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2026年中考数学重点专题专练：锐角三角函数-江苏适用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，是边上的中线，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一个矩形木箱放置在斜面上，此时恰好与地面平行，已知，，则点到所在直线的距离可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点O旋转到的位置．已知米，若栏杆的旋转角，则栏杆端点A上升的垂直距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如图，是的直径，点C在上，，垂足为点D，，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
6．如图，在中，，，为边上一点，且满足最大内角与最小内角之差为，则的长为（）
A． B． C．或 D．或
7．如图，在中，、分别是、的中点，将沿翻折，点的对应点为，且点恰好落在边上．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
8．如图，矩形所在的平面内有一点P且，P、A在直线同侧（P、A不重合），过点P作的平行线交直线于点Q．若，，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是1
C．的最小值是3 D．的最小值是
9．如图，为等边三角形，点在上运动，点在上运动，点在上运动，且，点为中点，点为中点，连接，，若，的面积为，则关于的函数图象大致是（）
A． B．
C． D．
10．如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．
二、填空题
11．计算：______．
12．在中，，，则__________．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O与原点重合，点A在x轴正半轴上，点，过点C作于点D，于点E，将沿着x轴正方向平移，当边经过点E时，平移的距离为____________．
14．如图，在正方形中，点、、分别在边、、上，连接、，若，，，则线段的长为_____．
15．如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________．
16．如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为___________．
三、解答题
17．计算：
(1)．
(2)
18．如图，在中，是的两条高，交于点，点为延长线上一点，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)求证：．
19．钓鱼是修身养性的户外休闲运动，闲暇之余，流连于江河湖泊之间，鸟语花香，绿树葱葱，享受大自然，怡然自乐……，“劝君莫食三月鲫，万千鱼子鱼腹中”，钓鱼是一种心情，钓获放流是一种境界！
如图一 静待鲤鱼上钩：是鱼竿，、是鱼线，是水面，点、点分别在矩形的一组邻边上，，米，米，米，，．
如图二 扬竿中鱼：鱼竿弯成圆弧，其圆心恰好是点，鱼线由于受到拉力作用，长度变为原来的1.2倍，即：．若的度数超过，鱼竿将有折断的危险，请你通过计算说明：是否有断竿跑鱼的危险？（参考数据：取3，，，）
20．如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
21．在矩形中，，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H．
(1)证明：．
(2)连结交于点K，若，求的值．
(3)作的外接圆，且．
①若与矩形的边相切时，求的长．
②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出的面积．
22．如图1和图2，在中，在边上（不与点重合），连接，并将绕点逆时针旋转90°得到．
(1)如图1，连接，过点作，交于点
①若，，则_____；
②求证：；
(2)如图2，将沿翻折，得到，过点作于点，连接
①判断与之间的数量关系，并说明理由；
②若的最小值为，请直接写出的长．
23．在平面直角坐标系中，O为原点，直角的顶点，，等边的顶点，，顶点D在第二象限．
(1)填空：如图①，的度数为 °，点D的坐标为 ；
(2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点D，E，F的对应点分别为，，．设，等边与直角三角形的重叠部分的面积为S．
①如图②，若边与边相交于点G，当与重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
《2026年中考数学重点专题专练：锐角三角函数-江苏适用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A C B C C A A
1．D
【分析】代入特殊角的三角函数值，再计算即可得到结果．
【详解】解：．
2．C
【分析】本题主要考查正弦的定义以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，即可求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：是边上的中线，，
，
在中，，
在中，，
故，
故选C．
3．C
【分析】过点作交于，根据平行线和矩形的性质推出，结合在中，求解即可．
【详解】解：如图，过点作交于，
由题意知，，
∴，
由矩形的性质知，，
∴，
∴在中，，
即点到所在直线的距离可表示为．
4．A
【分析】根据锐角正弦的定义在中，利用正弦的定义可得出，即可求出答案．
【详解】解：作于点H．
在中，米，，
∴，
∴（米）．
5．C
【分析】先求得，利用，代入数据计算即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
解得或（舍去），
∴的长为4．
6．B
【分析】分和，过点作于点，过点作于点，则，然后通过勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形进行求解即可．
【详解】解：若，如图所示，
∵，作，
∴，但此时不是最小角，故排除；
若，如图所示，过点作交于点，过点作交于点，则，
则，此时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
设，，则，
∴，
∴，
∴，
此时．
7．C
【分析】证明，得到求解即可；
【详解】解：根据折叠的性质，得，是的中点，
故,
故，
故，
故；
8．C
【分析】先证明，可得当时，最小，证明四边形是平行四边形，结合，可得当三点共线时，，如图，过作交的延长线于，证明为等边三角形，可得的最小值是；如图，过作的平行线交的延长线于，作关于的对称点，过作于，连接，，，可得，当三点共线时，，此时最小，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，∵矩形，
∴，，，
∵，P、A在直线同侧（P、A不重合），
∴，
∵在直线上，，
∴，，
∴，
当时， 最小，
∴，故A不符合题意；
如图，∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当三点共线时，，
∴的最大值为，故B不符合题意；
如图，过作交的延长线于，
当三点共线时，最小，
∴，
∴四点共圆，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴的最小值是；故C符合题意；
如图，过作的平行线交的延长线于，作关于的对称点，过作于，连接，，，
∴，，，
∴，，
∴，，
同理可得：，，
∴，，
∴，
当三点共线时，，此时最小，
∴，
∴最小值为，故D不符合题意.
9．A
【分析】设等边三角形边长为，分别表示出的底边和高，进而得到与的函数关系式，根据函数类型判断图象．
【详解】解：设等边的边长为，
∵为中点，，
∴，，
如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，过点作于，
∵为中点，
∴为梯形的中位线，即，
在中，，，
∴，
在中，，,
∴，
∴的高，
∴，
∴，
∴是关于的分段一次函数，图象为“”字形折线，且当时，，观察选项，只有符合．
10．A
【分析】连接交于点，过点作于点，过点作于点，根据菱形的性质以及勾股定理求出相关线段的长度，得出，当三点共线且时，取最小值，则取最小值，最小值为，最后利用等面积法进行求解．
【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作于点，过点作于点，
∵四边形为菱形，边长为5，，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
∴当三点共线且时，取最小值，则取最小值，最小值为，
∵菱形的面积为，
∴，
∴，
∴的最小值为．
11．2
【详解】解：
．
12．2
【分析】本题考查锐角三角函数中正切的定义，根据已知线段比例结合正切定义即可求解，解题关键是掌握正切的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作.
【详解】解：在中，，
，的对边为，邻边为，
．
13．
【分析】过点E作轴于点F，利用勾股定理求出，得到，证明出，得到，，解直角三角形求出，进而求解即可．
【详解】解：过点E作轴于点F，
∵，
∴，
∴
∴
∵四边形是菱形
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，即
∴
∴
∴当边经过点E时，平移的距离为．
14．
【分析】作于，则，解直角三角形得出，设，则，则，证明四边形、为矩形，求出，最后由勾股定理即可得解．
【详解】解：如图，作于，则，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴四边形、为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
15．/
【分析】先求出，，则可判断点在的外接圆上，设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于，可求，利用等腰三角形的三线合一性质求出，，利用正弦定义求出，求出，可得，利用勾股定理求出，由，当、、三点共线时，最小，最小值为，即可求解．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，
点在的外接圆上，
设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于，
，，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
∴当、、三点共线时，最小，最小值为．
【点睛】本题以半圆为载体，融合圆周角定理、动点轨迹、最值问题，通过确定的轨迹圆，利用“点到圆的最短距离为圆心距减半径”求解，体现转化化归、数形结合的核心数学思想．
16．
【分析】连接，依据折叠性质可得：，，，，，，再利用矩形性质，可证明四边形是菱形，由，运用三角函数定义可求得，进而可证是等边三角形，且，由，求得，再由，可求得答案．
【详解】解：连接，如图：
由折叠，得：，，，，，，
是矩形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
由折叠知：，
是等边三角形，且，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题以矩形两次折叠为背景，融合折叠性质、菱形与等边三角形判定、解直角三角形，通过线段比例推导边长关系，考查几何逻辑推理与转化化归的核心数学思想．
17．(1)
(2)3
【详解】（1）原式．
（2）解：原式．
18．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．
（1）由可得；
（2）设，则．由勾股定理可得，，先证，则，可得，由勾股定理可得，可求的值；
（3），连接，过点作，交于点．先证，则，可得，所以．由，，可证．则，故．
【详解】（1）证明：是的高，，
．
是的高，
．
．
，
．
在和中．
．
（2）解：，设，则．
，．
由（1）知．
．
，
．
，即．
．
在中，．
．
（3）证明：如图，连接，过点作，交于点．
，
．
．
，
．
．
，
．
．
，
．
．
．
19．没有断竿跑鱼的危险，理由见解析
【分析】先在图一中求出和的长度，进而得到的长度，再利用弧长公式求出圆心角的度数，最后与比较大小即可判断．
【详解】解：没有断竿跑鱼的危险，理由如下：
∵，
∴，
∵，米，
∴（米），
∵米，
∴（米），
∵四边形是矩形，
∴，米，
∵，
∴（米），（米），
∴（米），
设，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴没有断竿跑鱼的危险．
20．(1)相切，见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切；
（2）连接，证明即可；
（3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值．
【详解】（1）解：与的位置关系是相切；
理由如下：
如图，连接，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵为圆的半径，
∴与的位置关系是相切．
（2）证明：如图，连接，
∵是圆的直径，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，连接，
由（1）知，
在中，，
设，则，
∴，
解得，
∴，，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)证明见解析
(2)
(3)①或或；②
【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可求证；
（2）过点K作于点M，则，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解；
（3）①由题意可分当与边相切时，当与边相切时，当与边相切时，进而分类进行求解即可；
②连接，过点H作于点R，由折叠的性质可知：，然后可得，则有，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：在矩形中，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴；
（2）解：如图，过点K作于点M，则，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①根据题意得：，，
当与边相切时，此时点H为切点，
如图，设与交于点R，连接，，则，
∵，
∴为的直径，
∴点O，F，R共线，且，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当与边相切时，则与边也相切，此时 F，G 为切点，为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
当与边相切时，设与边的另一个交点为点Q，设切点为点N，连接，则，
∵，
∴为直径，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，即，
∴，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴， ，
∴，
∴，
在中，，
解得：或（舍去），即；
综上所述，的长为或或；
②由题意可得如下图，连接，过点H作于点R，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．(1)①4，②见详解
(2)①见详解；②见详解
【分析】（1）利用是等腰直角三角形得出，再结合得到是等腰直角三角形，从而直接得到的长度；②利用判定定理证明即可；
（2）①利用翻折性质得到和对应边相等，结合旋转性质得到，通过角度推导证明，进而得到，最后证明．再利用等腰直角三角形的边长关系证明，从而利用两边成比例且夹角相等判定，得出；②利用第(1)问得到的，相似比为,即．当取得最小值时，也取得最小值1．的最小值是点到直线的距离，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）解：①中，，
是等腰直角三角形，
，
在上，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：4．
②，
，
，
为等腰直角三角形，
，
由旋转性质：，
，又，
，
，
，
在和中：
，
．
（2）解：①将沿翻折得到，
，
，
绕点逆时针旋转得到，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
(翻折性质)，
，
，
即：，
，
，
在中，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
；
②由①知，
，
当取得最小值时，也取得最小值，即时，
的最小值是点到直线的距离，
是中点，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换和翻折变换的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定（两边成比例且夹角相等）、角度计算以及最值问题．解题的关键是利用旋转和翻折的性质得到对应角相等、对应边相等，结合等腰直角三角形的特殊角度关系（），通过角度计算和比例关系证明三角形全等或相似，从而得出结论．
23．(1)；
(2)①（ ）；
②
【分析】（1）可先计算、长度，再利用直角三角形的边角关系求的度数；根据是等边三角形，结合的度数，所以可通过构造直角三角形，利用等边三角形性质和坐标平移的思路求D点坐标；
（2）①将重叠部分的面积转化为等边的面积减去的面积；可先确定平移后各点的坐标，再结合的角度，利用三角函数求出的边长，进而得到其面积，同时根据重叠部分为四边形的条件确定t的取值范围；
②因为已知t的取值范围，所以需先分析在该范围内S的表达式的变化情况，再根据函数的性质求S的取值范围．
【详解】（1）解：∵，，
在中，， ，，
∴，
，
且是等边三角形，轴，
∴，
又∵D在第二象限，
∴D的横坐标为 ，纵坐标与E相同为，即；
（2）解：①等边的面积为 ，
平移后，，
当重叠部分为四边形时，满足在y轴右侧、在y轴左侧，
即，解得 ；
∵ 交y轴于，为直角三角形，，，，
∴ ，
∴重叠面积（ ）；
②当时，重叠部分面积随的变化分为四个阶段：
当时，如图所示，重叠部分为，
面积，随的增大而增大。
，，
∴；
当时，重叠部分为四边形，
面积，随的增大而增大。
，，
∴；
当时，重叠部分为四边形，
面积，随的增大而减小。
，
，
∴；
当时，重叠部分由腰线和斜边围成，
面积，随的增大而减小。
，，
∴；
∴的取值范围为．
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