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2026年河北省衡水二中等校高考数学一模试卷
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两个单位向量，互相垂直，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若，则的虚部与实部的比值为( )
A. B. C. D.
4.在正四面体中，为棱的中点，，，则( )
A. B. C. D.
5.某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策现随机抽取户居民，统计其月用水量单位：吨，并绘制出如图所示的频率分布直方图若用这户居民的月用水量的分位数作为月用水量的临界值精确到，使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值为( )
A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨
6.若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.函数的极值点的个数为( )
A. B. C. D.
8.若非负数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数在内存在唯一的，使得，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则( )
A. B. 的最小值为
C. D. 的图象关于点对称
11.已知正方形的边长为，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则( )
A. 点在四棱锥外接球的球面上
B. 四棱锥内切球的表面积为
C. 四棱锥与四棱锥公共部分的体积为
D. 四棱锥的四个侧面所在平面将空间分成个部分
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设表示不超过的最大整数，则不等式的解集为 ．
13.已知是椭圆：上一点，点，，若，过点作的垂线，垂足为，则 ，点到轴的距离为 ．
14.来自某校高二年级的名男生和名女生组成的人团队参加数学建模竞赛该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：每个环节至少安排名选手，每人只参加个环节；方案设计环节人数多于模型构建环节人数；编程实现环节至少安排人，且至少有名女生；成果展示环节人数不超过方案设计环节人数根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点．
证明：平面．
若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
某工厂某设备每日出现故障的概率为，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为，已知每日的检测结果相互独立．
求某日检测结果与设备实际状态不符的概率．
若该工厂对该设备进行连续天的检测，求恰有天的检测结果与实际不符的概率．
使用自动化检测系统时，每日固定检测费为元，若检测结果为“故障”，则需花费元检修费检修后无损失，若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失元若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由．
17.本小题分
已知集合中元素的个数为．
若，，求．
若，均为等差数列且，，，证明：也为等差数列．
若，，且，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数．
证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值．
当时，讨论零点的个数．
当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于．
19.本小题分
设抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，且线段的中点为．
当时，求的准线方程．
点为上一动点，过作的准线的垂线，垂足为，设过，，三点可作双曲线，且的两个焦点均在轴上．
(ⅰ)若过点，求的方程；
(ⅱ)求的离心率的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.解：为方便叙述，将“方案设计”、“模型构建”、“编程实现”、“成果展示”四个环节依次记为环节一、环节二、环节三、环节四，
由规则可知，“方案设计”至少有个人，
“方案设计”、“模型构建”和“成果展示”至少共有个人，
“编程实现”最多有个人．
当“编程实现”有个人时，
则有可能是个女生，或者个女生和个男生，或者个女生和个男生，
则安排好“编程实现”有种方案，
剩余个人，“方案设计”必然有个人，“方案设计”和“模型构建”各有个人，
则安排好“方案设计”、“模型构建”和“模型构建”有种方案．
安排好四个环节共有种方案．
当环节三有个人时，则有可能是个女生，或者个女生和个男生，
则安排好环节三有种方案，
剩余个人，
当环节一有个人时，环节四有个人，环节二有个人，此时有种方案；
当环节一有个人时，环节四有个人，环节二有个人，此时有种方案．
所以安排好四个环节共有种方案．
综上，满足条件的安排方案共有种．
故答案为：．
15. 证明：连接，，
因为，，分别为棱，，的中点，为正三棱柱，
所以，，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面．
同理可得平面，
因为，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
取的中点，连接，，则，
在正三棱柱中，则，，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，
令，得，
由，
所以与平面所成角的正弦值为，
得与平面所成角的正弦值为．
16.解：设某日检测结果与设备实际状态不符为事件，
由全概率公式可得；
设恰有天检测结果与实际不符为事件，
则，
故恰有天检测结果与实际不符的概率为；
应该引进该自动化检测系统，理由如下：
设使用自动化检测系统时每日总支出即总损失为元．
设备故障且被判为故障的概率为，
设备正常却被判为故障的概率为，
设备故障却被判为正常的概率为，
则．
因为，所以应该引进该系统．
设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解即可；
根据中结果，结合独立重复性实验的概率公式运算求解即可；
根据题意求使用自动化检测系统时每日总支出的期望，并与每日故障损失的期望对比分析即可．
本题主要考查了独立重复的概率公式及全概率公式的应用，还考查了离散型随机变量的期望的求解，属于中档题．
17.解：集合中元素的个数为，
若，，则，，
则满足的整数为，，，，，共有个，
故；
证明：若，均为等差数列且，，，
所以，
所以
因为，均为等差数列，所以可设，，
则为常数，
故是以为首项，为公差的等差数列．
由，得，即，
则数列是为首项，公比为的等比数列，
则，则．
当时，，，．
当时，，，．
当时，，因，所以，故大于的最小整数为，
又为整数，则．
当时，符合上式；当时，，
故
当时，
，
又，所以．
18. 证明：，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值．
当时，由，得或．
设函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增．
当时，，
若，则，若，则．
当时，，
若，则，若，则．
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点．
证明：由知，当时，的零点个数最多，
且为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得
，．
设函数，则，
，则在上单调递增．
因为在上单调递增，且，所以．
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故．
故当的零点个数最多时，的零点之和大于．
19.解：抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，且线段的中点为．
当时，依题意得的坐标为，
所以的准线方程为．
点为上一动点，过作的准线的垂线，垂足为，设过，，三点可作双曲线，且的两个焦点均在轴上．
(ⅰ)因为的两个焦点均在轴上，且经过，，，，
所以由对称性可知，的中心为线段的中点，即，
实半轴长为，设的方程为．
的横坐标为，，均在上，则的横坐标为，
设，又在上，所以，
代入的方程，得，解得．
的方程为．
(ⅱ)由题知，，设，则，．
当时，过，，三点不能作双曲线．
当时，线段中点的横坐标与的横坐标相等，
过，，三点不能作双曲线，则且．
因为的两个焦点均在轴上，
所以可设的方程为，
将，，的坐标代入的方程，得
，，，
得，因为，所以，
由得，，
由得，，而，
则，代入，
得，，
由且，得且．
故C的离心率的取值范围为．
第2页，共2页

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