张甲种型号壁纸的价格为元，
根据题意，得，解得．
经检验：是原分式方程的解
．
答：每张甲种型号壁纸价格为60元，则每张乙种型号壁纸的价格为45元．
（2）解：设计划购买甲种型号壁纸张，则计划购买乙种型号壁纸张，
根据题意，得，解得．
答：该公司最多能购买甲种型号壁纸50张．
20．(1)一件A电器的销售利润为100元，一件B电器的销售利润为150元
(2)购进34件A电器和66件B电器才能获得最大利润
(3)当时，电商购进34件电器和66件电器才能获得最大利润；当时，电商购进电器数量满足的整数时，均获得最大利润；当时，电商购进70件电器和30件电器才能获得最大利润
【分析】（1）设一件电器的销售利润为元，一件电器的销售利润为元，根据表格中两周的销售利润列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进电器件，则购进电器件，总利润为元，列出y关于x的函数解析式，根据题意求出x的取值范围，根据一次函数的性质求解即可；
（3）求出y关于x的函数解析式为，根据m的取值范围，结合一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解∶设一件电器的销售利润为元，一件电器的销售利润为元．
得，解得：，
一件电器的销售利润为100元，一件电器的销售利润为150元．
（2）解：设购进电器件，则购进电器件，总利润为元，
则，即，
根据题意得：，解得：，
，
随的增大而减小．
为正整数，
当时，取得最大值，此时，
即购进34件电器和66件电器才能获得最大利润；
（3）解：根据题意得：，
即（）．
①当时，，随的增大而减小．
当时，取得最大值，电商购进34件电器和66件电器才能获得最大利润；
②当时，，，
即电商购进电器数量满足的整数时，均获得最大利润；
③当时，，随的增大而增大，
时，取得最大值，即电商购进70件电器和30件电器才能获得最大利润．
21．(1)①见解析；②
(2)见解析
【分析】（1）①先证明，，进一步可得结论．
②证明，以及．设，则，则，，进一步求解即可．
（2）由（1）可知，，证明，进一步可得．设，则，，进一步求解即可．
【详解】（1）证明：①E为BC中点，
．
又，
．
，，且，
∴，
，
．
又∵，
，
∴，．
②由①可知，，，
，
∵，，
，
，．
，
∴，
∴．
设，则，则，
，
，，
，
解得，（负根舍去）
．
（2）证明：由（1）可知，，，
∴，
，
∵，，
∴，
．
，
．
设，则，，
∴，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
∴，
，，
．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图形得出规律即可；
（2）根据题意得出规律即可；
（3）根据题意可知第个图案中“◎”的个数为个，，故可得出方程，解出的值即可．
【详解】（1）解：∵第1个图案中“◎”的个数为个；
第2个图案中“◎”的个数为6个；
第3个图案中“◎”的个数为9个；
第4个图案中“◎”的个数为12个；
……
第个图案中“◎”的个数为个；
∴当时，“◎”的个数为个．
（2）解：结合题干信息，得出规律，
第个图案中“★”的个数可表示为．
（3）解：第个图案中“◎”的个数为个，
∵，
结合题意，得出方程，
化简得，
解得（舍去）或．
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