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2026年中考数学重点专题专练：二次函数-江苏适用
一、单选题
1．对于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．与x轴有两个交点
2．已知二次函数（a、b为常数，且），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
A．该函数图象的对称轴为直线 B．该函数图象与x轴只有一个交点
C．该函数图象的最大值不可能是4 D．，
3．已知点，和都在关于的二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，，，，等边三角形边长为3，它们的边，重合，现将沿直线向右移动，直到点与点重合时停止移动，移动的距离是，与平行四边形重叠部分的面积是，则随变化的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．9
6．在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为，，，，．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
8．小华用黑、白两个小球开展模拟实验．如图①所示，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同时向右运动，黑球在A处开始减速，黑球的运动速度与运动时间满足，白球在B处开始以的速度匀速运动．设运动时间为x（单位：），黑白两球之间的距离为y（单位：）．如图②所示，y关于x的函数图象（已包含此函数图象的全部信息）成二次函数关系，与y轴交于点C，最低点，且经过点．下列说法正确的是（ ）
A．
B．点在二次函数图象上
C．A，B两点相距
D．两个小球会发生碰撞
9．如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，，分别为边，的中点，将其分成面积相等的两部分，在，上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论：①的长可以是；②当矩形菜园的面积为时，的长为；③当矩形菜园的面积最大时，的长为．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，在中，为边上的中线，将沿射线的方向平移得，设平移的距离为，与重叠的面积为与的函数图象如图2所示，有以下结论：①；②的面积为；③点在与的函数图象上；④的最大值为．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．如果函数是关于x的二次函数，则________．
12．将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为______．
13．若关于x的方程的系数同时满足和，则二次函数的对称轴是______．
14．已知二次函数的图象开口向下，与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线与x轴交于点M，直线与直线交于点N，当点N在第一象限，且时，______．
15．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是_____．
16．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于x的不等式的解集为．其中正确结论是______（填序号）．
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，点和在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．
(1)当，时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
(2)点在抛物线上，若，求的取值范围；
(3)当2时，函数的最大值与最小值的差为，求的值．
18．如图1是某海洋馆的玻璃隧道，图2是它的截面示意图，玻璃隧道截面可近似看作抛物线和矩形构成．矩形的长米，宽米，小明以O为原点，所在水平线为x轴、所在直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，在抛物线上点处贴有一张“小心碰头”的温馨提示．
(1)求隧道截面所在抛物线的函数表达式；
(2)为保障游客观赏效果，清洁工人会对玻璃隧道进行定期清洁，某次清洁工人站在地面上清洁玻璃隧道时，能刷到的最大高度是其站立位置地面的正上方米处（抛物线上的段清洁工未清洁，即点E、F到x轴的距离均为米），此次清洁工人站在地面完成玻璃隧道清洁后，求未清洁部分最低两处的水平距离（即求E、F两点之间的距离）．
19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧）．
(1)若点的坐标为，
①求此时二次函数的解析式；
②当时，函数值的取值范围是，求的值；
(2)将该二次函数图象关于中心对称，得到一个新的函数图象，经过的顶点，过点作垂直于轴的直线，与、分别交于、（、不重合），若长度随的增大而增大，结合函数图象，求的值和的取值范围．
20．如图，已知二次函数的图像经过点，顶点为B，一次函数的图像交y轴于点M，P是抛物线上一点，点M关于直线的对称点N恰好落在抛物线的对称轴直线上（对称轴直线与x轴交于点H）．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求点P的坐标；
(3)若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E，连接，点F是线段上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求点G的坐标．
21．如图，抛物线交x轴于点，两点，交y轴于点C，点P为第二象限抛物线上一个动点，过点P作，垂足为D，交y轴于点H．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点P的横坐标为m，若，
①求m的值；
②点Q为第二象限直线上一个动点，若，直接写出点Q的坐标．
22．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其中点，点，点为抛物线上动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点在第二象限，连接．作于点，当时，求的面积；
(3)如图2，取的中点，作直线，点为直线上一点，若点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点横坐标．
《2026年中考数学重点专题专练：二次函数-江苏适用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D A D B C D C
1．B
【分析】根据二次项系数判断开口方向，由顶点式可直接得到对称轴和顶点坐标，再结合顶点纵坐标判断与x轴的交点个数，逐项判断即可．
【详解】解：二次函数是顶点式形式，其中，，，
∵，∴抛物线开口向上，选项A错误；
∵顶点式的对称轴为直线，∴该二次函数对称轴为直线，选项B正确；
∵顶点式的顶点坐标为，∴该二次函数顶点坐标为，选项C错误；
∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为，∴抛物线上所有点的纵坐标都大于等于，因此抛物线与x轴没有交点，选项D错误．
2．C
【分析】先根据二次函数的增减性得到开口方向和对称轴的范围，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵二次函数中，当时，随的增大而增大，
∴抛物线开口向下，即，且对称轴，因此对称轴不一定为，故A错误；
由，，
不等式两边同乘得，
整理得 ，
∵，
∴，可得，故D错误；
该函数的判别式，
∵，，
∴ ，
∴ ，
∴函数图象与轴有两个交点，故B错误；
二次函数的最大值为顶点纵坐标，即
，
∵，，
∴，
∴，即最大值一定大于，不可能是，故C正确．
3．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，
∵，
∴．
4．D
【分析】分三段讨论重叠面积和移动距离的函数关系解答．
【详解】解：在平行四边形中，，，，
在等边三角形中，，
当时：等边三角形逐渐向右进入平行四边形，
重叠部分的面积是等边三角形边长为的等边三角形，
∴ ，
这是开口向下的二次函数，且在范围内，随增大而增大，时，，此时是等边三角形的面积．
当时：整个等边三角形完全进入平行四边形内部，重叠面积始终等于等边三角形的面积，即 ，函数图象是水平直线．
当时：等边三角形逐渐向右移出平行四边形，剩余重叠部分是边长为的等边三角形，面积为： ，这是开口向上的二次函数，在范围内随增大而减小降，时，，符合停止移动的条件．
结合选项特征：只有D符合三段函数的特征．
5．A
【分析】先推导出，，得到，进而推导出，将，代入，，可得到，则，即可解答．
【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，
∵抛物线与抛物线相交于点，
∴由抛物线的对称性可知，，
即，
∴，
∵点B是的中点，
∴，即：，
将，代入，，得
，
则，
∴，
∴，
∴．
6．D
【分析】利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，
∴和对应的函数值相等，和对应的函数值相等，
由，，，，，
可知若在抛物线上，则必在抛物线上，
若在抛物线上，则必不在抛物线上，
∵抛物线经过上述五个点中的三个点，
若抛物线不经过和，则只能经过，，，不成立，
∴抛物线必过和，
当三点在抛物线 上时，
将，代入抛物线，得，
解得；
当三点在抛物线上时，
将，代入抛物线，得，
解得；
当三点在抛物线上时，
将，代入抛物线，得，
解得；
综上所述，a的值可能是．
的值不可能为．
7．B
【分析】本题利用抛物线对称轴性质，垂直关系和线段相等条件，结合点M在抛物线上的坐标性质，化简推导得到长度的平方，即可求出．
【详解】解：设点，，抛物线对称轴为直线，
∵，由勾股定理得：，
代入坐标得：，
展开化简得：，
∵在抛物线上，
∴，
两边除以得：，
设是抛物线与轴交点，
∴，
两边除以得，
∵，
∴，
代入坐标得：
，
展开化简并代入，得：
，
∴，
把代入得：
，
化简得：，
∵，
∴．
8．C
【分析】首先判断出当两球的速度相等时，两球距离最小，然后将代入求出，得到，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式为，然后逐项分析判断即可．
【详解】解：根据题意得，当两球的速度相等时，两球距离最小，
∴此时A球的速度为
∴将代入得，
解得，
∵y关于x的函数图象成二次函数关系，最低点，
∴
∴设二次函数的解析式为
将代入得，
解得
∴二次函数的解析式为
当时，
解得，即，故A错误；
将代入，故B错误；
当时，
∴A，B两点相距，故C正确；
当时，
∴
∴二次函数与x轴没有交点，
∴两个小球不会发生碰撞，故D错误．
9．D
【分析】由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解．
【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边，的中点，
∴，
∵篱笆的长度是，
∴，
∴，
∵的长不超过，
∴，
∴，
∴的长可以是，故①正确；
②设，则，
∴，
当时，解得，，
∵，
∴，
∴的长为，故②正确；
③，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确；
综上，正确结论有3个，
10．C
【分析】根据平移及函数图象结合，列出与的函数关系式，逐一判断结论是否正确即可.
【详解】解：由图象可知，当时，，
即：与重叠的面积为，
此时，与重合，，∴①正确；
当时，，与重合，与重合，令与的交点为，
∵，为的中点，
∴为中点，
∵，
∴，
∴，∴②正确；
当时，连接，
∵，
∴，
∴，即：，
同理：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴即：，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
即当时，，∴④正确；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
当时，，∴③错误．
故选：C．
11．0
【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值．
【详解】解：根据二次函数的定义，得，
解方程，解得或．
由得，
因此．
12．
【分析】根据抛物线顶点坐标为，然后通过向右平移个单位后，再向下平移个单位进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴把向右平移个单位后，再向下平移个单位得到，
∴所得抛物线的顶点坐标为．
13．
直线
【分析】根据已知等式可确定一元二次方程的两个根. 再利用二次函数图象的对称性即可计算出对称轴．也可联立等式得到与的关系，代入对称轴公式求解．
【详解】解： 当时，，
是一元二次方程的一个根．
当时，，
是一元二次方程的另一个根．
二次函数的图象与轴交于，两点，
根据二次函数的对称性，对称轴为
，
即对称轴为直线．
14．
【分析】由题意易得对称轴为直线，顶点坐标为，对称轴与轴交点，，，然后可得，则有，连接交对称轴于点H，过点D分别作，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意可得如图所示：
∵，图象开口向下，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，对称轴与轴交点，
令，得，
∴，
点与点关于对称轴对称，
∴，
∵，，
∴，
∴，
连接交对称轴于点H，过点D分别作，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
由点A与点D关于对称轴对称可知：，
∴，
∴，
∴，
解得：．
15．
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、三角形中位线定理、点与圆的位置关系以及线段最值问题．解题的关键是利用三角形中位线定理将转化为，进而求的最小值．连接，先解方程得，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，连接交圆于时，计算出的最小值即可得到线段的最小值．
【详解】解：连接，如图，
当时，，解得，
则，
是线段的中点，是线段的中点，
为的中位线，
，
当最小时，最小，
连接交圆于时，最小，
，
，
圆的半径为2，
的最小值，
线段的最小值为，
故答案为：．
16．①②④
【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出，化简不等式为，求得解集，即可求解．
【详解】解：如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．
∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，
∵二次函数的图象过，
∴，
∵二次函数的图象与x轴交于两点，，且．
∴对称轴，即，
∴，
∴，，
∴，故②正确；
∴，
∴，
∴，
∴，故③错误；
④∵二次函数的图象与x轴交于两点，，
∴，
∴关于x的一元二次方程的两个根是函数与的交点的横坐标，如图所示：
由图象可得，
∴若m和n是关于x的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确；
⑤∵二次函数的图象与x轴交于两点，，
∴
，
∴，，
∴，，
∴可化为，
即，
∵，
∴，
解得：或，
∴关于x的不等式的解集为或不是，故⑤错误．
17．(1)抛物线与y轴交点的坐标为，；
(2)的取值范围为；
(3)．
【分析】（1）当时，，可得抛物线与轴交点的坐标；再根据题意可得点，关于对称轴为对称，可得的值；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为，由抛物线的图象和性质，可得当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，分类讨论：当点，点，点均在对称轴的右侧时，，由函数值的大小关系，可得，无解；当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，，由函数值的大小关系可得，且，可得的取值范围，由二次函数的图象和性质，可得，即可得的取值范围；
（3）由抛物线的对称轴为直线，可得，由二次函数的图象和性质，可得当2时，函数的最大值为，函数的最小值为，根据题意可得，结合，，即可得的值．
【详解】（1）解：当时，，
∴当时，，
∴抛物线与y轴交点的坐标为；
∵，
∴点，关于对称轴对称，
∴．
（2）解：当时，，
∴抛物线与y轴交点坐标为，
∴抛物线与轴交点关于对称轴的对称点坐标为，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当点，点，均在对称轴的右侧时， ，
∵，
∴，
解得（不符合题意，舍去），
当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
∵，
∴，且，
解得，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，
解得，
∴的取值范围为．
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
，，
∵，
∴，，
∵，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴当2时，
函数的最大值为，
函数的最小值为，
∵函数的最大值与最小值的差为，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴．
18．(1)
(2)未清洁部分最低两处的水平距离为米
【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意令代入抛物线求解，得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设抛物线解析式为，点在抛物线的图象上，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：点E、F到x轴的距离均为米，则令，
∴，
整理得，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴未清洁部分最低两处的水平距离为米．
19．(1)①；②
(2)；或或．
【分析】（1）①将二次函数配方得出对称轴为直线，再结合点的坐标可得，将点代入二次函数，求出的值，即可得到解析式；②由①可知，二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，再结合函数值的取值范围，即可求解；
（2）先得到的顶点坐标，设图象上任意一点，则点关于中心对称的点在图象上，再结合经过的顶点，求出的值，从而得到和的解析式，用含的式子表示出和，再结合图象求解即可．
【详解】（1）解：①，
二次函数的对称轴为直线，
图象与轴交于、两点，点在点的左侧，且，
，
将点代入二次函数可得，
，
，
解得：，（舍），
；
②由①可知，，
二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
当时，是最大值；当时，是最小值，
函数值的取值范围是，
，
整理得
解得：，，
，
；
（2）解：，
顶点坐标为，
二次函数图象关于中心对称得到新的函数图象，
设图象上任意一点，
点关于中心对称的点在图象上，
，
，
经过的顶点，
，
整理得：，
解得：，（舍），
的解析式为，
的解析式为，
令，则，解得：，，
点在点的左侧，
，
过点作垂直于轴的直线、与、分别交于、（、不重合），
，，，
，
联立，解得：，，
如图所示，当直线在点和抛物线与轴左侧的交点之间时，,当时最大，
若长度随的增大而增大，结合函数图象可知，的取值范围为或或．
20．(1)
(2)P1，
(3)
【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可；
（2）先由勾股定理以及对称可得，由，得到．由对称可得，则，过点P作于Q，交y轴于R．设点，当点N在上方时，，由建立方程求解即可；当点N在下方时，同理可求即可；
（3）过F作于C，于T，交x轴于点S，证明，则，，设，，则，那么．化简整理，得，而，则，化简整理，得，得到方程，即可求解．
【详解】（1）解：把，代入
得，
解这个方程，得，
∴二次函数的表达式是；
（2）解：对于，当时，
∴一次函数的图像交y轴于点，
∴，
∵，
∴，
由对称可得．
∵，
∴，
∴．
由对称可得，
则，
过点P作于Q，交y轴于R．设点，
①如图1，当点N在上方时，则
∴，
由得，．
解得（舍去），，
∴．
②如图2，当点N在下方时，同理，
由得，．
同理可得（舍去），．
∴，
综上：点P的坐标为或；
（3）解：如图3，过F作于C，于T，交x轴于点S．
则
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴，
∴，，
设，，
∴，
∴，
则．
∴．
化简整理，得，
∵，对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∵轴
∴，
∴，
即，
化简整理，得．
∴，
解得（舍去），．
∴，解得（舍去），．
∴．
21．(1)
(2)①；②或
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①过点P作轴，垂足为E，过点P作轴，垂足为M，交于点N，设点P的横坐标为m，则纵坐标为：，可得，，再由矩形的性质可得，， 再证明，可得，再由，可得，，从而得到，进而得到，，可得到关于m的方程，即可求解；②分两种情况解答，即可．
【详解】（1）解：∵，，
∵抛物线经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：①如图1，过点P作轴，垂足为E，过点P作轴，垂足为M，交于点N
设点P的横坐标为m，则纵坐标为：．
∴，，
∴，
在矩形中，，，
∴，．
∵，
∴，．
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴或，
∵点P在第二象限的抛物线上．
∴．
②∵点Q在直线上．
∵，
∴．
∴点P也在直线上．
①如图2，当点Q在点P上方时，过点Q作于点F
∵，，
∴．
∴，．
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴；
②如图3，当点Q在点P下方时，过点Q作延长线于点N．
∵，，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
综上所述，点Q的坐标为或．
22．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可；
（2）设点D的坐标为，过点D作轴于点M，则，证明，可得，从而得到，即可求解；
（3）先求出直线的解析式为，设点，然后根据平行四边形，分三种情况讨论，即可．
【详解】（1）解：把点，点代入抛物线，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设点D的坐标为，
如图，过点D作轴于点M，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点为的中点，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
当为对角线时，
，解得：（舍去）或，
此时点D的横坐标为；
当为对角线时，
，解得：（舍去）或，
此时点D的横坐标为或；
当为对角线时，
，解得：（舍去）或，
此时点D的横坐标为；
综上所述，点D的横坐标为或或．
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